依托“符號(hào)意識(shí)”培養(yǎng)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型關(guān)鍵能力

盛小青 (江蘇省常州市新北區(qū)飛龍中學(xué) 213022)

1 問(wèn)題的提出：符號(hào)意識(shí)的認(rèn)識(shí)及解讀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(下稱《課標(biāo)2011》)提出十大核心概念：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新思想．十八大也提出“教育的根本任務(wù)在于立德樹(shù)人”，教育部在義教課標(biāo)頂層設(shè)計(jì)中明確數(shù)學(xué)學(xué)科“立德樹(shù)人”的目標(biāo)在于提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析．符號(hào)意識(shí)與數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理有明顯交集，由此可見(jiàn)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的地位和重要的數(shù)學(xué)價(jià)值．符號(hào)是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，也是數(shù)學(xué)的工具，更是數(shù)學(xué)的方法．?dāng)?shù)學(xué)符號(hào)具有的抽象性、明確性、簡(jiǎn)略性、通用性等在數(shù)學(xué)發(fā)展中起著舉足輕重的作用．廣義數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)包括數(shù)字、字母、圖形、關(guān)系式等，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中無(wú)時(shí)無(wú)刻不與符號(hào)打交道，只有認(rèn)識(shí)符號(hào)的重要性，以數(shù)學(xué)符號(hào)作為媒介去解剖數(shù)學(xué)問(wèn)題，才能抽象推理出與實(shí)際問(wèn)題情境相匹配的數(shù)學(xué)模型．所以新課標(biāo)把原來(lái)的“符號(hào)感”升級(jí)為“符號(hào)意識(shí)”，就是從意識(shí)形態(tài)上提示我們運(yùn)用符號(hào)要成為一種主動(dòng)的心理傾向，既要理解并運(yùn)用符號(hào)來(lái)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律，還要有主動(dòng)運(yùn)用符號(hào)參與運(yùn)算和推理的意識(shí)，更要理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式．在教學(xué)中重視符號(hào)意識(shí)的滲透，才能培養(yǎng)學(xué)生快速有效地建構(gòu)匹配的“數(shù)學(xué)模型”，才能把實(shí)際問(wèn)題有效化歸為純數(shù)學(xué)問(wèn)題去分析解決．

2 符號(hào)意識(shí)包含的內(nèi)容和建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的作用解讀

數(shù)學(xué)符號(hào)最本質(zhì)的意義在于它是抽象的結(jié)果，數(shù)的符號(hào)、字母符號(hào)、數(shù)和字母的運(yùn)算及推演都是結(jié)合生活實(shí)踐加以抽象，逐漸形成法則.可以說(shuō)數(shù)學(xué)符號(hào)與數(shù)學(xué)概念、命題一樣是一種成熟的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)是重要的教學(xué)目標(biāo)并具有豐富的現(xiàn)實(shí)意義．

(1)符號(hào)的本質(zhì)在于可以表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律

數(shù)字本身就可以作為大小排序的符號(hào)，引入字母表示數(shù)后的經(jīng)典應(yīng)用主要有兩類：一類是撿到人民幣若干元的失物招領(lǐng)問(wèn)題，可以用撿到人民幣n元這一多數(shù)人認(rèn)可的形式初步感受用字母符號(hào)表示數(shù)；第二類是數(shù)青蛙腿的順口溜，在用數(shù)字念順口溜越來(lái)越難并發(fā)現(xiàn)順口溜無(wú)窮無(wú)盡時(shí)，可以借助字母表示順口溜中呈現(xiàn)的變化規(guī)律，用一句話即可完全概括．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是由易到難，循序漸進(jìn)，符號(hào)表達(dá)的對(duì)象、符號(hào)關(guān)系式或數(shù)學(xué)模式語(yǔ)言去表示特定的數(shù)學(xué)變化規(guī)律均經(jīng)歷了從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從相對(duì)具體到相對(duì)抽象的過(guò)程．如果在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能長(zhǎng)期滲透同一數(shù)學(xué)對(duì)象可以用不同的符號(hào)去進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)的意識(shí)，如關(guān)系式、表格、圖象等，而且這些表達(dá)方式可以互相轉(zhuǎn)換，那么我們就明晰了數(shù)學(xué)模型的基本要素——符號(hào)．教學(xué)中常用的數(shù)形結(jié)合、化歸思想與數(shù)學(xué)表達(dá)方式的有效轉(zhuǎn)換也不謀而合．

(2)符號(hào)的核心價(jià)值是使用符號(hào)進(jìn)行符合邏輯的運(yùn)算和推理

運(yùn)算和推理是數(shù)學(xué)活動(dòng)最重要的基本形式.如果說(shuō)用符號(hào)表示具體問(wèn)題中的數(shù)、數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律等是數(shù)學(xué)思考的第一步，那么一定并合理的邏輯法則支撐下使用符號(hào)運(yùn)算和推理才是至關(guān)重要的．而學(xué)生使用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理的意識(shí)和能力都是目前特別欠缺的．教學(xué)中，只有不斷滲透以符號(hào)為媒介進(jìn)行關(guān)系轉(zhuǎn)換、合情推演，結(jié)合演繹推理、模型抽象等思想方法，才能有效提高學(xué)生模型的建構(gòu)能力，最終建構(gòu)合理的“數(shù)學(xué)模型”去解決實(shí)際問(wèn)題．

(3)“用”符號(hào)是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式

數(shù)學(xué)符號(hào)光“懂”是不夠的，關(guān)鍵是會(huì)“用”.所謂的數(shù)學(xué)表達(dá)就是學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)采用的必要方式，有效的數(shù)學(xué)表達(dá)需要以符號(hào)作為媒介進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)．有效的數(shù)學(xué)思考也必須借助符號(hào)進(jìn)行，只有符號(hào)參與的數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考才能超越數(shù)學(xué)對(duì)象的具體屬性，從形式化的角度進(jìn)行邏輯推演，才能保證結(jié)果的嚴(yán)謹(jǐn)性、唯一性，保證方法的可操作性和通用性．

3 從一堂課談符號(hào)意識(shí)的滲透與建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的培養(yǎng)

《課標(biāo)2011》明確指出，數(shù)學(xué)教學(xué)必須結(jié)合概念、命題、公式的教學(xué)，不斷培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，盡可能通過(guò)實(shí)際問(wèn)題或現(xiàn)實(shí)情境創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)、幫助學(xué)生理解符號(hào)以及表達(dá)式、關(guān)系式的意義，進(jìn)而對(duì)現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題進(jìn)行符號(hào)的抽象和表達(dá)．特別強(qiáng)調(diào)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程的本質(zhì)就是先進(jìn)行符號(hào)的抽象與表達(dá)，再使用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算、推理、思考；要主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這一完整過(guò)程，才能積累學(xué)生運(yùn)用符號(hào)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟符號(hào)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想本質(zhì)，真正培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，提高建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力．“用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題”這節(jié)課正是基于本目標(biāo)展開(kāi)的教學(xué)設(shè)計(jì).下面就結(jié)合九年級(jí)上“用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題”這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，談如何通過(guò)符號(hào)意識(shí)幫助學(xué)生把生活中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問(wèn)題并建構(gòu)成分式“模型”的設(shè)計(jì)思路．

教學(xué)目標(biāo) (1)理解糖水濃度的分式表示；(2)能用分式表示糖水濃度的變化；(3)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型體驗(yàn)生活中的數(shù)學(xué)，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．

重難點(diǎn) 數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建．

教學(xué)過(guò)程

·板塊1——用數(shù)學(xué)的眼光看一個(gè)生活問(wèn)題

問(wèn)題1給杯中加一定水，然后加糖，根據(jù)加糖多少糖水就有濃有淡，我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)方式表示糖水的濃淡程度(簡(jiǎn)稱糖水濃度)呢？

問(wèn)題2給剛才杯中的糖水繼續(xù)加糖，這時(shí)候感覺(jué)糖水如何？你能用數(shù)學(xué)方法來(lái)描述你的感覺(jué)嗎？

教師引導(dǎo)分析：(1)剛才杯中的糖水濃度如何表示？(2)繼續(xù)加糖，這時(shí)候糖水濃度如何表示？(3)變甜是什么意思，怎樣用數(shù)學(xué)方式表達(dá)糖水變甜？

(學(xué)生獨(dú)立完成)

教師歸納：在這個(gè)問(wèn)題中，要分離出原來(lái)、現(xiàn)在的濃度如何表示，變甜的數(shù)學(xué)本質(zhì)是濃度變大．

設(shè)計(jì)思路從生活中常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，讓學(xué)生主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)糖水的濃淡問(wèn)題就是糖的質(zhì)量與水溶液質(zhì)量的比值問(wèn)題.可以用字母分別表示變化中的糖和水的質(zhì)量，就能建構(gòu)用符號(hào)表示的基本數(shù)學(xué)模型——分式.這一數(shù)學(xué)思考過(guò)程中要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)經(jīng)歷符號(hào)的抽象和表達(dá)過(guò)程，逐步培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)用符號(hào)的意識(shí)．

問(wèn)題4用數(shù)學(xué)方法嘗試說(shuō)明一杯糖水中繼續(xù)加水后變淡了．

(學(xué)生獨(dú)立完成，同伴互查)

設(shè)計(jì)思路嘗試分析一杯糖水加水變淡問(wèn)題，就是要求學(xué)生能在符號(hào)表達(dá)的基礎(chǔ)上初步嘗試使用符號(hào)進(jìn)行符合邏輯的運(yùn)算和推理，把探索糖水變濃變淡問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成研究分式的值在分子分母變化后的變化問(wèn)題.這兩個(gè)問(wèn)題意在讓學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)過(guò)程往往就體現(xiàn)于“數(shù)學(xué)符號(hào)之間的運(yùn)算”這一數(shù)學(xué)思考的本質(zhì)．

·板塊2——進(jìn)一步探究有關(guān)糖水中的現(xiàn)象

問(wèn)題1現(xiàn)有兩杯糖水，一杯濃，一杯淡，進(jìn)行混合．混合后你的感覺(jué)怎樣，如何用數(shù)學(xué)方式來(lái)表示這種感覺(jué)？

教師引導(dǎo)分析：(1)濃的糖水、淡的糖水濃度如何表示？(2)混合后的糖水濃度如何用式子表示？

(學(xué)生獨(dú)立完成后，同伴相互說(shuō)一說(shuō))

教師歸納：(1)如何表示濃淡不一的糖水；(2)如何將生活的感受轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)表達(dá)．

問(wèn)題2上述問(wèn)題中兩杯糖水混合后的濃度是不是就是兩杯的平均濃度呢？

教師引導(dǎo)分析：(1)這里涉及的三個(gè)濃度如何表示？(2)題目的意思如何用數(shù)學(xué)來(lái)表達(dá)？(3)不妨取一些特殊值嘗試，發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(4)如何來(lái)說(shuō)明是否相等？

(學(xué)生獨(dú)立嘗試，同伴說(shuō)一說(shuō))

教師歸納：(1)這里包含哪幾個(gè)概念；(2)如何說(shuō)明是否相等.

設(shè)計(jì)思路經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象，學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)糖水的濃度問(wèn)題符號(hào)表達(dá)的本質(zhì)就是糖的質(zhì)量與糖水混合液的質(zhì)量比值——分式的值，引導(dǎo)學(xué)生思考比較兩杯不同的糖水的濃度問(wèn)題可以使用分式的加減乘除符號(hào)參與運(yùn)算和推演.如果推演后得到兩杯糖水濃度的最終符號(hào)結(jié)果具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式，那么兩杯糖水一樣甜，反之則不一樣．符號(hào)推演及運(yùn)算是超越了研究糖水問(wèn)題的具體屬性的高度抽象，在板塊1中一杯糖水濃度的基礎(chǔ)上更進(jìn)了一步，對(duì)學(xué)生運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的要求又上了一個(gè)臺(tái)階．兩杯糖水混合后的濃度是否與兩杯糖水的平均濃度相同的問(wèn)題對(duì)學(xué)生挑戰(zhàn)比較大，可以鼓勵(lì)學(xué)生先用一些特殊值去進(jìn)行計(jì)算猜想，再使用符號(hào)去進(jìn)行運(yùn)算、推理，驗(yàn)證猜想的正確性和科學(xué)性，感受運(yùn)用符號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的獨(dú)特思維品質(zhì)．

·板塊3——糖水中可以得到一個(gè)的結(jié)論

問(wèn)題1一大杯糖水分別倒入三個(gè)小杯中，大杯、小杯中的糖水濃度有什么特征？

教師引導(dǎo)分析：(1)這里的濃度有什么特征？(2)你能發(fā)現(xiàn)什么？

(學(xué)生獨(dú)立思考后同伴說(shuō)一說(shuō))

歸納：(1)這里得到了分式的一個(gè)很重要的性質(zhì)(等比性質(zhì))．

問(wèn)題2假如把這一大杯分給五個(gè)小杯后你能得到怎樣的數(shù)學(xué)性質(zhì)？

(獨(dú)立完成，同伴交流)

設(shè)計(jì)思路基于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，很容易理解大杯中的糖水倒入不同的杯中，不會(huì)改變糖水的濃度．要引導(dǎo)學(xué)生把生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)表達(dá)即符號(hào)表達(dá)，那么學(xué)生的符號(hào)意識(shí)就能在潛移默化中增長(zhǎng)．在使用符號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)中發(fā)現(xiàn)當(dāng)分式的分子與分母以相同的比例變化時(shí)分式的值不變，也就自然生成了分式的等比性質(zhì)這一數(shù)學(xué)模型．很多數(shù)學(xué)的定理和性質(zhì)正是通過(guò)生活經(jīng)驗(yàn)和符號(hào)運(yùn)算進(jìn)行相互驗(yàn)證后得出的，這種認(rèn)知結(jié)構(gòu)既符合學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，也進(jìn)一步讓學(xué)生感受到符號(hào)作為媒介的數(shù)學(xué)表達(dá)形式的價(jià)值所在．

·板塊4——?dú)w納與整理

問(wèn)題1今天我們學(xué)習(xí)了如何用數(shù)學(xué)方式來(lái)描述糖水的濃淡，也就是用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)描述自然現(xiàn)象，其實(shí)我們以前也經(jīng)常這樣去嘗試：

(學(xué)生讀一讀)

問(wèn)題2有一桶水質(zhì)量為100 kg，用來(lái)洗一件含有akg臟物的衣服(臟物能完全溶于水)，每次洗后留在衣服上的臟水1 kg，問(wèn)：這桶水分一次洗衣服干凈，還是平均分兩次洗干凈？

(教師引導(dǎo)分析題意后，學(xué)生獨(dú)立完成)

問(wèn)題3如何判斷兩個(gè)圖形“像”與“不像”？

我們知道，生活中有一些平面圖形之間并不完全相似，有時(shí)感覺(jué)兩個(gè)圖形“像”的程度大一點(diǎn)，有時(shí)感覺(jué)兩個(gè)圖形“像”的程度差一點(diǎn).那么我們?cè)鯓佑脭?shù)學(xué)方式來(lái)描述兩個(gè)圖形“像”與“不像”呢？解決下列問(wèn)題：

圖1 圖2 圖3

圖1中三角形為正三角形，圖2和圖3中三角形都為等腰三角形．我們的視覺(jué)中，圖2中等腰三角形形狀更像(更接近于)圖1中正三角形．請(qǐng)你用數(shù)學(xué)方式來(lái)描述等腰三角形與正三角形的接近度(如果一個(gè)等腰三角形與另一個(gè)等腰三角形相似，我們就認(rèn)為這兩者與正三角形接近度一樣或一樣“像”)．

(教師引導(dǎo)分析題意后，學(xué)生獨(dú)立完成，小組交流)

設(shè)計(jì)思路本環(huán)節(jié)是用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題的拓展與延伸，進(jìn)一步凸顯了數(shù)學(xué)符號(hào)具有高度的概括性和一般性特征.在把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的生活語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言時(shí)，我們要抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)予以解讀和表征，要靈活地、全方位地去認(rèn)識(shí)和理解符號(hào)的意義和符號(hào)之間的關(guān)聯(lián)性．特別是同一符號(hào)的多重意義的理解，如糖水濃度問(wèn)題的符號(hào)表達(dá)也可以表示走路的快慢、電流的強(qiáng)弱、物品的價(jià)格高低等.學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)符號(hào)去進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)表達(dá)，那么生活中很多實(shí)際問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題去思考、去表征，從而建構(gòu)數(shù)學(xué)模型去解決．

4 結(jié)束語(yǔ)

歐洲文明的起源地是古希臘，古希臘人認(rèn)為世界就是一個(gè)簡(jiǎn)單的、符合邏輯、能以數(shù)學(xué)表達(dá)的世界.這一數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)既與我們今天倡導(dǎo)的符號(hào)意識(shí)不謀而合，也為符號(hào)意識(shí)提供了強(qiáng)大的理論支撐．在遙遠(yuǎn)的歐洲古典時(shí)期數(shù)學(xué)家就有如此的遠(yuǎn)見(jiàn)卓識(shí)更彰顯了符號(hào)意識(shí)的重要地位，在試圖全面提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的今天，我們更要在教學(xué)中引導(dǎo)并幫助學(xué)生牢固樹(shù)立符號(hào)表示、使用符號(hào)運(yùn)算推演并解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)，長(zhǎng)期滲透符號(hào)意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力才能真正提升并收到實(shí)效．