從一道幾何名題到中考模擬試題的演變

張安軍

在數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展中。有一些耐人尋味的經(jīng)典名題，如璀璨的明珠，吸引了一代又一代的數(shù)學(xué)愛好者，同時(shí)也得到廣大數(shù)學(xué)命題者的青睞，試題命制者通過(guò)對(duì)一些名題的挖掘和改編，選擇了合適的內(nèi)容作為試題的考查對(duì)象，以經(jīng)典名題為背景的試題。讓數(shù)學(xué)試卷充滿濃濃的文化味。又能激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的熱情，提升素養(yǎng)，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，筆者受區(qū)教學(xué)發(fā)展中心委托，命制一份區(qū)中考模擬試題，在命制過(guò)程中，對(duì)歷史上一道經(jīng)典的幾何名題進(jìn)行挖掘和開發(fā)。演變成了一道幾何壓軸題，現(xiàn)展示其命制過(guò)程，與同行們分享。

1幾何名題及其分析

英國(guó)數(shù)學(xué)家塔克給出“逆平行線”的概念?！澳嫫叫芯€”不同于“平行線”。但又和“平行線”有著密切的關(guān)系，兩條直線平行它們所構(gòu)成的同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等，反之若兩條直線被第三條直線所截，所構(gòu)成的同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行，在一個(gè)三角形中。若一條直線截三角形的兩邊所構(gòu)成的四邊形恰好有一個(gè)外接圓，那么該截線稱作三角形第三條邊上的“逆平行線”。圓的內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于內(nèi)對(duì)角，實(shí)質(zhì)上借助了角的數(shù)量關(guān)系，在平行線的基礎(chǔ)上命名“逆平行線”。三角形各邊上的逆平行線（或平行線）與三角形各邊相交構(gòu)成六個(gè)點(diǎn)。如果以此為背景，直接作為考題，證明這六個(gè)點(diǎn)共圓，不是很妥，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）對(duì)判斷四點(diǎn)共圓不作要求。另外整個(gè)圖形線條繁瑣。背景復(fù)雜，起點(diǎn)高，不利于不同層次的考查和區(qū)分，然而“逆平行線”內(nèi)涵豐富，揭示了角與角之間的數(shù)量關(guān)系，與初中的三角形、相似三角形、圓內(nèi)接四邊形都有著直接的聯(lián)系?！澳嫫叫芯€”這一名稱也是基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)而提出。

2試題命制過(guò)程

塔克圓中最鮮活的素材就是“逆平行線”。由于“逆平行線”是初中教材中沒有出現(xiàn)的一個(gè)名詞。因此可以命制一道新定義試題，這樣的新定義源于歷史，而不是命題者為編制試題隨意編造一個(gè)新名詞，以“定義——理解——探究——應(yīng)用”命題思路展開。先定義“逆平行線”，在理解定義的基礎(chǔ)上，考查從定義出發(fā)判斷一條線段是否為“逆平行線”。結(jié)合新定義用尺規(guī)作圖求作“逆平行線”，然后在特殊的三角形中運(yùn)用新定義進(jìn)行自主探究解決問(wèn)題，命制時(shí)，為了突顯試題的整體性和連貫性，以“逆平行線”為主線。貫穿問(wèn)題的始終。

初稿如圖2（1），點(diǎn)D，E分別是△ABC邊AB和AC上的點(diǎn)，若∠B=∠AED，稱DE為邊BC的逆平行線。

（1）如圖2（1），點(diǎn)D，E分別是△ABC邊AB和AC上的點(diǎn)，若AD=3.AB=8.AE=4.AC=6.求證：DE是△ABC邊BC的逆平行線，

（2）在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)E作邊AB的逆平行線交BC于F，請(qǐng)用尺規(guī)作圖求作EF，

（3）如圖2（2），已知等腰△ABC，AB=AC，D是邊AB上的一點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)D作邊BC的逆平行線交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作邊AB的逆平行線交BC于點(diǎn)F，再過(guò)點(diǎn)F

分析：定義“逆平行線”不夠嚴(yán)謹(jǐn)，缺乏一般性，第（1）問(wèn)，為了考查對(duì)定義中“逆平行線”的理解，給出了太多的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)對(duì)后繼的問(wèn)題缺乏關(guān)聯(lián)性;第（2）問(wèn)在理解“逆平行線”的基礎(chǔ)上，過(guò)一點(diǎn)作已知直線的“逆平行線”。重在考查幾何尺規(guī)作圖，然而在幾何新圖形學(xué)習(xí)的過(guò)程中，如三角形等，一般地是先確定研究對(duì)象（給出定義）再探究它的性質(zhì)（發(fā)現(xiàn)，證明），那么“逆平行線”是否有特殊的性質(zhì)呢？第（3）問(wèn)，結(jié)論已知，探索條件，重在考查等腰三角形、全等三角形等相關(guān)知識(shí)，由于探索的結(jié)論指向過(guò)于明顯。作為壓軸題，綜合難度不夠，也沒有突出初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，通過(guò)上述分析?！澳嫫叫芯€”定義的嚴(yán)謹(jǐn)性和一般性有待加強(qiáng)，第（1）問(wèn)人為的拼湊明顯，不夠自然，第（2）問(wèn)沒有突顯幾何圖形學(xué)習(xí)的一般觀念，即確定研究對(duì)象（給出定義）→性質(zhì)（發(fā)現(xiàn)，證明）→圖形的判定→研究特例，第（3）問(wèn)在難度上有待加強(qiáng)，

通過(guò)上述分析，在一般三角形中不易探索逆平行線的性質(zhì)，若三角形變?yōu)榈妊切?，“逆平行線”有哪些性質(zhì)呢？容易發(fā)現(xiàn)“逆平行線”的相關(guān)性質(zhì)，如過(guò)等腰三角形其中一腰上的點(diǎn)作底邊上“平行線”。這一條“平行線”也是一條“逆平行線”。同時(shí)還發(fā)現(xiàn)這條“逆平行線”垂直于外心與三角形頂點(diǎn)的連線。這兩條性質(zhì)在畫“平行線”的過(guò)程中自然產(chǎn)生。這樣就可以構(gòu)成試題的兩個(gè)問(wèn)，然后從定性到定量。讓學(xué)生在具體的等腰三角形中繼續(xù)進(jìn)行探索“逆平行線”的性質(zhì)?！澳嫫叫芯€”所圍成的四邊形有無(wú)面積最大值，四邊形最大時(shí)，G，D兩點(diǎn)有何位置關(guān)系？這樣就形成二稿，

二稿用一條直線截三角形的兩邊，所截得的四邊形若對(duì)角互補(bǔ)。則稱該直線為三角形第三條邊的逆平行線，如圖3（1），已知△ABC中，AB=AC，過(guò)邊AC上的點(diǎn)D作DE//BC交BC于點(diǎn)E。

（1）求證：DE是邊BC的逆平行線，

（2）如圖3（2），EF為邊AB的逆平行線，點(diǎn)O，I分別是△ABC的外心和內(nèi)心。連接AO和AI，可得AO⊥DE，AI⊥DE，若連接CO，CI，一定與EF垂直的線段是哪一條。并加以說(shuō)明。

（3）如圖3（3），已知AB=5.BC=6.過(guò)點(diǎn)E作邊AB的逆平行線。交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作邊AC的逆平行線，交AB于點(diǎn)G設(shè)AD=x，S_{四邊形AEFG}=y，

①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其自變量取值范圍，并求y的最大值。

②當(dāng)y最大值時(shí)，試探索AD+BG與AB的數(shù)量關(guān)系，

分析：雖然“逆平行線”的定義較以前嚴(yán)謹(jǐn)，也突顯了一般性，但是僅用文字語(yǔ)言進(jìn)行定義的界定，對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)基礎(chǔ)不好的同學(xué)在理解定義上會(huì)帶來(lái)困難。這樣在理解定義上缺乏公平性，第（1）問(wèn)過(guò)腰上的一點(diǎn)作底邊的平行線，難度適中，敘述簡(jiǎn)潔，在特殊的三角形中“逆平行線”和“平行線”是相同的，第（2）問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，主要考查提出和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并同時(shí)對(duì)自己所提出的問(wèn)題加以證明，然而通過(guò)類比。特意的引導(dǎo)和鋪設(shè)，會(huì)降低整道試題的難度，第（3）問(wèn)從定性到定量的刻畫，揉合了等腰三角形、勾股定理、相似三角形、二次函數(shù)等初中數(shù)學(xué)核心知識(shí)，然而在語(yǔ)言上敘述略顯繁瑣。能否使整個(gè)問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔明了呢？帶著這樣的問(wèn)題再進(jìn)行命制探索，

在定義“逆平行線”后。再通過(guò)圖形加以說(shuō)明。讓不同層次的學(xué)生都能理解“逆平行線”的定義。突顯試題的效度和信度，考慮壓軸題有一定的區(qū)分度，增加第（2）問(wèn)的難度，刪除了等腰三角形頂角角平分線與“逆平行線”有關(guān)“垂直”這一性質(zhì)的暗示，將這一結(jié)論隱藏起來(lái)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論，為了使第（3）問(wèn)敘述變得簡(jiǎn)潔，題意清晰，把條件都移到題干上，通過(guò)細(xì)細(xì)研磨，圖形美觀，問(wèn)題呈現(xiàn)簡(jiǎn)潔，設(shè)問(wèn)層次分明，

定稿用一條直線截三角形的兩邊。若所截得的四邊形對(duì)角互補(bǔ)，則稱該直線為三角形第三條邊的逆平行線，如圖4（1），DE為△ABC的截線，截得四邊形BCED。若∠BDE+∠C=180°，則稱DE為△ABC邊BC的逆平行線。

如圖4（2），已知△ABC中，AB=AC，過(guò)邊AB上的點(diǎn)D作DE//BC交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作邊AB的逆平行線EF。交邊BC于點(diǎn)F。

3 幾何名題到試題演變的思考

本題以“逆平行線”為主線構(gòu)造探究題。試題以新定義的方式呈現(xiàn)，敘述簡(jiǎn)潔，內(nèi)涵豐富，巧妙地將等腰三角形、勾股定理、圓心角定理、平行線、相似三角形、二次函數(shù)等初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)融合起來(lái)。同時(shí)設(shè)計(jì)的探究?jī)?nèi)容遵循“簡(jiǎn)單到復(fù)雜、特殊到一般”的規(guī)律，是一道具有較好的區(qū)分度和效度的新定義型試題。得到了一線教師的廣泛好評(píng)，回顧本題的命題過(guò)程。從最初的立意到后續(xù)的試題成型，有許多感悟值得筆者在今后的命題中鞭策自己?，F(xiàn)整理分享如下，

3.1 幾何名題的改編要突出數(shù)學(xué)的核心概念和知識(shí)

歷史上數(shù)學(xué)名題是許多數(shù)學(xué)家歷經(jīng)多年精心研究的成果，直接搬遷作為試題，特別是關(guān)鍵性的壓軸題有許多不妥。如上述中數(shù)學(xué)名題塔克圓和三角形九點(diǎn)共圓定理等。用到的許多數(shù)學(xué)知識(shí)在“課標(biāo)”中不作要求，如四點(diǎn)共圓的判定定理等;也有的作為選學(xué)內(nèi)容。如垂徑定理等，同時(shí)歷史上數(shù)學(xué)名題都有一定的難度，直接作為試題，不利于不同層次學(xué)生的考查，因此從數(shù)學(xué)名題走向試題需要醞釀和發(fā)酵的過(guò)程。命制者根據(jù)數(shù)學(xué)名題的材料對(duì)考查的目標(biāo)重新進(jìn)行構(gòu)造。所考查的內(nèi)容應(yīng)是初中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)。不得超越“課標(biāo)”。也不得通過(guò)新定義的方式把高中的知識(shí)下放到初中。避免加重學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，例如上述試題命制時(shí)雖取自于塔克圓。但所考查的內(nèi)容避免了“六點(diǎn)共圓”的繁瑣，在“六點(diǎn)共圓”的材料中取出一條線，即“逆平行線”。然后通過(guò)對(duì)“逆平行線”在特殊的三角形中展開研究，在研究的過(guò)程中既涉及到初中的主干知識(shí)，又突顯對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查落地生根，

3.2 幾何名題的改編要體現(xiàn)自然流暢的表達(dá)

從幾何名題走向試題要基于學(xué)生的認(rèn)知，新概念要基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)提出。在名題改編時(shí)要深入挖掘數(shù)學(xué)名題所蘊(yùn)含的思維資源。要以與學(xué)生智力發(fā)展水平相適應(yīng)的方式，有層次、有梯度的表達(dá)出來(lái)，這樣才能有效地發(fā)揮數(shù)學(xué)名題的育人價(jià)值，

例如上述試題中“逆平行線”的提出基于學(xué)生已有的“平行線”概念。在問(wèn)題的設(shè)置上類比三角形的“平行線”，如圖5（1），過(guò)△ABC邊AB上一點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作AB平行線EF交BC于點(diǎn)F，再過(guò)點(diǎn)F作AC的平行線交AB于點(diǎn)G，這樣得到三條平行線，一般地點(diǎn)G與點(diǎn)D不重合，如圖5（2），特殊情形當(dāng)點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合，此時(shí)這三條平行線組成三角形的中位線。三條中位線所構(gòu)成的三角形的面積是原三角形的面積的四分之一，那么三角形的“逆平行線”也有相類似性質(zhì)嗎？

試題以“逆平行線”為主線。讓學(xué)生展開類似性質(zhì)探究，在最后的一個(gè)問(wèn)題中，AD在何位置時(shí)，點(diǎn)D和G點(diǎn)重合。讓學(xué)生進(jìn)行自主探究，整個(gè)問(wèn)題的設(shè)置由易到難，梯度合理，各問(wèn)之間既要相對(duì)獨(dú)立，又要相互關(guān)聯(lián)。學(xué)生的思維始終在探究“逆平行線”的主線上，承接問(wèn)題很好地兼顧兩頭。每一個(gè)問(wèn)題都和下面的問(wèn)題相關(guān)。既推動(dòng)學(xué)生的思維向縱深發(fā)展。問(wèn)題和問(wèn)題又相互關(guān)聯(lián)，

3.3 幾何名題的改編要突顯探究的意義和價(jià)值

數(shù)學(xué)經(jīng)典問(wèn)題或名題有的是因?yàn)楹猛婊蛎缹W(xué)價(jià)值等激發(fā)一代又一代人去研究和探索。例如愛因斯坦說(shuō)：“在12歲時(shí)，我經(jīng)歷了另一種性質(zhì)完全不同的驚奇，就是在一個(gè)學(xué)年的開始時(shí)，當(dāng)我得到一本關(guān)于歐幾里德平面幾何的小書時(shí)所經(jīng)歷的。這本書里有許多斷言，比如，三角形的三個(gè)高交于一點(diǎn)，它們本身雖然不是顯而易見的，但是可以很可靠地加以證明，以至任何懷疑似乎都不可能，這種明晰性和可靠性給我造成了一種難以想象的印象……”。愛因斯坦被三角形的三條高線交于一點(diǎn)所震撼。激起他對(duì)數(shù)學(xué)的探究的熱情，因此從數(shù)學(xué)名題到試題的演變也要讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的文化價(jià)值和廣泛的應(yīng)用價(jià)值。同時(shí)也讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題，感受到數(shù)學(xué)家積極探索和追求真理的精神，在上述命題中。英國(guó)數(shù)學(xué)家塔克提出“逆平行線”。命制者借助已有的名稱。構(gòu)建新概念，然后和“平行線”進(jìn)行比較，在一個(gè)三角形中有沒有既是“平行線”又是“逆平行線”呢？讓學(xué)生在特殊的三角形中進(jìn)行驗(yàn)證，其次在等腰三角形中，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的頂點(diǎn)和外心的連線垂直于兩腰上的“逆平行線”，那么這一性質(zhì)不在兩腰上的“逆平行線”還成立嗎？更一般地，對(duì)于任意三角形的外心和頂點(diǎn)的連線都垂直于“逆平行線”嗎？在等腰三角形中過(guò)其中邊上的一點(diǎn)依次作“逆平行線”，存在特殊時(shí)刻的位置，三條“逆平行線”可組成一個(gè)三角形，那么更一般地這一規(guī)律還成立嗎？“逆平行線”的性質(zhì)讓學(xué)有余力的學(xué)生引申到課外繼續(xù)探索。在對(duì)比和關(guān)聯(lián)中感受到問(wèn)題探究的意義和必要性。