一道教材習(xí)題的探解，引申和應(yīng)用

左效平 趙慶山

教材是學(xué)習(xí)的主要依據(jù)，習(xí)題是鞏固所學(xué)的主要途徑，規(guī)范探解習(xí)題，科學(xué)引申習(xí)題，靈活運(yùn)用習(xí)題都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效途徑，主動(dòng)探究習(xí)題，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)，下面就向大家推薦習(xí)題探究的基本模式，供學(xué)習(xí)時(shí)借鑒，

原題再現(xiàn)：

工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法如下：如圖l，∠AOB是一個(gè)任意角。在邊OA，OB上分別截取OM=ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)M，N重合，過(guò)角尺頂點(diǎn)C的射線便是∠AOB的平分線，為什么？（人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)P37頁(yè)第2題）

題意剖析：閱讀命題時(shí)，做到“一寫三化”，“一寫”就是把已知的條件寫下來(lái)，“三化”就是把語(yǔ)言文字?jǐn)?shù)學(xué)式子化、符號(hào)化、圖形化，這樣就把問(wèn)題數(shù)學(xué)化了，化歸學(xué)科模型，形成學(xué)科體系，體現(xiàn)學(xué)科特點(diǎn)，為問(wèn)題解決奠定基礎(chǔ)，解答時(shí)，遵循“三步模式”即寫已知、定求證、給證明，

在書寫時(shí)，要注意文字嚴(yán)謹(jǐn)，描述準(zhǔn)確到位，確保問(wèn)題整體的完整性，系統(tǒng)性，科學(xué)性，

已知：如圖2.已知∠AOB，點(diǎn)M，N分別是OA，OB上的點(diǎn)，且OM=ON，若CM=CN，

求證：OC平分∠AOB。

證明

因?yàn)镺M=ON（已知），CM=CN（已知），OC=OC（公共邊），所以△OMC≌△ONC，所以∠MOC=∠NOC，所以O(shè)C平分∠AOB，

變式探究：

變式l將CM，CN與角的兩邊的位置關(guān)系垂直化

如圖3.用三角尺可按下面方法畫角的平分線：在已知的∠AOB的兩邊上，分別取OM=ON，再分別過(guò)點(diǎn)M，N作OA，OB的垂線，交點(diǎn)為P，畫射線OP，則OP平分∠AOB，為什么？

分析 此題是原題的特殊化情形之一，即將二線的位置關(guān)系由一般化轉(zhuǎn)化為特殊的垂直關(guān)系。由直角的特殊性，從而運(yùn)用HL繼續(xù)判定兩個(gè)三角形是全等的，從而確保結(jié)論的不變，

通過(guò)證明，這是一個(gè)真命題，可以看成是角的平分線的一個(gè)重要的性質(zhì)定理，

推論在角的兩邊且到角的頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)與角平分線上的點(diǎn)的距離相等，

特性 角的平分線垂直平分在角的兩邊且到角的頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的連線，如圖5所示，

性質(zhì)的證明，同學(xué)們可以自己獨(dú)立完成，

變式3隱藏兩邊上的等線段，探求結(jié)論不變性

點(diǎn)評(píng)：角的平分線的性質(zhì)定理和推論可以看成是角的平分線的姊妹性質(zhì)，是學(xué)習(xí)、應(yīng)用角的平分線解決問(wèn)題的重要依據(jù)，同學(xué)們務(wù)必準(zhǔn)確，熟練，靈活的掌握與應(yīng)用，提高自己的數(shù)學(xué)解題能力和問(wèn)題解決能力，

變式4變角的平分線為三角形的角的平分線，探求新結(jié)論

如圖7.AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，EF與AD相交于點(diǎn)G，AD與EF垂直嗎？證明你的結(jié)論，

分析將角的平分線轉(zhuǎn)型為三角形的角平分線，角平分線的意義不會(huì)改變，為角的平分線性質(zhì)的運(yùn)用提供基礎(chǔ)，雖然看上去沒(méi)有了變式中的等線段，但是垂線段的出現(xiàn)為等線段的浮出水面奠定基礎(chǔ)，因此解答時(shí)，只需先運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)，借助三角形的全等，生成等線段，從而把問(wèn)題化歸為變式2.問(wèn)題自然就順利得解，

點(diǎn)評(píng) 把獨(dú)立的角置身于三角形的內(nèi)角，優(yōu)化了問(wèn)題生成的背景，提高問(wèn)題的趣味性，豐富問(wèn)題的內(nèi)涵，拓展解題的思路，通過(guò)解答，不難發(fā)現(xiàn)AD不僅垂直EF，且AD平分EF，

此題完整的結(jié)論應(yīng)該是AD垂直平分EF，我們可以把這個(gè)圖形再次提取出來(lái)，得到一個(gè)典型圖形，具體如下：

變式5生成一個(gè)嶄新而趣味滿滿的箏形（圖8），已知AB=AD，CB=CD，稱四邊形ABCD是箏形，

仿照上述的證明，不難發(fā)現(xiàn)箏形具有如下性質(zhì)：

1.AC是∠BAD，∠BCD的角平分線：

2.AC垂直平分BD，感興趣的同學(xué)們可以自己給出性質(zhì)的證明。

性質(zhì)的應(yīng)用：

點(diǎn)評(píng)這是原題性質(zhì)的具體應(yīng)用，同時(shí)解答的過(guò)程中，也提供了一種證明一條線段等于其余兩條線段和的重要方法——截長(zhǎng)法，希望能熟練掌握這種解題方法并能靈活運(yùn)用。