取勢、明道、優(yōu)術：立意素養(yǎng)的高中數(shù)學習題講解三層次
——以2019年浙江高考數(shù)學第16題為例

張旭強 (浙江省杭州綠城育華學校 310012)

在基礎教育階段，好的數(shù)學教育應更多地傾向于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維習慣，尋找學生認知的最近發(fā)展區(qū)，并在此基礎上開展暴露數(shù)學思維過程、提升理解能力的探究活動.教師在這個過程中協(xié)助學生從混沌的模糊狀態(tài)，轉變成有意義的、有結構的狀態(tài)，這是一個認知建構的過程[1]，也是學生素養(yǎng)提高的過程．

章建躍博士認為數(shù)學教學需要遵循“取勢、明道、優(yōu)術”[2]，筆者認為習題講解也是如此，尤其是高考真題的講解．習題教學從教師教的“取勢”，順應學生的認知，因勢利導；通過師生活動使學生“明道”，教師闡述題中道理，追本溯源，學生悟出問題的真諦；學生需要結合自身的基礎進行“優(yōu)術”，整合認知結構，反思擇優(yōu)．本文以2019年浙江高考第16題為例加以說明．

筆者任教班35位學生用時15分鐘做此題，得到的反饋信息如表1：

表1 學生答題情況

通過數(shù)據(jù)分析和學生訪談，在此題的講解過程中筆者通過以下三個層次的數(shù)學教學活動，幫助學生重塑認知結構．

層次1講解切入要“取勢”，順應學生的認知，因勢利導

這里的“勢”相當于章建躍博士說的“理解學生”.教師要了解學生當前的認知水平，只有基于學生現(xiàn)有的認知水平給出問題，學生才會有自己的解題思路，即認知水平決定了學生的解決方法．

筆者翻閱了答題正確的學生的解題過程，無一例外地對題中的|f(t+2)-f(t)|進行了直接代入計算，計算f(t+2)-f(t)=a(t+2)3-(t+2)-at3+t=a(t+2)3-at3-2，接下來對這個式子進行化簡，這便是教學中應取的學生的“勢”.當然，這里會出現(xiàn)部分學生因立方和公式不熟悉而產生的計算錯誤，需要提醒學生立方和公式的正確運用．

解法1和解法2是絕大多數(shù)學生認可的求解的“勢”，對于學生已有的“勢”，教師要因勢利導．講解過程中，筆者提問：既然解法2可以換元，為何不在一開始就對這個式子進行整體換元？于是得到解法3．

這樣就變成學生熟悉的一次絕對值函數(shù)“V”字型圖象的問題．

因勢利導的“導”，要導得及時、充分.就此題，筆者覺得還應繼續(xù)往前，將|6at2+12at+8a-2|看成|(6at2+12at)-(-8a+2)|或|6at2-(-12at-8a+2)|，把最小值問題轉化為兩個函數(shù)圖象在同一直角坐標系中橫坐標相等時兩點間距離(稱之為縱向距離)的問題．這兩種思考角度雖然高于學生現(xiàn)有的認知構成，但是教師可以將此作為學生思維的最近發(fā)展區(qū)，觸手可得．

若0

解法5同解法4,轉化為r(t)=6at2與s(t)=-12at-8a+2之間的縱向距離問題，這里不詳細展開了．

此外，此題還可以從切比雪夫最佳函數(shù)逼近理論進行講解分析[3]．對于“取勢”，筆者覺得還有一層理解，就是要找準學生認知的最近發(fā)展區(qū)，因此針對筆者所教的學生，就不從這個角度進行講解分析了．

層次2分析把控要“明道”，闡述題中道理，追本溯源

教師要讓學生懂得題中所蘊涵的數(shù)學原理，并通過這樣的活動提高學生問題解決的能力．層次1的講解是建立在學生已有認知基礎之上的，學生的認知很多時候有個特點就是“拿來主義”，這個“拿來主義”指的是學生一拿到題就直接動手算，而忽視了對題本身數(shù)學原理的分析．所以在順勢而為之后，教師需要追本溯源，這點也是教師在講解過程中的重點．

本題考查的函數(shù)為f(x)=ax3-x(a>0)，教師首先應引導學生如何分析這個函數(shù).從函數(shù)的性質出發(fā)，這是一個三次項系數(shù)為正的奇函數(shù)．回顧整個高中數(shù)學的學習，學生在必修一“冪函數(shù)”的學習中了解了函數(shù)y=x3，之后卻很少對這個函數(shù)進行系統(tǒng)研究，所以學生不明此函數(shù)的“道”．為此，筆者在講解過程中設置了以下幾個環(huán)節(jié)來突破這個學生的認知難點．

活動1 畫出下列函數(shù)的圖象：①y=x3；②y=x3-x．

第一張圖利用冪函數(shù)圖象繪制，第二張圖有的學生利用導數(shù)分析單調性繪制，有的利用高次函數(shù)圖象“奇穿偶回”繪制，對于后者，筆者額外要求再繪制③y=x3+x的圖象．通過活動1的繪圖發(fā)現(xiàn)本題考查的三次函數(shù)圖象的形態(tài)有兩類，筆者把這兩類分別稱為“一路單調型”(圖1)和“一波三折型”(圖2)．這是對函數(shù)圖象形的宏觀把控．

圖1 “一路單調型” 圖2 “一波三折型”

活動2 對于|f(t+2)-f(t)|，設問學生這個式子在哪見過，有什么幾何意義？

生：在學習函數(shù)導函數(shù)時．

師：那么這個式子是研究什么的？

生：研究函數(shù)相鄰兩個單位長端點縱坐標差的絕對值大小．

師：也就是說這個式子是幫助我們來研究這個函數(shù)圖象在某兩個單位定義域所對函數(shù)圖象的微觀特征．

活動3 題組一

①已知t∈R,函數(shù)f(x)=x3，求|f(t-1)-f(t+1)|min．(答案：2)

②已知t∈R,函數(shù)f(x)=x3+x，求|f(t-1)-f(t+1)|min．(答案：4)

③已知t∈R,函數(shù)f(x)=x3-x，求|f(t-1)-f(t+1)|min．(答案：0)

通過①②(圖3)，學生能夠感知當三次函數(shù)圖象為“一路單調型”時，所求式子在t=0時，即位于原點左、右兩個單位定義域內函數(shù)值變化最?。?/p>

通過③(圖4)、④(圖5)、⑤(圖6)，學生能夠感知當三次函數(shù)圖象為“一波三折型”時，所求式子的值變化取決于研究區(qū)間的大小及圖象上原點兩側零點之間的距離．

圖3 圖4

圖5 圖6

活動4 題組二

①已知b∈R，函數(shù)f(x)=x3+bx，若存在t∈R，使得|f(t+m)-f(t-m)|=0，則實數(shù)b與m需滿足的關系是．

對于①，可以采用數(shù)學軟件輔助教學，讓學生先進行直觀感知，然后再從解析式角度進行計算，可以得到滿足的關系是m2+b=0．

在教學中筆者通過設置若干不同的數(shù)學活動，幫助學生從宏觀到微觀理解此題考查的函數(shù)圖象形態(tài)，刨根問底，揭示問題背后的數(shù)學原理．

層次3方法選取要“優(yōu)術”，整合認知的結構，反思擇優(yōu)

教師講完習題不能就此結束，應該讓學生就教師分析的思路進行有效操練.這里的優(yōu)化應該是學生在教師分析后的操練及操練后的反思，以及在新的認知結構上對于同類問題的解決．層次3決定了此習題講解教學的成功與否．

學生在教師講解后從|f(t+2)-f(t)|的角度出發(fā)對式子進行了整理化簡、討論求值，并對幾種不同的解法再次一一進行自主學習，即思維的重組和建構，從函數(shù)f(x)=ax3-x的圖象角度出發(fā)去思考圖象的特征，完善此題的解法．

解法6當a>0時，圖象形態(tài)是“一波三折型”的，且圖形關于原點對稱.

令t=m-1，則|f(t+2)-f(t)|=|f(m+1)-f(m-1)|.

有效的反思能夠促進學生日后解題的“優(yōu)術”．筆者在教學中從學生反思得到以下疑問：

(1)這幾個函數(shù)形式上都沒有x2項，如果函數(shù)改為f(x)=x3+x2會怎么樣？

(2)此題的函數(shù)可以換成其他函數(shù)嗎？

對于這些疑問，教師在備課時應有適合教學班學情的知識拓展準備，筆者準備的是繼續(xù)研究三次函數(shù)的中心對稱性．這里就要從f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)這個一般式說起，最簡單的三次函數(shù)f1(x)=ax3(a≠0)，它的圖象是以原點為中心的中心對稱圖形.f2(x)=ax3+d(a≠0)的圖象是在y=f1(x)的基礎上上下移動|d|個單位，它的中心對稱性也沒有改變．f3(x)=ax3+cx(a≠0，c≠0)是兩個奇函數(shù)相加，雖然從圖象特征來講，有“一路單調型”與“一波三折型”，但是最終都還是奇函數(shù)，y=f3(x)的圖象特征還是關于原點成中心對稱圖形.若在此基礎上再添加一個常數(shù)項d,它的中心對稱性也沒有改變，即y=f4(x)=ax3+cx+d(a≠0，c≠0，d≠0)的圖象也是一中心對稱圖形．

那么f5(x)=ax3+bx2(a≠0，b≠0)呢？

結合這個問題，筆者將原題中的函數(shù)進行改編：

改編2 已知函數(shù)f(x)=xlnx-x，t∈R，求|f(t+2)-f(t)|min．(答案：0)

此題講解完后,筆者在檢查學生的整理本時看到：“這個題我拿到就算了，還是應該再多想想”“這個題考查三次函數(shù)的形，我都沒有注意到，原來三次函數(shù)圖象也是和二次函數(shù)圖象一樣是有規(guī)律的”“絕對值問題可以轉化為兩個函數(shù)縱坐標之差，在分析函數(shù)時，下次要多想想”“三次展開我算錯了，下次計算要仔細注意符號”，等等．看到這樣的自我反思，筆者認為我們的教學初見成效，教師教學的行為促進了學生學的改進．

最終檢驗學生核心素養(yǎng)的高低，必須通過解決數(shù)學問題來體現(xiàn)[4]，因此習題教學必不可少．教師在講題時，應做到“取勢”“明道”“優(yōu)術”這三個層次．通過這樣的教學行為，促成學生有效的數(shù)學學習過程，并在此過程中促進其自身認知結構的整合．好的認知結構的建立，有助于學生在掌握知識與技能的同時理解知識的本質，感悟知識所蘊含的數(shù)學思想，積累數(shù)學思想和實踐的基本活動經驗.分析解題過程不僅能“改進”解答，而且總能提高“理解”水平[5]，并在此基礎上發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)．