與理論相一致的全要素生產(chǎn)率增長率測算1

楊浩然

0 引言

全要素生產(chǎn)率(TFP)是經(jīng)濟(jì)增長的主要推動力量(Solow,1957)，因此對于TFP的測算及其增長來源的探索就成為經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的重點(diǎn)之一。TFP被定義為產(chǎn)出與投入之間的比率，關(guān)于TFP測算方法的研究主要集中于如何選擇適當(dāng)?shù)臋?quán)重對產(chǎn)出和投入進(jìn)行加權(quán)，得到計算TFP的產(chǎn)出和投入指數(shù)，進(jìn)而可以測算出TFP及其增長率。如果僅關(guān)注TFP指數(shù)及其增長率的測算，則不需要對生產(chǎn)的結(jié)構(gòu)有所了解。例如用Paasche、Laspeyres和Fisher法測算TFP只需要投入和產(chǎn)出的數(shù)量和價格數(shù)據(jù)。Solow(1957)的增長核算方法也不需要估計生產(chǎn)函數(shù)，在對生產(chǎn)技術(shù)適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下(規(guī)模報酬不變)，可以用資本和勞動的收入份額作為對投入進(jìn)行加權(quán)的權(quán)重。然而，如果要對TFP增長率進(jìn)行分解，探索其增長的來源，則需要知道生產(chǎn)技術(shù)的結(jié)構(gòu)。

Divisia指數(shù)法和Malmquist指數(shù)法是兩種常用的測算和分解TFP增長率的方法。Divisia指數(shù)法需要用計量方法估計生產(chǎn)前沿函數(shù)，Malmquist指數(shù)法則需用DEA估計生產(chǎn)的前沿面。DEA方法適用于小樣本數(shù)據(jù)，但該方法將測量誤差和隨機(jī)擾動項的影響均歸結(jié)為技術(shù)效率損失，且TFP測算結(jié)果易受到異常值的干擾。在隨機(jī)前沿方法中，這些問題都可以避免。因此，Divisia指數(shù)法是本文研究所采用的測算和分解TFP增長率的方法。

在Divisia指數(shù)法的分析框架中，估計生產(chǎn)函數(shù)需要選定一個經(jīng)驗函數(shù)形式。然而，生產(chǎn)理論沒有指明具體的函數(shù)形式，任何的經(jīng)驗函數(shù)僅是對真實(shí)生產(chǎn)函數(shù)的近似。在這種情況下，對真實(shí)生產(chǎn)函數(shù)比較好的近似應(yīng)該使所估計的生產(chǎn)函數(shù)滿足生產(chǎn)理論的要求。單調(diào)性(投入要素的邊際產(chǎn)量為正)和擬凹性(投入要素之間的邊際技術(shù)替代率遞減)是對經(jīng)驗生產(chǎn)函數(shù)的基本要求(Lau,1986；Chambers，1988)。文獻(xiàn)中給出了多種經(jīng)驗函數(shù)形式可供選擇，然而大部分經(jīng)驗函數(shù)形式本身并不能保證所估計出來的生產(chǎn)函數(shù)滿足生產(chǎn)理論的要求。

柯布道格拉斯函數(shù)(C-D函數(shù))和超越對數(shù)函數(shù)(Translog函數(shù))是兩種常用的生產(chǎn)函數(shù)形式。單調(diào)性和擬凹性對C-D生產(chǎn)函數(shù)和Translog生產(chǎn)函數(shù)中參數(shù)的取值范圍施加了限制。只要C-D生產(chǎn)函數(shù)所估計的產(chǎn)出彈性在0到1范圍之內(nèi)，則可以保證單調(diào)性和擬凹性?；蛟S出于這一原因，C-D函數(shù)在測算國家TFP增長以及進(jìn)行跨國比較研究時經(jīng)常被用到(如Hsieh and Klenow(2009))。C-D函數(shù)的缺陷在于將兩兩要素之間的替代彈性限制為1，這表示在完全競爭條件下要素收入份額相對保持不變，不受要素使用比例變化的影響。Translog生產(chǎn)函數(shù)則無此限制。但如何保證所估計出的Translog生產(chǎn)函數(shù)滿足單調(diào)性和擬凹性則是難點(diǎn)之一，因為這不僅取決于參數(shù)值，還取決于具體的數(shù)據(jù)。也就是說，要根據(jù)所使用的數(shù)據(jù)確定Translog生產(chǎn)函數(shù)的取值范圍，再從這一取值范圍中獲得對數(shù)據(jù)擬合程度最高的參數(shù)估計值。

然而大多數(shù)研究在采用Translog生產(chǎn)函數(shù)測算TFP增長率時，并未考慮到所估計的生產(chǎn)函數(shù)是否滿足單調(diào)性和擬凹性。因此，存在所估計的生產(chǎn)技術(shù)與生產(chǎn)理論相違背的可能性。那么這會對TFP增長率的測算和分解產(chǎn)生什么樣的影響呢？這是本文所要研究的問題。利用小麥生產(chǎn)的數(shù)據(jù)，本文考察單調(diào)性和擬凹性對于TFP增長率測算和分解的影響。研究發(fā)現(xiàn)，如果不施加單調(diào)性和擬凹性約束，所估計的Translog生產(chǎn)函數(shù)在每一個樣本觀測點(diǎn)(包括樣本均值)均不滿足單調(diào)性和擬凹性。這表明得到TFP增長率的同時伴隨著負(fù)的要素邊際產(chǎn)出或者要素邊際技術(shù)替代率遞增。顯然在這種情況下，TFP增長率的測算結(jié)果是不可靠的。因此，需要在估計Translog生產(chǎn)函數(shù)的過程中施加相應(yīng)的非線性約束。

本文沿用了O’Donnell and Coelli (2005)的貝葉斯回歸方法，采用Metropolis-Hastings(M-H)算法在估計隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)的過程中施加單調(diào)性和擬凹性約束。與O’Donnell and Coelli(2005)的方法的不同之處在于，本文提出了用交叉熵改進(jìn)施加約束時的M-H算法中備選分布函數(shù)參數(shù)的選擇方法。該方法的優(yōu)點(diǎn)是建立了一個選擇M-H算法備選分布函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)程序，可以應(yīng)用在任何的實(shí)證分析當(dāng)中，并且有助于提高M(jìn)CMC的收斂速度。此外，O’Donnell and Coelli (2005)關(guān)注的是施加理論約束對技術(shù)效率測量結(jié)果的影響。本文的研究則關(guān)注施加理論約束對TFP的影響，是理論約束對技術(shù)效率的影響與對其他TFP來源影響的綜合。

在對Translog生產(chǎn)函數(shù)中參數(shù)的取值范圍施加約束之后，所測算的TFP增長率和分解的結(jié)果與無約束模型相比發(fā)生了明顯的變化。與施加了單調(diào)性和擬凹性約束的模型相比，無約束模型所估計的TFP增長率偏誤的方向是不確定的，偏誤范圍在-387.5%到829.6%之間。平均而言，采用無約束的Translog生產(chǎn)函數(shù)傾向于高估年均TFP增長率，高估的程度為167.6%。通過對TFP增長率的分解發(fā)現(xiàn)，技術(shù)進(jìn)步估計的偏誤是導(dǎo)致無約束模型測算TFP增長率偏誤的主要原因。這是因為技術(shù)進(jìn)步貢獻(xiàn)了小麥TFP增長率的絕大部分。

本文結(jié)構(gòu)安排如下：第1部分討論了Translog生產(chǎn)函數(shù)中參數(shù)取值范圍如何受到理論約束的影響，并對測算TFP的文獻(xiàn)進(jìn)行分析；第2部分對在生產(chǎn)函數(shù)估計過程中施加約束的方法進(jìn)行了簡短的回顧，并給出本文估計TFP增長率的模型和方法；第3部分介紹變量定義和數(shù)據(jù)來源；第4部分是結(jié)果分析；第5部分為結(jié)論和討論。

1 理論基礎(chǔ)和文獻(xiàn)分析

1.1 生產(chǎn)理論及其對生產(chǎn)函數(shù)參數(shù)取值范圍的影響

假設(shè)生產(chǎn)技術(shù)可以用一個隨機(jī)前沿生產(chǎn)模型表示出來：

yit=f(xit,t;β)exp(-ηit)exp(εit)

(1)

其中yit表示產(chǎn)出，f(·)是一個連續(xù)、二階可導(dǎo)的實(shí)值函數(shù)(f(0)=0)，并且f(x)>0,?x>0xit(xit≡(xit,1,…,xit,K)，K為投入要素種類)為投入向量，β(β≡[β1,…,βS])為參數(shù)向量，t表示時間。ηit為一個非對稱分布的隨機(jī)項(ηit>0)，exp(-ηit)表示技術(shù)效率損失。εit為獨(dú)立同分布的隨機(jī)誤差項。

式(1)所描述的生產(chǎn)技術(shù)滿足以下條件：額外增加一單位投入要素不會導(dǎo)致總產(chǎn)量的下降，并且投入需求集合為凸集(閉集、非空)(Chambers，1988)。

這表明f(xit,t;β)需要滿足以下條件1和條件2：

條件1：生產(chǎn)函數(shù)是關(guān)于投入要素的單調(diào)遞增函數(shù)，即生產(chǎn)函數(shù)關(guān)于某一投入要素的偏導(dǎo)數(shù)大于0：

(2)

式(2)表示生產(chǎn)者不會過量投入某種生產(chǎn)要素，使其邊際產(chǎn)量為負(fù)。如果生產(chǎn)者是理性的，那么邊際產(chǎn)量為負(fù)必定不在生產(chǎn)者“事先”的生產(chǎn)計劃當(dāng)中。但是，“事后”(生產(chǎn)決策做出之后)可能會由于生產(chǎn)中的不確定性導(dǎo)致邊際產(chǎn)量為負(fù)的情況出現(xiàn)(Chambers，1988)。在經(jīng)驗分析中，遺漏變量問題也可能導(dǎo)致所估計的生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)出邊際產(chǎn)量為負(fù)的特征。例如在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，農(nóng)民是否可以通過增加勞動投入達(dá)到增產(chǎn)的效果還取決于年景的好壞。在比較差的年景，即使增加了勞動投入也不會導(dǎo)致增產(chǎn)。如果忽略了氣候因素的影響，或許只能觀察到農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中勞動力投入增加反而導(dǎo)致減產(chǎn)這一現(xiàn)象。若有充足的數(shù)據(jù)，那么在分別觀察好年景和壞年景的農(nóng)業(yè)投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)時，則可能會發(fā)現(xiàn)不管是在好的年份還是壞的年份，增加勞動力投入都會導(dǎo)致產(chǎn)出的增長。

就目前的研究而言，暫時忽略生產(chǎn)中的不確定性和遺漏變量問題。在這種情況下，條件1應(yīng)是對我們所要研究的未知生產(chǎn)技術(shù)的一個合理假設(shè)。

條件2：生產(chǎn)函數(shù)是關(guān)于投入要素的擬凹函數(shù)。這一性質(zhì)來自于投入需求集合為凸集。生產(chǎn)函數(shù)是擬凹函數(shù)可以推導(dǎo)出生產(chǎn)技術(shù)的如下特征：兩兩投入要素之間的邊際技術(shù)替代率遞減，并且投入要素的邊際產(chǎn)量遞減。對于一個二階連續(xù)可導(dǎo)的生產(chǎn)函數(shù)為擬凹函數(shù)的充分必要條件是這個生產(chǎn)函數(shù)的Hessian矩陣是負(fù)半定的。

圖1 違反生產(chǎn)函數(shù)的單調(diào)性對于隨機(jī)前沿分析結(jié)果的影響注：基于Sauer et al. (2006)中圖3繪制。

如果不考慮生產(chǎn)理論的含義和要素市場的發(fā)展程度，所估計的生產(chǎn)函數(shù)僅顯示了數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征，從而有可能得出錯誤的結(jié)論。如圖1所示，圖中的實(shí)線表示的是滿足邊際產(chǎn)量為正(和邊際產(chǎn)量遞減)的約束條件后投入要素x1和產(chǎn)出y之間的關(guān)系。在實(shí)證分析中，如果沒有對參數(shù)施加相應(yīng)的約束，則二者之間的關(guān)系有可能在E點(diǎn)之后變?yōu)閳D中的虛線。A和B分別對應(yīng)生產(chǎn)者A和B的投入—產(chǎn)出組合在坐標(biāo)系中所處的位置。顯然，施加了邊際產(chǎn)量為正的約束后所得到的技術(shù)效率損失(BD)和沒有施加該條件得到的技術(shù)效率損失(BC)是不同的。從而導(dǎo)致所測算的TFP也是有差異的。

條件1和條件2對生產(chǎn)函數(shù)參數(shù)取值范圍有什么樣的影響呢？以應(yīng)用較為廣泛的translog函數(shù)形式為例。假設(shè)存在一個K種投入，1種產(chǎn)出的生產(chǎn)技術(shù)，用translog形式的生產(chǎn)函數(shù)去近似式(1)，可以得到：

(3)

其中t=1,…,T表示時間，n=1,…,N表示生產(chǎn)者個數(shù)。邊際產(chǎn)量為正表示：

(4)

用H表示生產(chǎn)函數(shù)的Hessian矩陣，

(5)

其中Fij(i,j=1,…,n)表示生產(chǎn)函數(shù)關(guān)于投入要素i和j的二階偏導(dǎo)數(shù)。對于Translog生產(chǎn)函數(shù)，分別有：

從式(4)～(7)中可以發(fā)現(xiàn)，對于translog形式的生產(chǎn)函數(shù)，條件1和條件2的成立不僅取決于參數(shù)值，而且取決于投入產(chǎn)出的數(shù)量。對于我們的分析而言，數(shù)據(jù)是事先給定的，因此需要限定參數(shù)的取值范圍使式(4)和式(5)滿足條件1和條件2的要求。

目前，還沒有研究討論當(dāng)所估計的生產(chǎn)函數(shù)違反條件1和條件2時會對TFP增長率的測量產(chǎn)生何種影響，但已有許多研究者對如何影響技術(shù)效率(technical efficiency，TE)進(jìn)行了詳細(xì)的分析。因為TE是構(gòu)成TFP的一部分，如果TE的測量有偏誤的話，則TFP的測量以及分解都會產(chǎn)生偏誤。Sauer et al. (2006)以及O’Donnell and Coelli(2005)分別采用最大似然法和貝葉斯回歸方法分析了不滿足條件1和條件2會對TE的測量結(jié)果產(chǎn)生何種影響。他們的研究都表明，在滿足生產(chǎn)理論情況下所得到的TE估計結(jié)果和未滿足生產(chǎn)理論的情況相比有很大差異。偏差的方向則依具體情況而定。

在實(shí)證分析中，首先應(yīng)檢驗在沒有施加條件1和條件2約束的情況下，式(3)的估計結(jié)果是否滿足條件1和條件2。條件1的檢驗可以很容易地通過計算式(4)進(jìn)行。條件2的檢驗則依賴于生產(chǎn)函數(shù)的海塞矩陣H。要檢驗海塞矩陣H是否是負(fù)半定的，只需要計算H的特征值。如果所有的特征值的符號均為非正，則表明H為負(fù)半定的(Chambers，1988)。根據(jù)這一條件，應(yīng)對樣本中每一個觀察點(diǎn)進(jìn)行檢驗。當(dāng)樣本量比較大時，檢驗所估計的Translog生產(chǎn)函數(shù)是否滿足條件1和條件2就成為一項耗時的工作。通常的做法是首先檢驗在樣本均值處是否滿足條件1和條件2。這是建立在超越對數(shù)生產(chǎn)函數(shù)是對真實(shí)的生產(chǎn)函數(shù)在某一點(diǎn)的二階近似，并且這一點(diǎn)恰好是在樣本均值點(diǎn)這一假設(shè)之上。如果在樣本均值處滿足條件1和條件2，則認(rèn)為所估計的生產(chǎn)函數(shù)在均值的鄰域附近滿足條件1和條件2。

1.2 相關(guān)文獻(xiàn)分析

文獻(xiàn)分析的目的是檢驗采用參數(shù)法測算TFP的研究中所估計的Translog生產(chǎn)函數(shù)是否滿足條件1和條件2的要求。

通常，文獻(xiàn)中只給出所用樣本的均值(有時候可能包括最大值和最小值)，因此對Translog生產(chǎn)函數(shù)是否滿足條件1和條件2的檢驗僅限于樣本均值處。有部分采用Translog生產(chǎn)函數(shù)測算TFP增長率的文獻(xiàn)并沒有給出所用樣本的均值，因此這部分文獻(xiàn)并沒有包含在檢驗范圍之內(nèi)。根據(jù)作者所收集的文獻(xiàn)，可以發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)采用Translog生產(chǎn)函數(shù)(或成本函數(shù))測算TFP的研究都沒有給出樣本的基本統(tǒng)計描述(有的也沒有給出生產(chǎn)函數(shù)參數(shù)估計結(jié)果)?；蛟S是考慮到這些統(tǒng)計描述與所要分析的其他問題相比重要性較弱，畢竟大部分測算TFP的研究并不僅僅只是為了測算TFP，而重點(diǎn)是研究影響TFP增長率的因素。不過這也導(dǎo)致本文只能對有限數(shù)量的文章的生產(chǎn)函數(shù)回歸結(jié)果進(jìn)行檢驗。表1中列出了所檢驗的文獻(xiàn)和檢驗結(jié)果。檢驗方法即是按照式(4)求出投入要素的邊際產(chǎn)量，并計算式(5)中的海塞矩陣，然后計算其特征根。分析結(jié)果表明，這八篇文章所估計的Translog生產(chǎn)函數(shù)未能在樣本均值處完全滿足單調(diào)性要求，并且全部不滿足擬凹性的要求。其中Rezek et al. (2011)的研究采用了貝葉斯方法估計了隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)模型，由于在參數(shù)估計過程中未添加單調(diào)性和擬凹性等約束條件，導(dǎo)致估計結(jié)果不能完全滿足生產(chǎn)理論的要求。顯然，在不預(yù)先對所估計的Translog生產(chǎn)函數(shù)施加約束的情況下，不管是采用最大似然方法還是貝葉斯方方法估計Translog隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)，很難直接得到滿足單調(diào)性和擬凹性的估計結(jié)果。

表1 對文獻(xiàn)中所估計translog生產(chǎn)函數(shù)單調(diào)性和擬凹性的考察

2 模型和估計方法

2.1 生產(chǎn)函數(shù)參數(shù)估計方法

通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)，如果不在回歸中對參數(shù)取值范圍施加適當(dāng)?shù)募s束，很難保證所估計的Translog生產(chǎn)函數(shù)滿足生產(chǎn)理論的要求，或者說難以滿足研究對生產(chǎn)技術(shù)所做出的假設(shè)。因此，這一部分討論如何對所估計的Translog生產(chǎn)函數(shù)施加非線性約束。

從文獻(xiàn)中可以歸納出兩種可以對Translog生產(chǎn)函數(shù)施加約束的方法。一種方法起源于Lau(1978)的Cholesky分解法。一個半正定的矩陣可以進(jìn)行Cholesky分解。雖然H是半負(fù)定的，但是-H是半正定的。因此，可以將-H表示為：-H=PDP′，其中P是下三角矩陣，D為對角矩陣，并且其對角線元素非負(fù)。通過Cholesky分解，可以建立起Translog生產(chǎn)函數(shù)中未知參數(shù)與P和D中參數(shù)的函數(shù)關(guān)系。因此可以用P和D中的參數(shù)替換原方程中的參數(shù)。在估計了P和D中的參數(shù)以后，可以將原方程中的參數(shù)復(fù)原，這樣所得到的Translog生產(chǎn)函數(shù)的參數(shù)就符合條件2的要求。這種方法利用了生產(chǎn)函數(shù)海塞矩陣的特征。根據(jù)這一想法，Sauer et al. (2006)提出了-H=LL′形式的Cholesky分解法。

如式(5)所示，海塞矩陣不僅取決于參數(shù)值，還取決于具體的樣本觀測值。因此，在分解Translog生產(chǎn)函數(shù)的海塞矩陣之前，需要先確定在哪一個數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行分解。通常為了簡化計算，選擇將樣本均值處的數(shù)據(jù)代入到式(5)中進(jìn)行分解。但是這只能保證所估計的Translog生產(chǎn)函數(shù)在樣本均值附近滿足擬凹性。對于遠(yuǎn)離均值的樣本觀測值，則無法保證。Cholesky分解法的另一個缺陷在于只能保證生產(chǎn)函數(shù)的擬凹性，而不能保證單調(diào)性得到滿足。如圖1所示，在E點(diǎn)之后的虛線部分是滿足擬凹性的，但是卻違反了單調(diào)性。Henningsen and Henning (2009)提出一個對生產(chǎn)函數(shù)施加局部單調(diào)性的“三步法”。然而，滿足單調(diào)性并不能保證生產(chǎn)函數(shù)是擬凹函數(shù)。

因此，需要一個可以同時施加單調(diào)性和擬凹性，并可以同時對樣本中所有的觀測點(diǎn)施加這兩個約束的估計方法。這就是第二種估計方法，也是本文所要采用的估計方法：貝葉斯估計方法(Bayesian estimation method，BEM)。

在BEM中，可以得到Translog生產(chǎn)函數(shù)中斜率參數(shù)的條件后驗概率密度函數(shù)(conditional posterior density function，CPDF)。然后根據(jù)MCMC(Markov Chain Monte Carlo)算法，從這一CPDF中(以及其他參數(shù)的CPDF)進(jìn)行抽樣，每次抽樣都會得到相應(yīng)的斜率參數(shù)值。然后檢驗每次抽樣的斜率參數(shù)值是否對所有的樣本點(diǎn)滿足條件1和條件2的要求。如果抽樣的斜率參數(shù)值滿足條件1和條件2的要求，則將這一抽樣以一定的概率保留下來，否則就舍去。當(dāng)所保存的滿足條件1和條件2的參數(shù)值的抽樣按一定條件收斂時，就可以停止抽樣。然后求得所有滿足條件1和條件2的要求抽樣參數(shù)值的均值作為對回歸模型式(3)中Translog生產(chǎn)函數(shù)參數(shù)的點(diǎn)估計值。

本文采用O’Donnell and Coelli (2005)提出的方法估計式(3)。假設(shè)εit～i.i.d.N(0,σ2)，εit和ηit相互獨(dú)立。因此，可以將式(3)的似然函數(shù)表示為：

(8)

其中，ξ≡[β0;βj;βjk;α;γ;θj]為所有的斜率參數(shù)向量，Xit≡[1,lnxi,jt,lnxi,jtlnxi,kt,t,t2,tlnxit,j]，h=1/σ2。

因為估計的目的是使生產(chǎn)函數(shù)滿足條件1和條件2的要求，因此應(yīng)在ξ的先驗分布函數(shù)中做出相應(yīng)的要求。但是由于沒有關(guān)于滿足條件1和條件2的情況下ξ的取值范圍的信息，因此設(shè)定ξ的先驗分布形式為無信息先驗分布(non-informative prior)：

ξ～1(ξ∈M)

其中1(ξ∈M)為示性函數(shù)，當(dāng)ξ∈M時等于1，否則等于0，其中M為滿足條件1和條件2的ξ的取值范圍。

由此，可以得出ξ、h、ηit和λt的CPDF。對于ξ，可以得到其CPDF為：

(9)

其中，

h的CPDF可以表示為：

(10)

其中，

ηit的CPDF可以表示為：

p(ηit|y,h,ξ,η-it,λ)～N(Xitξ-yit-λt/h,1/h)1(ηit>0)

(11)

其中，1(ηit>0)為示性函數(shù)，當(dāng)ηit>0時取1，其他情況下等于0。

λt的條件后驗概率密度函數(shù)為：

(12)

在得到每個參數(shù)的CPDF之后，可以建立一個MCMC過程從式(9)～(12)中順次隨機(jī)抽樣。從式(10)～(12)中抽取隨機(jī)樣本較為簡單，而從式(9)中抽取隨機(jī)樣本則不太直觀，因為1(ξ∈M)所定義的區(qū)間是未知的，導(dǎo)致ξ的CPDF為非標(biāo)準(zhǔn)形式。對此，采用隨機(jī)游走的Metropolis-Hastings(M-H)算法從式(9)中隨機(jī)抽樣，并將備選抽樣密度函數(shù)(candidate generating density function，CGDF)設(shè)定為協(xié)方差矩陣為cΣ的多元正態(tài)分布。在MCMC過程中，不斷調(diào)整c和Σ的取值，使通過Metropolis-Hastings算法從式(9)中獲得的抽樣被接受的概率在0.23～0.45，從而使MCMC過程收斂(Gelman et al.,1997)。

雖然CGDF的選擇并不影響MCMC算法最終收斂到每個參數(shù)的邊際后驗概率密度函數(shù)，但是卻會影響MCMC算法的收斂速度。O’Donnell and Coelli (2005)將Σ設(shè)定為式(3)最大似然估計的參數(shù)協(xié)方差矩陣，然后調(diào)整c的取值直到MCMC收斂。然而，這種方法在本文的研究中并不奏效：MCMC收斂速度很慢，在進(jìn)行了20萬次抽樣之后仍未出現(xiàn)收斂的跡象。

第一步：將式(3)斜率參數(shù)均值和協(xié)方差矩陣的最大似然估計量統(tǒng)一記為u。將CGDF的參數(shù)v0設(shè)定為u，設(shè)定t=1。假定我們想要從最終得到的CGDF中抽取一個符合條件1和條件2的抽樣的概率為0.01，設(shè)定ρ=0.01。

第二步：從第t-1個CGDF：f(·;vt-1)中隨機(jī)生成N個抽樣(X1,X2,…,XN)，然后計算每個樣本的邊際產(chǎn)量和海塞矩陣，找到每個樣本邊際產(chǎn)量的最小值以及海塞矩陣特征值的最大值，最小值應(yīng)該為正數(shù)，而特征值的最大值應(yīng)該為負(fù)數(shù)，對特征值的最大值取相反數(shù)，也變?yōu)檎龜?shù)。取邊際產(chǎn)量最小值與特征值最大值相反數(shù)中的最小者，記為Si(i=1,2,…,N)。然后將Si從小到大進(jìn)行排列。找到(1-ρ)分位數(shù)上的Si，如果Si>0(即滿足條件1和條件2)，記γt=0，否則記γt=S(「(1-ρ)N?)。

第三步，如果Si<0，采用相同的N個抽樣，從下式的最優(yōu)化問題中解出vt：

這其中的想法是，為了獲得一個關(guān)于vt的比較好的估計，從而使得從f(·;vt)中進(jìn)行隨機(jī)抽樣時，符合條件1和條件2的抽樣不再是一個“小概率事件”。這個算法每循環(huán)一次，事件{S(X)>0}出現(xiàn)的概率就會越來越高，而γt也會更接近于0。

第四步，如果γt<0，重復(fù)第二步和第三步，如果γt≥0則進(jìn)行到第五步。

第五步，收集Si>0的子樣本，計算這個子樣本的均值和協(xié)方差矩陣，作為最終CGDF的參數(shù)。在實(shí)踐中，不建議將ρ設(shè)置過小，因為這會導(dǎo)致第三步和第五步計算時所用數(shù)據(jù)量較小，無法精確估計。

2.2 全要素生產(chǎn)率測算和分解

(13)

3 數(shù)據(jù)來源和變量定義

首先，如果生產(chǎn)數(shù)據(jù)存在嚴(yán)重的測量誤差，可能導(dǎo)致所估計的生產(chǎn)函數(shù)不能滿足單調(diào)性和擬凹性的要求。在這種情況下，就不能確定對所估計的生產(chǎn)函數(shù)施加理論約束是改進(jìn)了估計的效率，還是導(dǎo)致了更嚴(yán)重的偏誤。因此，要分析理論約束對TFP測算結(jié)果的影響需要質(zhì)量較高的數(shù)據(jù)。省際的小麥生產(chǎn)數(shù)據(jù)可以滿足這一點(diǎn)。該數(shù)據(jù)由國家統(tǒng)計局農(nóng)調(diào)隊在各小麥主產(chǎn)省份進(jìn)行抽樣調(diào)查，然后將各省的調(diào)查結(jié)果取平均值，從而形成了《全國農(nóng)產(chǎn)品成本收益資料匯編》(以下簡稱《資料匯編》)中所記錄的數(shù)據(jù)。也就是說，小麥生產(chǎn)數(shù)據(jù)是平均之后的數(shù)據(jù)，這樣即使原始數(shù)據(jù)中存在測量誤差，但只要測量誤差規(guī)模不大，則平均數(shù)據(jù)必然可以代表總體中某個生產(chǎn)者(有代表性生產(chǎn)者)的生產(chǎn)數(shù)據(jù)。考慮到所使用的變量均容易測量，因此預(yù)計原始數(shù)據(jù)中的測量誤差較小，從而省際的小麥生產(chǎn)數(shù)據(jù)質(zhì)量足以識別施加理論約束對于TFP增長率測算的影響。

其次，小麥生產(chǎn)由數(shù)量龐大的小農(nóng)戶組成，各地區(qū)農(nóng)戶生產(chǎn)的小麥在一定程度上可以視為同質(zhì)產(chǎn)品，小麥的消費(fèi)群體也足夠龐大，因此可以將小麥?zhǔn)袌鲆暈橐粋€完全競爭的市場。這使得不存在配置效率損失這一假設(shè)顯得不那么突兀。

最后，選擇單一產(chǎn)品進(jìn)行研究也是為了盡量縮小不同地區(qū)之間生產(chǎn)技術(shù)的差異。在參數(shù)估計時，通過采用變截距模型表示技術(shù)異質(zhì)性，可以在一定程度上控制不同省份之間小麥生產(chǎn)的技術(shù)差異。同時也可以在一定程度上控制不可觀測的省份個體因素對于投入要素使用數(shù)量的影響，以緩解內(nèi)生性問題。

分析所用數(shù)據(jù)主要來自《資料匯編》，時間跨度為2002—2015年，共計15個省份。產(chǎn)出為每畝小麥產(chǎn)量(公斤/畝)，投入為每畝用工數(shù)量(日/畝，X1)、每畝機(jī)械作業(yè)費(fèi)(元/畝，X2)、每畝化肥用量(公斤/畝，X3)以及每畝其他物質(zhì)投入費(fèi)用(元/畝，X4)(其他物質(zhì)投入包括：種子費(fèi)、農(nóng)家肥費(fèi)、農(nóng)膜費(fèi)、排灌費(fèi)、燃料動力費(fèi)、技術(shù)服務(wù)費(fèi)、工具材料費(fèi)和修理維護(hù)費(fèi)等)。土地也是投入要素之一。根據(jù)Translog生產(chǎn)函數(shù)的線性齊次性，可以用土地作為因子去準(zhǔn)化其他的投入要素和產(chǎn)出，從而在回歸分析中，只需要用到其他投入要素每畝投入水平和畝產(chǎn)量，與土地相關(guān)的系數(shù)可以在回歸之后根據(jù)線性齊次性復(fù)原。

需要注意的是，如果假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)是線性齊次的，則等同于假設(shè)規(guī)模報酬不變。因此，規(guī)模效率是不變的。全要素生產(chǎn)率的變化僅來自技術(shù)進(jìn)步和技術(shù)效率變化兩部分。規(guī)模報酬不變的假設(shè)或許過于牽強(qiáng)，但這是在數(shù)據(jù)限制下做出的妥協(xié)。如果能夠獲得農(nóng)戶小麥種植平均面積的數(shù)據(jù)，則可以放松規(guī)模報酬不變的假設(shè)。盡管如此，仍然可以比較施加理論約束對于全要素生產(chǎn)率增長率測量的影響。

在測算農(nóng)業(yè)TFP的相關(guān)文獻(xiàn)中，通常用農(nóng)業(yè)機(jī)械總動力作為資本投入的衡量指標(biāo)。但《資料匯編》中并未給出小麥種植農(nóng)戶所持有的平均機(jī)械動力。對此，本文采用機(jī)械作業(yè)費(fèi)作為小麥生產(chǎn)中的資本投入。根據(jù)《資料匯編》的解釋，機(jī)械作業(yè)費(fèi)是指生產(chǎn)者為租用機(jī)械設(shè)備進(jìn)行作業(yè)所支付的費(fèi)用。使用自有機(jī)械設(shè)備也視同租賃作業(yè)，按照租賃作業(yè)市場價格進(jìn)行核算，并計入租賃作業(yè)費(fèi)。因此，實(shí)際上機(jī)械作業(yè)費(fèi)可以視為小麥生產(chǎn)過程中所使用機(jī)械所產(chǎn)生的生產(chǎn)性服務(wù)。將農(nóng)業(yè)機(jī)械視為農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中資本的代理變量，則機(jī)械作業(yè)費(fèi)是對農(nóng)業(yè)機(jī)械在生產(chǎn)過程中提供的資本服務(wù)的衡量，應(yīng)作為資本投入的代理變量。

《資料匯編》中提供的機(jī)械作業(yè)費(fèi)和其他物質(zhì)投入數(shù)據(jù)是以當(dāng)年價格衡量的，因此應(yīng)剔除價格波動的影響，從而反映農(nóng)業(yè)機(jī)械服務(wù)和其他物質(zhì)投入的實(shí)際波動。對此采用《中國農(nóng)村統(tǒng)計年鑒》中的機(jī)械農(nóng)具價格指數(shù)對機(jī)械作業(yè)費(fèi)進(jìn)行折算，采用各地區(qū)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)資料價格指數(shù)對其他物質(zhì)投入進(jìn)行折算，二者均折算到2002年的價格水平。對所用數(shù)據(jù)的描述見表2。

表2 小麥每畝投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)描述

注：數(shù)據(jù)來源：《資料匯編》；表中列出了在未施加單調(diào)性和擬凹性的情況下各投入要素在樣本均值處是否滿足單調(diào)性，以及所估計的隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)是否滿足擬凹性。

4 參數(shù)估計結(jié)果

由于小麥生產(chǎn)還受到自然條件(如土壤質(zhì)量)和氣候條件的影響，這些條件存在地區(qū)間的差異，并也可能會影響農(nóng)戶投入其他要素的數(shù)量。考慮到本文分析時間范圍較短，可以認(rèn)為在此時間范圍之內(nèi)，這些影響小麥生產(chǎn)的外界因素都是不隨時間變化的(對于短期的天氣波動可以納入隨機(jī)誤差項)。對此，本文建立一個個體效應(yīng)模型，給每個省和地區(qū)設(shè)定單獨(dú)的截距項(等同于面板數(shù)據(jù)的最小二乘虛擬變量回歸方法)。

在實(shí)證分析中，共估計三個模型：分別是沒有施加約束的模型(M1)、僅施加單調(diào)性約束的模型(M2)和施加單調(diào)性和擬凹性約束的模型(M3)，回歸結(jié)果列在表3當(dāng)中。對比M1、M2和M3的回歸結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，施加了約束之后參數(shù)的邊際后驗密度函數(shù)的方差顯著下降，這一結(jié)果與O’Donnell and Coelli (2005)的文章結(jié)論是一致的。這是因為在對原生產(chǎn)函數(shù)施加約束時暗含的假設(shè)是滿足約束條件的參數(shù)取值范圍為無約束參數(shù)取值范圍的一個子集。同時可以發(fā)現(xiàn)無約束模型的90%HPI與有約束模型的90%HPD不相交，這表示施加了約束條件之后Translog生產(chǎn)函數(shù)的參數(shù)發(fā)生明顯的變化。但是施加約束條件并未對模型的擬合度產(chǎn)生顯著的影響。M1和M2的貝葉斯因子(Bayes factor)BF12=2.04，表示與M2相比，數(shù)據(jù)支持M1的證據(jù)較弱。M2和M3的貝葉斯因子BF23=1.05，非常接近與1，表示模型M2和M3的差別不顯著(用BF12乘以BF23可以得到BF13)?？傮w而言，三個模型在統(tǒng)計意義上的差異并不顯著。因此，對模型好壞的判斷主要取決于所估計的系數(shù)是否滿足生產(chǎn)理論的要求。

表3 Translog生產(chǎn)函數(shù)參數(shù)估計結(jié)果

續(xù)表

注：括號內(nèi)為90%的HPD(highest posterior density interval)區(qū)間。由于截距項并不進(jìn)入單調(diào)性和擬凹性的衡量公式當(dāng)中，并且由于每個省份均有一個特定的截距項，為了節(jié)約空間，故沒有將截距項的估計結(jié)果列入表中。

然而參數(shù)值的顯著變化并不代表M1的參數(shù)估計結(jié)果不符合單調(diào)性和擬凹性，這需要結(jié)合數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗。首先，對M1的估計結(jié)果在樣本均值處進(jìn)行檢驗，表2顯示僅化肥不滿足單調(diào)性，同時所估計的生產(chǎn)函數(shù)不滿足擬凹性。其次，檢驗M1參數(shù)的點(diǎn)估計結(jié)果是否滿足單調(diào)性。所用的面板數(shù)據(jù)共有210個數(shù)據(jù)點(diǎn)，其中每一種投入要素均滿足單調(diào)性的數(shù)據(jù)點(diǎn)共有47個。但沒有一個省和地區(qū)在2002—2015年期間所有的投入要素邊際產(chǎn)量均為正值。最好的情況是，甘肅省僅在2005年勞動投入的邊際產(chǎn)量為負(fù)值，其他年份所有的投入要素均符合單調(diào)性的要求。黑龍江省四種投入要素的邊際產(chǎn)量在所有年份均為負(fù)。有91個數(shù)據(jù)點(diǎn)的化肥投入邊際產(chǎn)量為負(fù)，73個數(shù)據(jù)點(diǎn)的勞動力投入邊際產(chǎn)量為負(fù)，59個數(shù)據(jù)點(diǎn)的其他物質(zhì)投入邊際產(chǎn)量為負(fù)，32個數(shù)據(jù)點(diǎn)的機(jī)械服務(wù)邊際產(chǎn)量為負(fù)。進(jìn)一步檢驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，沒有任何數(shù)據(jù)點(diǎn)滿足擬凹性。并且，如果僅施加單調(diào)性約束，也不能使小麥生產(chǎn)函數(shù)在任何一數(shù)據(jù)點(diǎn)滿足擬凹性(同時發(fā)現(xiàn)，如果僅施加擬凹性，也不能保證生產(chǎn)函數(shù)在每一個數(shù)據(jù)點(diǎn)均滿足單調(diào)性)。

表4中給出了根據(jù)所估計的三個模型所測算的各省份小麥生產(chǎn)TFP增長率。為了演示的方便，僅給出了2015年各省份小麥TFP增長率和2002—2015年間平均小麥TFP增長率。對大多數(shù)省和地區(qū)來說(除四川、云南和甘肅以外)，三個模型所測算的年均小麥TFP增長率均為正值。對于大多數(shù)省份(河北、內(nèi)蒙古、黑龍江、江蘇、安徽、山東、河南、湖北、寧夏和新疆)，無約束模型所測算的TFP增長率高于有約束模型，高估的程度在省份之間有較大差異。與M3相比，M1高估TFP增長率的程度從16.0%(寧夏)至829.6%(新疆)不等。對于山西、四川、云南和甘肅，M1傾向于低估年均TFP增長率，低估的程度在21.8%(山西)至387.5%(云南)之間。只有陜西的小麥TFP增長率的測算結(jié)果對是否施加約束無顯著的反應(yīng)：M1和M3所測算的TFP增長率之差僅為1.2%。

表4 各省份小麥生產(chǎn)全要素生產(chǎn)率增長率估算結(jié)果

續(xù)表

注：括號中數(shù)字為90%的HPD區(qū)間。

具體到某一個年份，無約束模型測算小麥TFP增長率的偏誤結(jié)果又不相同。在2015年(見表4)，對比M1和M3的TFP測算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，如果不施加任何約束，有3個省份顯著高估了小麥TFP增長率，高估的程度從93.2%(黑龍江)至4278.1%(河南)不等；6個省份顯著低估了小麥TFP增長率，低估的范圍在33.5%(河南)到846.5%(四川)之間；還有6個省份的小麥TFP增長率在施加約束前后無顯著的變化，二者相差的絕對值從1.2%(湖北)到9.3%(寧夏)不等。其中，河南省的TFP增長率前后變化最大：根據(jù)M1所測算的小麥TFP增長率的90%HPI與M3所測算的TFP增長率90%HPI沒有重合。

表5中分別給出了各省小麥TEC和TC年均增長率。從分解結(jié)果來看，平均而言，小麥TFP增長率主要來自于技術(shù)進(jìn)步。就小麥生產(chǎn)的TC測算結(jié)果而言，大部分省份TC均為正值，且不受是否對生產(chǎn)函數(shù)施加約束的影響(施加約束會影響TC測量的大小)。僅有四川和云南小麥生產(chǎn)的TC為負(fù)值，施加約束條件之后，技術(shù)退化的幅度降低。甘肅的技術(shù)變化則在施加約束之后由負(fù)變正。

表5 各省份小麥生產(chǎn)TEC和TC測算結(jié)果(年均，2002—2015)

對一些省份來說，無論是否對生產(chǎn)函數(shù)施加約束，2002—2015年間技術(shù)效率都是在下降的，因為年均TEC為負(fù)值(如河北、內(nèi)蒙古、江蘇、湖北、甘肅和新疆)。一些省份的年均TEC在施加了約束之后會發(fā)生符號的改變，如黑龍江、河南和陜西。而其他省份的年均TEC則無論是否施加約束均為正值，表示技術(shù)效率的改善。

將小麥TFP增長率分解為技術(shù)效率變化(TEC)和技術(shù)進(jìn)步(TC)，可以分析沒有施加約束的模型所導(dǎo)致的TFP增長率測算偏誤的來源。通過比較可以發(fā)現(xiàn)，施加了約束條件之后，TEC的測算結(jié)果變動程度較小，而TC的測算結(jié)果變動較大。也就是說，沒有施加約束的模型所測算的TFP增長率的偏誤主要來自于對TC測算的偏誤。這是因為技術(shù)效率是總體誤差項的一部分，其計算公式中并不涉及Translog生產(chǎn)函數(shù)中的斜率參數(shù)；而技術(shù)進(jìn)步的測算則依賴于Translog函數(shù)中的斜率參數(shù)。

此外，還值得注意的一點(diǎn)是，參數(shù)改變對不同省份TEC和TC測算結(jié)果的影響是不同。這可能是由于不同的省份使用不同的投入要素組合，且每種要素的增長率也不同，因此參數(shù)的變化對于不同省份的影響是不同的。

5 總結(jié)與討論

測算TFP增長率是許多研究的出發(fā)點(diǎn)。本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上探討了生產(chǎn)理論約束對于TFP增長率測算的影響。TFP增長率的測算是在對生產(chǎn)技術(shù)估計的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。因此，首先需要對生產(chǎn)技術(shù)有一個合理的描述，然后才能得到合理的TFP測算結(jié)果。

借助Translog生產(chǎn)函數(shù)，本文首先討論了生產(chǎn)理論的單調(diào)性和擬凹性對于參數(shù)取值范圍的影響，并利用判斷單調(diào)性和擬凹性的條件對部分現(xiàn)有研究的Translog生產(chǎn)函數(shù)進(jìn)行了檢驗。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在不施加約束的情況下，這些研究未能完全滿足單調(diào)性和擬凹性的要求。

在此基礎(chǔ)上，提出在估計生產(chǎn)函數(shù)時施加約束條件的必要性，并利用交叉熵改進(jìn)了O’Donnell and Coelli(2005)的貝葉斯回歸方法中對非標(biāo)準(zhǔn)后邊條件分布函數(shù)的抽樣方法。將這一方法應(yīng)用于省際小麥生產(chǎn)的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)無約束的模型TFP測算結(jié)果與滿足單調(diào)性和擬凹性的模型相比是顯著不同的。并且由于未施加理論約束所造成的TFP測算偏誤的方式是不確定的。進(jìn)一步的分解發(fā)現(xiàn)，TFP增長率的主要來源是技術(shù)進(jìn)步，并且造成TFP測算偏誤的主要原因也是不同模型之間技術(shù)進(jìn)步測算的差異。

在分析中可以發(fā)現(xiàn)，即使對隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)模型施加了單調(diào)性和擬凹性，四川和云南仍然出現(xiàn)技術(shù)退步的現(xiàn)象。因此,可以較為確定地說四川和云南出現(xiàn)的技術(shù)退步現(xiàn)象并不是由于模型設(shè)定的偏誤，而是真實(shí)存在的。模型M3的估計結(jié)果顯示，機(jī)械服務(wù)投入和化肥與時間交叉項的系數(shù)估計的平均值分別為正，而勞動投入、其他物質(zhì)投入和土地與時間交叉項的系數(shù)估計的平均值分別為負(fù)，時間的一次項和二次項的系數(shù)均為負(fù)值。也就是說，技術(shù)進(jìn)步主要體現(xiàn)在機(jī)械服務(wù)的使用和化肥的投入上，而不是一個地區(qū)的要素稟賦(勞動力和土地)。因此，根據(jù)估算技術(shù)進(jìn)步的表達(dá)式，如果四川和云南出現(xiàn)技術(shù)退步，那么必然是由于這兩個省份在小麥生產(chǎn)中機(jī)械服務(wù)和化肥投入偏低，或過多地使用了勞動力、土地或其他物質(zhì)投入。數(shù)據(jù)顯示，四川和云南的小麥畝產(chǎn)量、畝均機(jī)械和化肥投入低于全國平均水平，而勞動力的投入則高于全國平均水平，也就是說，與全國平均水平相比，四川和云南生產(chǎn)單位重量的小麥要使用更多的土地和勞動力，而更少地使用機(jī)械和化肥等投入要素。這種投入要素的使用結(jié)構(gòu)與當(dāng)?shù)氐霓r(nóng)業(yè)生產(chǎn)條件是密不可分的，如《資料匯編》的數(shù)據(jù)顯示，2016四川和云南的小麥生產(chǎn)中雇工工價分別為56.7元和78.79元，低于當(dāng)年的全國平均值93.69元。因此可以認(rèn)為，四川和云南兩省出現(xiàn)的技術(shù)退步現(xiàn)象在本質(zhì)上是農(nóng)業(yè)生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)?shù)氐耐度胍叵鄬r格做出的成本最小化決策的體現(xiàn)。進(jìn)一步的分析應(yīng)關(guān)注這些地區(qū)的成本效率是否提升，或采用四川和云南的小麥微觀生產(chǎn)數(shù)據(jù)分析其技術(shù)變化狀態(tài)。

此外，本文的研究對其他基于TFP測算結(jié)果的分析也有一定的借鑒價值。通常，測算TFP并非最終目的，而是要分析政策如何影響TFP的水平或增長率，或者分析技術(shù)的空間溢出效應(yīng)。M1、M2和M3三個模型不僅有差異顯著的參數(shù)估計結(jié)果，更重要的是根據(jù)不同模型會得到一個不同的TFP水平的地區(qū)排序。這種排序的差別顯然意味著不同的TFP空間分布，也會得到對TFP溢出效應(yīng)不同的分析結(jié)果。同時，各地區(qū)的政策變量并不會隨著TFP排序的變化而變化，因此不同的TFP排序結(jié)果也會導(dǎo)致不一樣的政策邊際效應(yīng)的估計值。

盡管在實(shí)證研究中可以檢驗所估計的生產(chǎn)函數(shù)是否滿足理論的要求，但是這是否可以構(gòu)成拒絕或接受生產(chǎn)理論的依據(jù)還依賴于很多條件。通常，在生產(chǎn)函數(shù)的估計中，僅將有限幾種重要的生產(chǎn)要素包括進(jìn)來，而忽略了其他影響生產(chǎn)的因素。例如，在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中作物產(chǎn)量會受到氣候因素的影響，工廠的產(chǎn)量也會受到市場需求因素的影響。但只要生產(chǎn)者是理性的，則不會觀察到增加投入要素會使產(chǎn)量下降這種情況(邊際產(chǎn)量為負(fù))。而且，在估計生產(chǎn)函數(shù)時，也會做出生產(chǎn)者使用相同的生產(chǎn)技術(shù)的假設(shè)(這表示Translog生產(chǎn)函數(shù)中的斜率參數(shù)對于所有生產(chǎn)者都是相同的，或者C-D生產(chǎn)函數(shù)中要素的產(chǎn)出彈性對于所有生產(chǎn)者都是相同的)。因此，可以預(yù)計至少在整個樣本所代表的區(qū)間，不會出現(xiàn)要素邊際產(chǎn)量為負(fù)的情況。

擬凹性表示生產(chǎn)技術(shù)呈現(xiàn)出邊際報酬遞減的特征。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，將要素邊際報酬遞減視為一條定律(law of diminishing marginal returns)。這一定律將生產(chǎn)的第一階段排除。如果生產(chǎn)者是理性的，顯然不會將生產(chǎn)停留在第一階段。如果這些假設(shè)可以被接受的話，那么在估計生產(chǎn)函數(shù)的時候，應(yīng)該加入這一信息，從而提高參數(shù)估計的有效性，并得到一個符合生產(chǎn)理論的TFP增長率測算和分解結(jié)果。