平面幾何輔助線方法入門實(shí)踐探索

張昆 孫甜甜

[摘要]平面幾何推理論證的學(xué)習(xí)疑難集中體現(xiàn)于探究證明思路的輔助線過程，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生利用圖形直觀去發(fā)現(xiàn)輔助線，隨著教學(xué)的步步深入，最可取的無疑是帶領(lǐng)學(xué)生理性分析，具體問題具體對(duì)待，探究平面幾何命題證明中輔助線方法的技能技巧：尋找圖形相關(guān)要素的“替身”、建立條件與條件及條件與結(jié)論之間關(guān)系的“中介”，從而幫助學(xué)生自己得到平面幾何命題證明中需要的輔助線，體會(huì)理性思維與理性精神，

[關(guān)鍵詞]平面幾何，輔助線，技能技巧，理性分析

平面幾何的推理證明，基于圖形的直觀可以指導(dǎo)十二、三歲的初中學(xué)生掌握這種公理化典范性的語言表達(dá)方式：事出有因、言之有據(jù)，一步一據(jù)、環(huán)環(huán)緊扣，言之鑿鑿，有著令人信服的力量，然而，基于長期平面幾何推理論證教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者認(rèn)識(shí)到，這種特點(diǎn)使一部分學(xué)生產(chǎn)生了無比的學(xué)習(xí)熱情，他們沉迷于尋找平面幾何命題的證明思路之中，產(chǎn)生了濃厚的學(xué)習(xí)興趣：而對(duì)于另一部分學(xué)生來說，卻造成了他們學(xué)習(xí)上的心理疑難，成為學(xué)習(xí)平面幾何知識(shí)的攔路虎，那么，平面幾何教師應(yīng)該如何提高自己推理論證的教學(xué)水平，才能幫助那部分感到平面幾何推理論證學(xué)習(xí)困難的學(xué)生呢？

1 平面幾何推理論證學(xué)習(xí)的疑難心理環(huán)節(jié)定位

初中生學(xué)習(xí)平面幾何命題證明時(shí)的心理活動(dòng)會(huì)產(chǎn)生兩方面疑難：一方面，在定理學(xué)習(xí)及其應(yīng)用中，難以準(zhǔn)確理解定理或公理的結(jié)構(gòu)，難于準(zhǔn)確辨別定理中各元素所處位置及其關(guān)系：另一方面，在應(yīng)用定理（公理）探究證明思路時(shí)，往往分不清命題題設(shè)和結(jié)論，作不好比較準(zhǔn)確的幾何圖形等，有時(shí)，他們雖然可以解決這一切外圍問題，但卻選擇不出主攻方向，只能堆砌或拼湊條件，即使得到了正確證明思路，也存在著幾分僥幸，但是這些疑難在教師的努力下是可以解決的，為此，有必要分析平面幾何命題證明的一般過程，如圖1.

從圖l中可以認(rèn)識(shí)到，所要證明命題結(jié)論，最終都由已知構(gòu)成，但稍微復(fù)雜一點(diǎn)的平面幾何命題，在尋找這些已知時(shí)，不可能一次性達(dá)到目的，而需要配合即將準(zhǔn)備使用定理（或公理），首先尋找出作為中介環(huán)節(jié)的“需知”，利用“需知”調(diào)控已知對(duì)結(jié)論的決定性作用，由這些中介性的“需知”把學(xué)生尋找命題的證明思路從混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)換成了明確清晰的條件配置的線性序列，降低了邏輯思維強(qiáng)度的要求，從而為輔助線方法的實(shí)現(xiàn)奠定了現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，平面幾何教師應(yīng)該幫助學(xué)生逐步熟練明恃圖形直觀，暗借普通常識(shí)，幫助學(xué)生將輔助線從已知條件（透過圖形的直觀感知）的背景中透顯出來，這是平面幾何命題證明的訴求。

由此分析認(rèn)識(shí)到，對(duì)于稍微復(fù)雜一些平面幾何命題，在探究其證明的思路時(shí)，少數(shù)的“需知”不是一目了然的，而是隱藏在其他條件（稱之為“隱含條件”）的配置之中，需要學(xué)生將其挖掘出來，在這種挖掘過程中，有的“隱含條件”在原命題所提供的圖形中還不能充分地實(shí)現(xiàn)，此時(shí)，應(yīng)該通過添加輔助線，補(bǔ)足圖形，從而將隱含條件轉(zhuǎn)化為顯性條件，為條件的使用打開方便之門，現(xiàn)在舉例說明探究平面幾何命題證明人門時(shí)的輔助線方法的一些技能技巧。

2 探究平面幾何命題證明輔助線方法入門的課程資源分析

數(shù)學(xué)教科書對(duì)于稍微復(fù)雜一些平面幾何命題證明的輔助線，總習(xí)慣于通過三種方式呈現(xiàn)，其一，使用感官的感性思維發(fā)現(xiàn)（看出）輔助線，例如，在講“三角形內(nèi)角和定理”的證明時(shí)，就是采用“撕下三個(gè)角加以拼接，得到了一個(gè)平角的形象”，從中可以看出輔助線的產(chǎn)生;在講“等腰三角形的性質(zhì)定理”的證明時(shí)，采用了“沿著等腰三角形的底邊上的高線折疊，得到了折痕的形象”，從而形成了輔助線，其二，在少數(shù)時(shí)候，也使用理性分析得出輔助線，其三，直接給出證明過程，從這個(gè)證明過程中，向?qū)W生提供正確的輔助線，

在教科書采用這三種途徑向?qū)W生呈示輔助線方法中，最可取的就是采用理性分析幫助學(xué)生自己找到輔助線，平面幾何推理論證的課程資源重要的目的與作用就是利用明恃圖形直觀，暗借普通常識(shí)（通過學(xué)習(xí)總結(jié)好了的基本圖形）的支持，促使學(xué)生體驗(yàn)理性思維與理性精神，這種理性思維與理性精神與感覺直觀其實(shí)格格不入，但是由于初中學(xué)生的年齡階段性心理，這種圖形直觀與普通常識(shí)（絕非幫助學(xué)生看出具體的結(jié)論這樣的理解）是承載理性思維與理性精神的載體，圖形直觀的作用是作為學(xué)生運(yùn)用思維的支架，有助于學(xué)生發(fā)生證明思路的環(huán)環(huán)緊扣的環(huán)節(jié)運(yùn)行過程，因此，數(shù)學(xué)教師在平面幾何命題教學(xué)，帶領(lǐng)學(xué)生探究具體問題的輔助線時(shí)，要仔細(xì)做好如下兩方面工作。

一方面，需要仔細(xì)地檢視教科書所提供的教學(xué)素材的特點(diǎn)，應(yīng)該盡其所能地使用理性分析的方法發(fā)現(xiàn)輔助線，從而實(shí)現(xiàn)在環(huán)環(huán)緊扣的條件配合下推導(dǎo)出要證明的命題結(jié)論的目的，這種理性分析活動(dòng)是發(fā)展學(xué)生理性思維、培養(yǎng)學(xué)生理性精神最為重要的途徑與資源，而利用上述形式“撕紙拼湊”或者“利用折痕”等途徑都只是直觀的感性認(rèn)識(shí)，當(dāng)然，這種感性認(rèn)識(shí)也具有教學(xué)價(jià)值，但是，針對(duì)具有平面幾何命題證明的教育資源來說，這種教學(xué)價(jià)值則是次要的。因此，還必須要以此為基礎(chǔ)幫助學(xué)生上升到理性認(rèn)識(shí)。

從長期的平面幾何命題證明的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中認(rèn)識(shí)到，平面幾何命題證明的施教活動(dòng)需要嚴(yán)肅地遵循感性認(rèn)識(shí)與理性認(rèn)識(shí)之間的辯證關(guān)系原理，毛主席說，“認(rèn)識(shí)的過程，第一步，開始接觸外界事情，屬于感覺的階段，第二步。是綜合感覺的材料加以整理和改造，屬于概念、判斷和推理的階段，”……“理性的東西所以靠得住，正是由于它來源于感性，否則理性的東西就成了無源之水。無本之木。而只是主觀自生的靠不住的東西，”……“感性認(rèn)識(shí)有待于深化，認(rèn)識(shí)的感性階段有待于發(fā)展到理性階段——這就是認(rèn)識(shí)論的辯證法?！币虼丝芍行哉J(rèn)識(shí)非常重要，但是，理性認(rèn)識(shí)更有價(jià)值，教育的力量在于幫助受教育者從感性認(rèn)識(shí)過渡到理性認(rèn)識(shí)，平面幾何命題證明時(shí)的明恃圖形直觀，暗借普通常識(shí)，正是據(jù)此形成理性思維與理性精神的優(yōu)質(zhì)資源，但是，數(shù)學(xué)教師必須要認(rèn)識(shí)到，幫助學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)過渡到理性認(rèn)識(shí)所蘊(yùn)含的重要教學(xué)價(jià)值，

因此，數(shù)學(xué)教科書在平面幾何命題證明輔助線方法入門（例如，證明“三角形內(nèi)角和定理”）階段，采用感性認(rèn)識(shí)的途徑引導(dǎo)學(xué)生探究輔助線應(yīng)該是無可厚非的：但是，當(dāng)課程行進(jìn)到“等腰三角形的性質(zhì)定理”時(shí)，學(xué)生已經(jīng)通過“三角形全等的性質(zhì)與判定定理”探究命題證明思路過程的經(jīng)驗(yàn)與體驗(yàn)，對(duì)于輔助線方法已經(jīng)有了比較深入的認(rèn)識(shí)與理解，此時(shí)，就應(yīng)該使用理性分析的途徑來引導(dǎo)學(xué)生探究輔助線了，教科書沒有做到這一點(diǎn)，就需要我們數(shù)學(xué)教師通過“二次開發(fā)教材”的手段，做好相應(yīng)的處理工作，而不能再對(duì)教科書亦步亦趨，

由此認(rèn)識(shí)到，在平面幾何命題證明的輔助線方法入門教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該仔細(xì)檢視平面幾何命題的特點(diǎn)與學(xué)生發(fā)生認(rèn)識(shí)的學(xué)齡段、時(shí)間段所具有的心理特點(diǎn)，統(tǒng)籌兼顧、合理安排，具體材料（包括教材與學(xué)生心理）具體分析，特別是需要準(zhǔn)確判斷學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)過渡到理性認(rèn)識(shí)心理上的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的出現(xiàn)之處，并且要經(jīng)由多方實(shí)踐與探索，依據(jù)學(xué)生的個(gè)性心理，找到有效的施教手段，在探究平面幾何命題證明思路的輔助線時(shí)，有針對(duì)性地幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過渡，以此，促進(jìn)學(xué)生感受理性思維與理性精神，從而實(shí)現(xiàn)平面幾何命題證明教育教學(xué)價(jià)值，

另一方面，利用平面幾何命題證明的課程資源，發(fā)展學(xué)生理性思維，培養(yǎng)學(xué)生理性精神，還需要數(shù)學(xué)教師精心地選擇與配置平面幾何命題證明的習(xí)題，在學(xué)生處于十二、三歲的初中年齡段，平面幾何命題證明探究輔助線方法入門是培養(yǎng)學(xué)生理性思維、理性精神的最為重要的、且無以替代的課程資源，除了前述所論及的平面幾何定理等命題以外，選擇合適的習(xí)題及其配置而成的題組也是實(shí)現(xiàn)平面幾何命題證明課程資源教育教學(xué)價(jià)值的重要途徑，對(duì)此，這里舉例加以具體說明探究平面幾何命題證明輔助線方法入門的技能技巧，

3 探究平面幾何命題證明輔助線方法入門的技能技巧示例

在教科書或教師使用教科書施教平面幾何命題證明的輔助線入門時(shí)，添置輔助線的途徑基本上是教師傳授輔助線的各種具體方法，即通過實(shí)例，總結(jié)規(guī)律，歸納出各種不同的類型，從而指導(dǎo)學(xué)生先在地使用這些類型進(jìn)行試探，自然，這些對(duì)于剛剛學(xué)習(xí)平面幾何命題證明時(shí)的輔助線的添加是行之有效的，但是，關(guān)于平面幾何命題證明添加輔助線教學(xué)僅僅滿足這些是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，教師施教時(shí)，要力爭(zhēng)幫助學(xué)生形成具體問題具體對(duì)待的觀念，鼓勵(lì)學(xué)生思考“這條輔助線是如何想到的？”這樣的一個(gè)根本問題，如此，才能幫助學(xué)生發(fā)展能力、開發(fā)智力，體驗(yàn)理性思維與理性精神，這里舉兩個(gè)具體例子加以說明，

其一，使用分析法，從尋找結(jié)論，或某些調(diào)控從條件到結(jié)論的中介——“需知”的“替身”中，逐步揭露輔助線，通過前述的分析結(jié)論中認(rèn)識(shí)到，探究平面幾何命題證明思路的關(guān)鍵環(huán)節(jié)就是確定某個(gè)（些）合適的“需知”，需要通過制作輔助線的幫助才能獲得，這種“需知”往往就是關(guān)于圖形中的某個(gè)要素的“替身”。

例1：如圖2.梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，求證：AD+BC

師：記AD+BC

生：……（省略號(hào)表示思維的中斷，下同）

師：結(jié)論①與圖l中的那些條件有關(guān)？

生1：結(jié)論①的左右兩邊都是兩個(gè)線段之和，不好比較它們之間的大小，如果將AD+BC、或AB+DC轉(zhuǎn)化為一條具體線段，容易比較大小……

師：好想法！可惜生1沒有得到轉(zhuǎn)化途徑，可以部分地實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化嗎？

從這道平面幾何命題證明的思路探究及其謹(jǐn)嚴(yán)的表達(dá)中認(rèn)識(shí)到，通過平面幾何圖形直觀的感性認(rèn)識(shí)誘發(fā)，尋找某些要素的“替身”在探究思路活動(dòng)過程中具有非常重要的作用，教師可以經(jīng)由選擇相應(yīng)的典型例子，進(jìn)行總結(jié)概括，幫助學(xué)生建立起探究平面幾何命題證明思路時(shí)尋找“替身”的數(shù)學(xué)觀念（為以后探究證明思路時(shí)提供“暗借常識(shí)”創(chuàng)造條件或奠定基礎(chǔ)），可以幫助學(xué)生輔助線入門提供助力，這是平面幾何教師必須認(rèn)識(shí)到的，也要經(jīng)由自己的教學(xué)設(shè)計(jì)促使學(xué)生認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)。

其二，啟發(fā)學(xué)生寬領(lǐng)域?qū)ふ摇爸薪椤保鸩桨l(fā)現(xiàn)輔助線，有時(shí)，相對(duì)于學(xué)生的認(rèn)識(shí)能力與認(rèn)識(shí)水平，對(duì)于稍微復(fù)雜一些幾何命題，學(xué)生探究證明思路會(huì)出現(xiàn)困難，此時(shí)，如果獲得某些途徑找到溝通條件與條件之間，或條件與結(jié)論之間的一些“中介”，往往可以幫助學(xué)生在探究平面幾何命題證明思路中發(fā)現(xiàn)輔助線的來源。

注：等式⑦的這種三角形面積形式的出現(xiàn)不是容易的事情，它必須要有等式⑤的輔助，而等式⑤的萌生其實(shí)是理性分析的必然結(jié)果，這種理性分析的過程特點(diǎn)在于首先必須要使用條件①，如何使用條件①呢？考慮將條件①與“需知”③結(jié)合起來，從而萌生出了使用加減乘除對(duì)于等式①③的兩邊的元素分別進(jìn)行運(yùn)算，等到了等式⑤，進(jìn)而獲得了解決問題的思路（當(dāng)然，在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)等式⑦不是一概而論的，有不少學(xué)生是從圖形直觀出發(fā)的，由于兩條線段的垂直，直接誘使他們使用三角形的面積關(guān)系，但比不上這里的教學(xué)設(shè)計(jì)理性分析的必然性的效果），因此，等式⑤過渡到等式⑦就是上述的這種“中介”運(yùn)動(dòng)的必然結(jié)果，從中所需要的三角形自然地出現(xiàn)了，輔助線也就隨之出現(xiàn)了。

師：如何從大家的探究活動(dòng)得到思路的嚴(yán)格證明表達(dá)呢？

又因?yàn)锳E=CF（已知），所以BM=BN（等量除以等量，商相等），所以∠BPA=∠BPC（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）。

從這道平面幾何命題證明的思路探究及其謹(jǐn)嚴(yán)的表達(dá)中認(rèn)識(shí)到，在原始條件及其已經(jīng)發(fā)覺的隱含條件的配置中，往往需要特殊的“中介”將它們組織成一個(gè)有意義的結(jié)構(gòu)性或整體性條件，這種結(jié)構(gòu)與整體的出現(xiàn)就為制作輔助線提供了載體，也為探究平面幾何命題證明思路的出現(xiàn)提供觀念性指導(dǎo)，

4 結(jié)束語

關(guān)于平面幾何推理論證的教育價(jià)值，阿蘭說得好，“幾何學(xué)，是自然的鑰匙，誰不是幾何學(xué)者，誰就永不明了他所生活和依存的那個(gè)每天都要面對(duì)的世界，他在對(duì)抗力量面前，會(huì)寧憑一時(shí)熱情去夢(mèng)想，自欺自騙，衡量失當(dāng)，估計(jì)錯(cuò)誤，這就有可能受害，可能陷入不幸，因而，我決不同意什么都要教授全部自然，不，不是這樣，而是要根據(jù)客觀。按照清晰可見的必然來校正精神，不要多，也不可少，那沒有一點(diǎn)幾何必然觀念的人，甚至?xí)狈ν獠渴澜绫厝挥^念，而全部物理學(xué)和外部自然史統(tǒng)統(tǒng)加起來也給不了他一丁點(diǎn)兒必然觀念”，教師在探究平面幾何命題證明思路制作輔助線時(shí)，需要尋找學(xué)生可以接受的方法，幫助學(xué)生渡過證明入門的難關(guān)，這里的尋找“替身”與建立“中介”的方法就是具體尋求輔助線方法的例子。