從“大思考”到“大動筆”

徐超凡

2019年連云港市中考數(shù)學(xué)試題第27題，思維含量高，書寫量大，輔助量大、變量思想顯著，很好地突出了中考試題的選拔功能，有助于不同層次學(xué)校的選人和用人，這種“大思考→大動筆”的測查方式，一方面旨在讓不同思維水平的學(xué)生考出了應(yīng)有的成績;另一方面旨在讓不同學(xué)生在自己的思維水平上“上好學(xué)”，盡管，“大思考”到“大動筆”，在一定層面不利于“中段學(xué)生”思維水平的精準(zhǔn)測查，但不影響對學(xué)生思維發(fā)展的促進(jìn)作用。

1 試題呈現(xiàn)

2 試題評析

2019年連云港市中考數(shù)學(xué)試題第27題考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明三角形全等和相似是解決問題的關(guān)鍵，

連云港2019年第27題是對蘇科版八年級下冊第94頁第19題“課本習(xí)題”的改編、構(gòu)造和靈活應(yīng)用，指導(dǎo)我們要在“做中教數(shù)學(xué)”，在數(shù)學(xué)教學(xué)層面，要重視學(xué)生推理能力的培養(yǎng)，并在提高“思維運(yùn)演水平”方面要做出進(jìn)一步努力，通過以上分析，我們發(fā)現(xiàn)該題非常重視學(xué)生的推理能力和動手操作能力考查，帶有強(qiáng)烈的“大思考”“大動筆”特征，教之道在于“度”，學(xué)之道在于“悟”，考之道在于“思考”，數(shù)學(xué)思考是試題的文化精髓和精神長相，是數(shù)學(xué)考查的重要任務(wù)和關(guān)鍵目標(biāo)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力。清晰地表達(dá)自己的想法，這里的“推理”就是一種“大思考”，“表達(dá)想法”就是“做數(shù)學(xué)→大動筆→小動筆”，如何將“大思考”與“大動筆”構(gòu)筑成一個(gè)統(tǒng)一體，并重視“小動筆”書寫格局的培養(yǎng)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展呢？

3 三點(diǎn)思考

3.1 “大思考”不在于復(fù)雜，更在于“大道至簡”

在中考時(shí)長定格的心理?xiàng)l件下，大思考不在于復(fù)雜，而是簡單，這與“觀點(diǎn)越高，事物越顯得簡單”（克萊因語），具有內(nèi)部關(guān)系一致性，中考壓軸題是中考試卷的精華，體現(xiàn)了試卷的甄別和選拔功能，但這并不意味著壓軸題一定很復(fù)雜，難度很大，壓軸題一般是依標(biāo)（課程標(biāo)準(zhǔn)）據(jù)本（課本），考查學(xué)生的四基：基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)，如果把數(shù)學(xué)單一的知識比作一塊塊磚，那么壓軸題就是一幢樓，由一塊塊磚按照一定的規(guī)則合理建構(gòu)而成，由于設(shè)計(jì)者獨(dú)具匠心，壓軸題風(fēng)格各異，但扒開現(xiàn)象突出實(shí)質(zhì)，不管它有三十六變還是七十二變，山還是那座山，水還是那湖水，原理還是那原理，連云港市中考數(shù)學(xué)壓軸題以課本習(xí)題為母本開花散枝，讓學(xué)生感到“看似尋常最奇崛，成如容易卻艱辛”，其實(shí)進(jìn)行圖形分解，逐步將其轉(zhuǎn)化為常見圖形，問題就迎刃而解了，為了提高學(xué)生解決壓軸題的能力，不能一味選擇歷年中考試卷壓軸題編制專題，應(yīng)該立足教材，展開課本習(xí)題教學(xué)，在習(xí)題的基礎(chǔ)上改編，拓展問題，這樣做省事省力，讓學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)刻有成就感，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，久而久之就會邁出一大步，在訓(xùn)練學(xué)生思維能力的過程中，不要復(fù)雜問題復(fù)雜化，而是復(fù)雜問題簡單化，正如希爾伯特說：“當(dāng)我聽別人講解某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，常覺得很難理解，甚至不可能理解，這時(shí)便想，是否可以將問題化簡些呢？往往，在終于弄清楚之后，實(shí)際上，它只是一個(gè)更簡單的問題，”比如在學(xué)習(xí)復(fù)雜的幾何問題時(shí)，一定要?dú)w納方法，注意圖形分解，從復(fù)雜圖形中抽出基本圖形（比如相似中的K形圖、X形圖、A形圖），把復(fù)雜問題分解為基本知識，化解學(xué)生對壓軸題的畏難情緒，增強(qiáng)學(xué)生解決壓軸題的信心。

課標(biāo)與教材永遠(yuǎn)是中考命題的生長點(diǎn)和源頭活水，中考數(shù)學(xué)試題中大約八成的試題來自教材，壓軸題也不例外，教材是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的直接反映，是基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)的直接載體，教師應(yīng)該回歸教材，在充分理解教材的編寫意圖、教學(xué)要求和教學(xué)理念的基礎(chǔ)上，從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的教學(xué)情境，對教學(xué)內(nèi)容適當(dāng)?shù)恼稀⒀a(bǔ)充、加工，創(chuàng)造性的使用教材，發(fā)揮教材的示范作用，開發(fā)教材中的課程資源，從而衍生一系列創(chuàng)新問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，為壓軸題順利解決奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

3.2 “大動筆”不在于多寫，更在于“道中有道”

由于時(shí)間限制，在中考考試過程中，如果卷面書寫量很大，就會造成不少學(xué)生考試不能順利做完，正如高斯所說“數(shù)學(xué)中的一些美麗定理具有這樣的特性：它們極易從事實(shí)中歸納出來，但證明卻隱藏的極深，”在解決連云港市中考數(shù)學(xué)27題問題探究（2）時(shí)，由于選擇方法不同，書寫容量迥然不同，考慮到中考考試時(shí)間限制，就要意識到“大動筆”當(dāng)然不是“寫多”和“多寫”，重在“言之成理+落筆有據(jù)”，教師在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，要避免兩種思想導(dǎo)向：一種是數(shù)學(xué)要多做，做多了，經(jīng)驗(yàn)自然就有了;一種是解題過程要詳細(xì)，能寫的都寫出來，“數(shù)學(xué)是思維的體操”，數(shù)學(xué)讓人越來越聰明，為此，日常的練習(xí)在于精而不在于多。大量的重復(fù)練習(xí)只會凝固學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，把學(xué)生的動腦思考搞成體力活，加德納認(rèn)為，“數(shù)學(xué)的真諦就在于不斷尋求用越來越簡單的方法證明定理和解決數(shù)學(xué)問題，”教師要求學(xué)生在做中提煉方法，對問題歸類整理，對于思考容量大的問題，并不是把想到的都要呈現(xiàn)在紙上，思考成果的展示，不能眉毛胡子一把抓，應(yīng)該把握住關(guān)鍵環(huán)節(jié)逐一呈現(xiàn)，達(dá)到邏輯清晰，言簡意賅，一目了然就行了。

“道中有道”是一種做題思想，一種解題策略，一種數(shù)學(xué)隋懷，不是一蹴而就的，需要教師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎紤B(tài)度、科學(xué)的表達(dá)習(xí)慣，思維“留白”的能力，方能讓學(xué)生在教師的表達(dá)方式熏陶下，獲得“做道”“生道”能力，因此，我們在教授課本習(xí)題時(shí)，就要讓學(xué)生在獲得圖5中AE=MN直接結(jié)果的同時(shí)，拋開“就題論題”的不良習(xí)慣，延伸思維，讓學(xué)生進(jìn)一步獲得“EC=BM+DN”的結(jié)論，這就是一種“生道”能力，其中，書寫的“尚簡”能力和“落筆有據(jù)”的思想意識就是一種“做道”，為后續(xù)預(yù)留足夠的彈性的思考空間和形成“基本套路”產(chǎn)生式，在筆者看來，好的中考就是在最短的時(shí)間內(nèi)，用最正確的方法、獲得最正確的結(jié)論，這就是“道中生道”給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來的最大貢獻(xiàn)。

3.3 “大思考”到“小動筆”，更契合“做中生道”

“大思考”“大動筆”固然是是中考壓軸題的應(yīng)然追求。但“大思考”到“小動筆”依然是未來中考的一道思維風(fēng)景線，問題探究（2）中求P'S的最小值，參考答案給出了詳細(xì)的推理過程，有極大的思考量，不過筆者認(rèn)為，在考場上，學(xué)生很難添加出眾多的輔助線，更別說展示極大的書寫容量了，卓斯拿斯認(rèn)為，“純粹幾何學(xué)的學(xué)說往往會給出，而在許多問題中會給出多個(gè)簡單而自然的辦法來洞察諸真理的來源，去揭露那連接它們的神秘鏈索，去使它們獨(dú)特地、明白地、完全地被認(rèn)識”，為此，求P'S的最小值只需進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，動手操作，找到點(diǎn)P落點(diǎn)的軌跡，將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，通過等腰直角三角形很容易求出P'S的最小值，這樣做直觀明了，只需小動筆即可解決，就考試而言，得到分?jǐn)?shù)才是硬道理，解答問題時(shí)，盡量方法優(yōu)化，過程簡明扼要，為解決下一個(gè)疑難問題留下時(shí)間多一點(diǎn)，

在日常的教學(xué)中，教師不能只顧埋頭拉車，卻不抬頭望路，要在教的過程中讓學(xué)生有體悟，不僅僅是悟出方法，更重要的是覺察命題者的思路、意圖，及今后側(cè)重學(xué)習(xí)的方向，回顧一下連云港2017、2018年的中考壓軸題，連云港2017年壓軸題?？疾榈氖且坏浪倪呅尉C合題，難度比較大，需要添加輔助線，以及利用分類討論思想，題目相對很長，可能給“場依存”傾向的考生帶來一定層面的心理壓力，連云港2018年壓軸題，考查的仍是四邊形、三角形與動點(diǎn)相結(jié)合的面積問題，綜合性強(qiáng)，第4問，題目篇幅相對2017年來說，有了簡化，難度上比2017年有所下降，連云港市連續(xù)三年偏愛實(shí)驗(yàn)操作題，命題意圖非常明顯，就是為了推動學(xué)生在“做中學(xué)數(shù)學(xué)”，教師在“做中教數(shù)學(xué)”，進(jìn)而提升教師的教學(xué)水平和學(xué)生的思維水平。

概言之，通過對2019年連云港中考壓軸題的分析和思考，旨在培養(yǎng)學(xué)生思維能力，啟示我們要把發(fā)展學(xué)生的思維心理水平貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程，在實(shí)際學(xué)習(xí)中，一方面，教師要讓學(xué)生不斷地運(yùn)用比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理等思維方法，建立知識的獲得、保持和遷移機(jī)制，提高學(xué)生的思維能力和思考水平：另一方面，教師要帶領(lǐng)學(xué)生研究教材、重組教材、用好教材、學(xué)好教材，設(shè)計(jì)具有思考容量的問題。為鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)提供具體的內(nèi)容和載體，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)并不陌生，源于課本、高于課本，源于生活，高于生活，進(jìn)而促進(jìn)“數(shù)學(xué)與生活同行”“活動與思考并重”的能力。