回歸課本，提高高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高效性的有效途徑

周穎嫻 (江蘇省常熟中學(xué) 215500)

“源于課本又高于課本”是高考命題的一個(gè)基本原則，這一原則為我們教師在高三復(fù)習(xí)時(shí)指明了方向．縱觀這幾年的高考試題，相當(dāng)數(shù)量的試題都能在課本中找到原型，因此在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中必須立足課本.通過回歸課本，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本思想.同時(shí)，由于高考的選拔功能，在立足課本的基礎(chǔ)上，我們又要充分挖掘課本中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法．但是，現(xiàn)在存在的問題是，許多教師拿著一套復(fù)習(xí)資料從頭講到尾；或許也有教師意識(shí)到了課本的重要性，也讓學(xué)生經(jīng)常翻閱課本，但僅僅停留在看課本的層面，并沒有意識(shí)到復(fù)習(xí)中課本對(duì)提高學(xué)生能力的重要性．下面，筆者就在一輪復(fù)習(xí)中回歸課本的重要意義和回歸課本的具體做法談自己的一些觀點(diǎn)和具體操作，不足之處敬請(qǐng)同仁批評(píng)指正．

1 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)中，回歸課本的重要意義

筆者對(duì)江蘇省2008—2017年高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行分析，經(jīng)仔細(xì)整理、逐題對(duì)比，發(fā)現(xiàn)這9年江蘇高考真題(必做題部分)中與課本題目直接相關(guān)的題目很多(見表1)．

表1

從上表可以看出，高三復(fù)習(xí)過程中的教材開發(fā)是整個(gè)復(fù)習(xí)過程中非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，也是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的一個(gè)高效環(huán)節(jié)．

(1)回歸課本，有助于使學(xué)生重視基礎(chǔ)知識(shí)，重視知識(shí)形成過程，重視概念、定理的理解和應(yīng)用，重視公式的靈活應(yīng)用

數(shù)學(xué)教學(xué)中，定義要一個(gè)個(gè)地教，定理要一個(gè)個(gè)地證明，公式要一個(gè)個(gè)地推導(dǎo)．這些定義、定理、公式及其內(nèi)容等反映的數(shù)學(xué)思想方法分散在中學(xué)不同階段、不同內(nèi)容的教學(xué)中.高三一輪復(fù)習(xí)的重要任務(wù)是梳理知識(shí)，讓知識(shí)系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，從而使學(xué)生真正形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)．由于高一高二階段數(shù)學(xué)知識(shí)是以模塊的形式呈現(xiàn)的，學(xué)生對(duì)整個(gè)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可能并不熟悉，因此，在高三復(fù)習(xí)階段，教師可以培養(yǎng)學(xué)生通過回歸課本，站在數(shù)學(xué)整體的高度與課本對(duì)話，讓不同板塊的知識(shí)形成交匯，成為系統(tǒng)．同時(shí)，回歸課本有助于學(xué)生檢查自己在一些重要結(jié)論與基本方法等知識(shí)點(diǎn)掌握上的欠缺與錯(cuò)誤，進(jìn)而更準(zhǔn)確更有效地解題．當(dāng)然，在課本中，比這些結(jié)論更重要的還有方法，有些學(xué)生記住了公式卻忘記了方法，其實(shí)不僅公式重要，推導(dǎo)公式的方法也很重要，很多高考題需要用到的正是那些推導(dǎo)公式的方法．

(2)回歸課本，有助于使學(xué)生重視課本例題、習(xí)題中潛在思想方法的挖掘和應(yīng)用

課本的例題、習(xí)題是教材核心內(nèi)容的程序化展現(xiàn)，教材例題、習(xí)題對(duì)開發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能具有復(fù)習(xí)資料難以比擬的功能.教師研究教材例題、習(xí)題，不應(yīng)只停留在題目所涉及的數(shù)學(xué)概念和基礎(chǔ)知識(shí)上，而要深度挖掘題目背后所蘊(yùn)含的內(nèi)容，提煉其數(shù)學(xué)思想方法.教師需要充分利用課本例題、習(xí)題的示范引領(lǐng)功能，盡最大可能地發(fā)揮其潛在價(jià)值，通過對(duì)題目的條件或結(jié)論的改變，做到以例啟思、以例帶類、舉一反三、觸類旁通，達(dá)到對(duì)知識(shí)的深化理解，實(shí)現(xiàn)復(fù)習(xí)教學(xué)的減負(fù)增效．

(3)回歸課本，有助于使學(xué)生規(guī)范解題，掌握“通性通法”，積累解題經(jīng)驗(yàn)和方法

高考數(shù)學(xué)試題重視和突出對(duì)三基的考查，強(qiáng)調(diào)通性通法，淡化解題技巧．因此，在復(fù)習(xí)備考中要注重回歸課本，吃透課本中例題、習(xí)題的處理過程，規(guī)范解題過程，最終形成解決一類問題的通性通法，以不變應(yīng)萬變．

另外，在歷年的高考閱卷中，學(xué)生由于書寫不規(guī)范扣分的情況屢見不鮮.在高考答卷時(shí)，如何才能做到規(guī)范解答，哪些結(jié)論不能直接套用，哪些過程不能省略，哪些表述不能隨意，等等，這些問題到最后只能依據(jù)課本，需要課本來正本源清，而復(fù)習(xí)資料難免會(huì)存在一些不規(guī)范的東西．

2 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)中，回歸課本的具體做法

回歸課本并不是對(duì)課本的簡單重復(fù)，而是在高考的背景下基于課本又高于課本，是對(duì)課本的再開發(fā)和對(duì)知識(shí)的再升華．復(fù)習(xí)時(shí)就需要以課本為依據(jù)，整合知識(shí)板塊，構(gòu)建知識(shí)體系.筆者結(jié)合“圓錐曲線”一章內(nèi)容，具體做了如下一些工作．

(1)回歸基礎(chǔ)，理清課本章節(jié)之間的聯(lián)系，揭示本質(zhì)屬性，形成知識(shí)的交匯融合

高三一輪復(fù)習(xí)的重要任務(wù)是梳理知識(shí)，讓知識(shí)系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化．在復(fù)習(xí)中，我們既要把每一個(gè)邏輯關(guān)系、每一個(gè)細(xì)節(jié)都搞清楚，又要讓學(xué)生站在數(shù)學(xué)整體的高度與課本對(duì)話，讓不同領(lǐng)域的知識(shí)交匯，成為系統(tǒng)．

案例1圖1給出了圓錐曲線整個(gè)章節(jié)的流程圖：首先學(xué)習(xí)圓錐曲線的概念，通過方程研究了圓錐曲線的基本性質(zhì)，運(yùn)用圓錐曲線的方程和性質(zhì)解決一些實(shí)際問題．最后，在直線、圓及圓錐曲線的基礎(chǔ)上，引入曲線方程的概念，介紹求曲線方程及用方程研究曲線之間關(guān)系的基本方法，進(jìn)而我們還可以通過求曲線與方程的基本流程，回顧直線方程與圓的方程的探求過程，從而可以給出求一般曲線與方程的一些基本方法(本文的案例4通過一些問題給出相關(guān)求曲線方程的基本方法)．當(dāng)然，我們還可以對(duì)上述流程圖進(jìn)行相關(guān)補(bǔ)白．

圖1

例如，對(duì)圖1可以補(bǔ)白相關(guān)問題：1)直線、圓及圓錐曲線的幾何背景是什么？2)直線、圓及圓錐曲線是如何定義的？3)如何推導(dǎo)直線、圓及圓錐曲線方程？有哪些方法？4)如何通過曲線方程研究曲線性質(zhì)？其基本思想方法有哪些？5)曲線與方程的概念是什么？6)求曲線方程的一般步驟是什么？

(2)理清知識(shí)的本質(zhì)屬性，揭示概念的內(nèi)涵，準(zhǔn)確把握基本概念

我們常常聽見學(xué)生考完試后說：“老師，這個(gè)題目我應(yīng)該會(huì)的，只是當(dāng)時(shí)粗心了，沒有正確運(yùn)用公式”,或者“老師，這個(gè)題目我沒有看到限制條件”等等.殊不知，很多造成錯(cuò)誤的主因就是對(duì)基本概念、基本技能、基本方法掌握得不牢固．因此，在復(fù)習(xí)中要設(shè)計(jì)有針對(duì)性的問題，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法進(jìn)行鞏固和提升，讓學(xué)生認(rèn)清問題的本質(zhì)，理清概念的內(nèi)涵，提高復(fù)習(xí)的有效性．

在復(fù)習(xí)“曲線與方程”這一節(jié)時(shí)，我們首先可以回顧曲線與方程的概念，進(jìn)而回想探求直線方程、圓的方程及圓錐曲線方程的步驟，從而進(jìn)一步認(rèn)識(shí)曲線與方程的相關(guān)關(guān)系．

案例2觀察表2中對(duì)應(yīng)的方程與曲線，說明它們有怎樣的關(guān)系.

表2

本題是由蘇教版《數(shù)學(xué)》(選修2-1)第61頁練習(xí)第5題改編而來.這樣的設(shè)計(jì)采用了概念復(fù)習(xí)習(xí)題化的策略，通過練習(xí)，了解曲線與方程概念的來龍去脈，知道曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都是方程f(x,y)=0的解以及以方程f(x,y)=0的解(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上；通過方程與圖形的對(duì)比、方程與方程的對(duì)比，揭示概念的內(nèi)涵，認(rèn)清代數(shù)中的數(shù)與幾何中的形相互統(tǒng)一的關(guān)系，深刻理解解析幾何的核心思想——數(shù)形結(jié)合思想，從而準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性．

(3)挖掘知識(shí)的根本，弄清知識(shí)的生成過程

高考數(shù)學(xué)，是對(duì)重要知識(shí)和思想方法的考查.數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)過數(shù)學(xué)家的不斷錘煉，具有高度抽象性，在知識(shí)的生成過程中，也體現(xiàn)著數(shù)學(xué)家們的思考方式、處理方法.因此，在復(fù)習(xí)中還需要教師講清知識(shí)的生成過程，并且能夠內(nèi)化為學(xué)生能夠掌握的思想方法．比如，在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，不僅公式重要，推導(dǎo)公式的方法也很重要．其實(shí)，很多高考題需要用到的正是那些推導(dǎo)公式的方法．

案例3在復(fù)習(xí)“橢圓方程及其性質(zhì)”這一節(jié)時(shí)，不妨先讓學(xué)生回顧焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2，它們之間的距離為2c，橢圓上任意一點(diǎn)到F1,F2的距離和為2a(2a> 2c).以F1,F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，試推導(dǎo)橢圓的方程．

教材給出的數(shù)學(xué)定理、公式的發(fā)現(xiàn)過程往往是簡單的，是師生共同探索獲得的那一種最容易理解的方法，證法也是單一的，似乎未能很好地暴露出發(fā)現(xiàn)和證明的探究全過程.因此，教材騰出空間，通過設(shè)問，將完整的探索機(jī)會(huì)讓與學(xué)生．當(dāng)然，對(duì)教材中數(shù)學(xué)定理、公式的發(fā)現(xiàn)與證明過程進(jìn)行有益拓展，應(yīng)著眼于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，以探究發(fā)現(xiàn)為線索，讓學(xué)生在探索中獲得學(xué)習(xí)的樂趣和研究的能力，在方法應(yīng)用中感悟數(shù)學(xué)的思想智慧．

運(yùn)算能力是高考的一個(gè)重要考查內(nèi)容．上述推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的三種方法都體現(xiàn)了一定的運(yùn)算技巧:方法1體現(xiàn)了最常規(guī)的根式有理化的運(yùn)算處理方法；方法2、3雖然推導(dǎo)簡單，但是需要學(xué)生對(duì)表達(dá)式做充分的觀察、認(rèn)識(shí)，對(duì)能力的要求比較高．同時(shí)，在推導(dǎo)方程的過程中，其中一些方法也揭示了數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性．在回顧橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法以后，我們還可以給出以下的練習(xí)題：

圖2

練習(xí)1 如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C由圓弧C1和圓弧C2相接而成，兩相接點(diǎn)M,N均在直線x= 5上，圓弧C1的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為13，圓弧C2過點(diǎn)A(29, 0)．

(1)求圓弧C2的方程；

(2)已知直線l:x-my- 14 = 0與曲線C交于E,F兩點(diǎn)，當(dāng)EF= 33時(shí)，求坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離．

在本題第(2)問中，其計(jì)算的基本思想恰好體現(xiàn)了推導(dǎo)橢圓方程的方法．

數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性是該類事物變化當(dāng)中保持不變的屬性．掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)既需要分析其定義形式，更需要在比較、變化等聯(lián)系性活動(dòng)中揭示其內(nèi)涵．所以，真正能夠衡量和甄別學(xué)生認(rèn)識(shí)能力和水平的不是他們對(duì)靜態(tài)知識(shí)的記憶、再現(xiàn)和簡單應(yīng)用，而是他們從數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得的知識(shí)出發(fā)，對(duì)靜態(tài)結(jié)果知識(shí)所進(jìn)行的動(dòng)態(tài)理解、闡釋、批判、綜合和創(chuàng)新．

(4)挖掘例題、習(xí)題的教育教學(xué)功能，提煉數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域．”高考命題的一個(gè)基本理念是“源于課本，高于課本”．高考試題“源于課本”的特點(diǎn)決定了在高三復(fù)習(xí)中必須立足課本，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法.同時(shí)，高考的選拔功能又決定了高考試題又“高于課本”，因此，在立足課本的基礎(chǔ)上，還需要挖掘課本例題、習(xí)題所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法、拓展性結(jié)論、解題技能與方法，把方法交給學(xué)生．

案例4求平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之比等于2的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

本例是蘇教版《數(shù)學(xué)》(選修2-1)第63頁例2，其背景是阿波羅尼斯圓.首先，教師可以通過設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)求曲線方程的一般步驟，通過板書，突出解題規(guī)范；其次，教師可以通過變式(以下給出)，幫助學(xué)生系統(tǒng)地梳理中學(xué)階段常見的求軌跡方程的方法，使學(xué)生明確在什么情況下用哪種方法．

變式1 在△ABC中，AB= 2，頂點(diǎn)C滿足AC= 2BC，求頂點(diǎn)C的軌跡方程．

變式2 在△ABC中，AB= 2，頂點(diǎn)C滿足AC=λBC(λ> 0)，求頂點(diǎn)C的軌跡方程．

變式3 在△ABC中，AB= 2，頂點(diǎn)C滿足AC+BC=λ(λ> 2)，求頂點(diǎn)C的軌跡方程．

變式4 在△ABC中，AB= 2，頂點(diǎn)C滿足 |AC-BC| =λ(0 <λ< 2)，求頂點(diǎn)C的軌跡方程．

變式5 在△ABC中，AB= 2，頂點(diǎn)C滿足AC= 2BC，求△ABC面積的最大值．

變式6 在等腰△ABC中，腰上中線長AD= 2，求△ABC面積的最大值．

變式7 在△ABC中，AB= 2，頂點(diǎn)C滿足AC= 2BC，求△ABC重心G的軌跡方程．

變式9 (能力提升)設(shè)點(diǎn)M在圓C：(x- 4)2+ (y- 4)2= 8上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A(6, -1)，O為原點(diǎn)，求MO+ 2MA的最小值．

本例的背景是阿波羅尼斯圓.從本例的處理過程可以看出，通過對(duì)課本例題或習(xí)題的變式訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生提出問題和解決問題的能力，可以幫助學(xué)生尋找知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別，把握知識(shí)的本質(zhì)屬性．

“源于教材又高于教材”是高考命題的主旋律，教材中例題、習(xí)題反映了相關(guān)數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)屬性，蘊(yùn)涵著重要的數(shù)學(xué)思想方法，具有典型的解題示范作用，有著較高的開發(fā)潛質(zhì)．從本例可以看出，探究與例題、習(xí)題類型、結(jié)構(gòu)、方法相似的變式題，可以培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力.同時(shí)，以課本中的例題、習(xí)題為依托，進(jìn)行有針對(duì)性的變式探究、拓展、改造，其目的在于讓學(xué)生學(xué)會(huì)把具有共性的知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系條理化、系統(tǒng)化，注重知識(shí)的形成過程，尤其要深刻體會(huì)其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，以達(dá)到優(yōu)化知識(shí)、開闊視野、活躍思維目的，使得所學(xué)知識(shí)得以系統(tǒng)整合．

教材凝聚了專家們的心血智慧，教材中的內(nèi)容具有很強(qiáng)的基礎(chǔ)性、典型性與示范性，它是教師教學(xué)的基礎(chǔ)和根本，也是命題的立足點(diǎn)．教材中的定理、公式的證明與推導(dǎo)都體現(xiàn)了規(guī)范性與嚴(yán)謹(jǐn)性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的基本思想方法.教材中的例題習(xí)題都是經(jīng)過專家精心構(gòu)思、反復(fù)推敲后選定的，大部分題目比較基礎(chǔ)，入口淺，有利于學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)；同時(shí)，教材中的許多例題習(xí)題還能進(jìn)行深入的挖掘與拓展．因此，數(shù)學(xué)教材不僅是教師施教、學(xué)生學(xué)習(xí)的主要載體，也是高考命題的重要依據(jù)．高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，認(rèn)真專研教材，活化教材內(nèi)容，進(jìn)一步開發(fā)教材，拓展其教育教學(xué)功能，是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效途徑．