柔性繩網(wǎng)展開過程的多元回歸模型的優(yōu)化

王 全， 陳 曦， 石益建， 付 杰

(南京理工大學機械工程學院，南京 210094)

目前，針對柔性繩網(wǎng)系統(tǒng)的研究，主要方法是建立柔性繩網(wǎng)的仿真模型，用于分析其展開過程的動力學特性。G?rdsback等[1]開發(fā)了一個解析三自由度模型和一個全三維有限元模型，用以分析折疊后的柔性繩網(wǎng)展開過程的動力學特性。李京陽等[2]建立了空間飛網(wǎng)系統(tǒng)的柔性模型和松弛模型，并進行對比研究，以使模型的動力學特性更逼近于真實飛網(wǎng)。張青斌等[3]基于離散化模型，研究了柔性繩網(wǎng)展開過程中展開面積、空間位形和飛行距離等方面的動力學機理。劉海濤等[4]基于正交試驗，對柔性繩網(wǎng)展開過程的影響因子進行靈敏度分析。劉昊等[5]利用絕對節(jié)點坐標法，建立柔性繩網(wǎng)捕獲過程的動力學模型，驗證靜力學和振動分析提供參數(shù)選型的有效性，并分析了影響收口過程的關鍵指標。甄明等[6]設計了地面環(huán)境下的柔性繩網(wǎng)碰撞試驗，通過對比試驗結果與仿真結果，分析碰撞過程中的碰撞力和繩段內(nèi)力，及對包裹目標的影響。

在柔性繩網(wǎng)展開過程中，通常需要柔性繩網(wǎng)在一定距離上展開到最大，但由于柔性繩網(wǎng)仿真中選擇的參數(shù)無法包含所有的數(shù)值，即使進行大量仿真，對比所獲得的數(shù)據(jù)，也無法使該指標達到最佳。Design-Expert可對試驗后的數(shù)據(jù)進行回歸分析，擬合多項式曲線，建立擬合因素與響應值間之間的數(shù)學模型，并進一步求得最優(yōu)參數(shù)。陶有俊等[7]通過Design-Expert中的 Box-Behnken 試驗設計粉煤灰摩擦電選脫炭試驗方案，二次方修正模型，并以脫炭效率為優(yōu)化指標，得到最佳試驗條件。Qian等[8]針對軟土加固，利用Box-Behnken試驗方法，設計室內(nèi)無側限抗壓強度試驗，并獲得高爐渣、石膏、激發(fā)劑CaO的最佳配比。

圖1所示為柔性繩網(wǎng)示意圖，現(xiàn)采用集中質量阻尼彈簧[3]建立柔性繩網(wǎng)的動力學模型，并由Design-Expert 11軟件設計仿真方案，進而獲得充足的仿真數(shù)據(jù)，同時建立展開位移和展開面積的多元回歸模型，此外，對多元回歸模型進行優(yōu)化，得到滿足設計標準的理想?yún)?shù)組合，以及討論發(fā)射速度和旋轉角對展開效果的影響。

圖1 柔性繩網(wǎng)示意圖

1 動力學模型

采用離散化思路，將柔性繩網(wǎng)離散為一系列節(jié)點，相連兩節(jié)點僅考慮張力與阻尼力，且柔性繩網(wǎng)質量均勻分配到所有節(jié)點上，即將柔性繩網(wǎng)處理為大量集中質量阻尼彈簧的組合，如圖2所示。

圖2 柔性繩網(wǎng)離散化示意圖

柔性繩網(wǎng)離散后任一節(jié)點的運動公式為

(1)

中央差分法是一種常用的顯式時間積分方法，經(jīng)常用于求解運動公式[9]，由中央差分法可得：

(2)

(3)

將式(3)代入式(1)，可得位移迭代公式為

(4)

(5)

(6)

2 多元回歸模型

2.1 仿真設計

響應曲面法是正交試驗的一種常用方法，將給定的數(shù)據(jù)擬合為多元二次回歸方程，表示影響因子與響應值之間關系[10]。柔性繩網(wǎng)展開過程中的研究對象為展開面積與展開距離，其主要影響因子為發(fā)射速度V、旋轉角α和時間t，同時各影響因子的取值范圍為：發(fā)射速度10～30 m/s，旋轉角10°～22° ，時間1～1.4 s，最后按正交表對各影響因子進行排序，并進行水平編碼，其值見表1。

通過C++編制柔性繩網(wǎng)動力學模型的計算程序，并將表1中各影響因子數(shù)值帶入進行仿真，得到50組仿真數(shù)據(jù)，其部分數(shù)據(jù)見表2。

表1 三因子五水平編碼

表2 部分仿真數(shù)據(jù)

2.2 響應模型選擇

影響因子與響應值之間的多元二次回歸公式可以表示為

(7)

式(7)中：y為響應值，即展開位移L和展開面積S；xi為影響因子，即發(fā)射速度V、旋轉角α和時間t；bi是第i個影響因子的線性影響系數(shù)；bii是第i個影響因子的非線性影響系數(shù)；bij是第i、j兩個影響因子交互作用的非線性影響系數(shù)；k為影響因子的個數(shù)，k=3。

實驗數(shù)據(jù)采用軟件Design-Expert 11進行分析[11-12]，應用多重模型對仿真數(shù)據(jù)進行擬合，得到展開位移L和展開面積S各響應模型R2綜合分析和方差分析比較見表3～表6。由表3～表6綜合分析可得，展開位移L最優(yōu)的響應模型是二次方程模型，展開面積S最優(yōu)的響應模型是2FI模型。

表3 R2綜合分析(展開位移)

表4 方差分析比較(展開位移)

表5 R2綜合分析(展開面積)

表6 方差分析比較(展開面積)

注：R2表示決定系數(shù)；vs表示對比；F表示擬合缺陷；prob表示概率。

2.3 顯著性分析及多元回歸模型建立

展開位移L和展開面積S及其影響因子的顯著性分析[13]，見表7和表8。P用于表示對模型影響的顯著性，由表7可知，展開位移L模型的F為5 115.04，對應的P<0.000 1，說明展開位移L的回歸方程為最高顯著：發(fā)射速度V、旋轉角α、時間t、發(fā)射速度和旋轉角的交互(Vα)、發(fā)射速度和時間的交互(Vt)以及發(fā)射速度平方項(V2)呈最高顯著，說明這些項對展開位移L起主要影響作用；旋轉角和時間的交互(αt)、旋轉角平方項(α2)以及時間平方項(t2)顯著性較小，對展開位移L的影響較小。

由表8可知，展開面積S模型的F=154.06，對應的P<0.000 1，說明展開面積S的回歸方程為最高顯著：發(fā)射速度V、旋轉角α、時間t以及發(fā)射速度和旋轉角的交互(Vα)呈最高顯著，說明這些項對展開面積S起主要影響作用；旋轉角和時間的交互(αt)以及發(fā)射速度和時間的交互(Vt)顯著性較小，對展開面積S的影響較小。

表7 展開位移L及其影響因子的顯著性分析

表8 展開面積S及其影響因子的顯著性分析

展開位移L和展開面積S對應的多元回歸模型如式(8)、式(9)所示。

L=-7.706 05+0.075 362V-0.078 992α-

1.954 23t+0.008 589Vα+0.769 141Vt+

0.137 111αt-0.003 757V2-0.003 995α2+

0.239 183t2

(8)

S=45.503 59-4.728 79V-4.937 79α-

38.936 54t+0.312 435Vα+3.042 06Vt+

2.393 17αt

(9)

2.4 多元回歸模型驗證

為了驗證多元回歸模型的準確性，進行了8個仿真驗證，并為下面的優(yōu)化提供仿真依據(jù)。這 8個仿真驗證中各影響因子的取值與表1中的五水平數(shù)值不同，但取值均位于正交試驗各影響因子的數(shù)值范圍內(nèi)，其具體取值見表9。

由表9可知，展開位移L和展開面積S對應的多元回歸模型的計算結果與仿真結果的誤差均在10%以內(nèi)，說明多元回歸模型的可信度較高，其優(yōu)化分析結果可靠。

表9 多元回歸模型的仿真驗證

注：展開位移L和展開面積S為仿真值，展開位移計算值L′和展開面積計算值S′為式(8)、式(9)的計算結果。

3 模型優(yōu)化結果與討論

3.1 數(shù)值優(yōu)化

基于以上多元回歸模型，軟件Design-Expert 11可以對各影響因子進行優(yōu)化，即在保證展開位移L在一定范圍內(nèi)，展開面積S達到最大值時的各個影響因子的取值，具體優(yōu)化條件見表10。

表11為按照表10中的優(yōu)化條件進行優(yōu)化所得到的柔性繩網(wǎng)展開優(yōu)化方案。由優(yōu)化結果可知，當發(fā)射速度為29.481～30.000 m/s、旋轉角度為21.916°～22°和展開時間為1.092～1.115 s 時，可以得到展開位移為19.824～20.000 m 和展開面積為115.741～116.644 m2的較好展開效果。

表10 優(yōu)化條件

表11 柔性繩網(wǎng)展開優(yōu)化方案

圖3 柔性繩網(wǎng)展開過程(V=30 m/s，α=21.916°)

從以上10組柔性繩網(wǎng)展開優(yōu)化方案中，選取第5組參數(shù)V=30 m/s和α=21.916° 進行仿真，得到柔性繩網(wǎng)展開過程示意圖以及展開面積S隨展開位移L和時間t的變化圖，如圖3、圖4所示。由圖3、圖4可知，在t=0～1.1 s內(nèi)，柔性繩網(wǎng)逐漸展開，當t=1.1 s 時，展開位移仿真值L′=19.85 m ，展開面積仿真值S′=115.8 m2，此時柔性繩網(wǎng)在優(yōu)化條件下展開效果最好，當t繼續(xù)增加時，柔性繩網(wǎng)逐漸張開到最大，之后由于自身張力和慣性作用，外圍逐漸向中心收縮，展開面積S逐漸減小，但由于展開位移L>20 m ,超出優(yōu)化條件范圍，不滿足設計要求。由此可知，在給定的設計方案下，通過軟件Design-Expert 11，多元回歸模型能夠得到較為準確理想的優(yōu)化方案。

圖4 展開面積S隨展開位移L和時間t的變化圖

3.2 圖形優(yōu)化

圖5(a)～圖5(d)所示為不同發(fā)射速度條件下所獲得的旋轉角和展開時間的最佳匹配圖，隨著發(fā)射速度從30 m/s變化到21.8 m/s,最佳匹配區(qū)域從右下角逐漸移動到右上角，展開位移L=18 m、20 m 和展開面積S=80 m2、125 m2四條邊界線均上移，以及四條邊界線逐漸消失，整個區(qū)域面積大小首先近似保持不變，之后逐漸變小，最終消失。這是由于發(fā)射速度減小，相同旋轉角條件下到達展開位移L=10、15 m 以及展開面積S=80 m2、115 m2所需的展開時間增加，因而最佳匹配區(qū)域以及A、B、C和D四條邊界線向上移動，當A、B邊界線都在取值范圍內(nèi)時，最佳匹配區(qū)域由邊界線A、B、C及α=22° 構成，面積近似保持不變，當B邊界線不在取值范圍內(nèi)時，最佳匹配區(qū)域面積逐漸變小，當A、B邊界線不在取值范圍內(nèi)時，最佳匹配區(qū)域消失，即發(fā)射速度V減小到21.8 m/s及以下時, 沒有達到優(yōu)化條件的參數(shù)組合。

圖5(e)～圖5(h)所示為不同旋轉角條件下所獲得的發(fā)射速度和展開時間的最佳匹配圖，隨著旋轉角從22° 變化到16.2°，A和B邊界線變化較小，C和D邊界線逐漸上移，最佳匹配區(qū)域面積逐漸減少，起初為傾斜帶狀區(qū)域，之后逐漸消失。隨著旋轉角的逐漸變小，相同發(fā)射速度的條件下到達展開面積S=80 m2、115 m2需的展開時間增加，因而C、D邊界線逐漸上移，由于旋轉角在給定值范圍內(nèi)對展開位移L影響較小，因而A、B邊界線變化較小。由C、D與A、B邊界線變化可知，區(qū)域面積逐漸減少，并且旋轉角減小到16.2° 及以下時，最佳匹配區(qū)域消失，即沒有達到優(yōu)化條件的參數(shù)組合。

A為展開位移L=18 m；B為展開位移L=20 m；C為展開面積S=80 m2；D為展開面積S=125 m2

4 結論

采用Design-Expert 11軟件對柔性繩網(wǎng)展開過程中的展開位移和展開面積的研究進行設計、結果分析和優(yōu)化，得到以下結論。

(1)通過仿真驗證所建立的多元回歸模型的準確性，模型計算結果與仿真結果的誤差均在10%以內(nèi)，說明多元回歸模型進行優(yōu)化分析，其結果較為可靠。

(2)當發(fā)射速度為29.481～30.000 m/s、旋轉角度為21.916°～22°和展開時間為1.092～1.115 s時，可以得到展開位移為19.824～20.000 m和展開面積為115.741～116.644 m2的較好展開效果。

(3)優(yōu)化分析結果表明，發(fā)射速度越小和旋轉角越小，則最佳匹配區(qū)域中的參數(shù)組合越少；當發(fā)射速度V<21.8 m/s或旋轉角α<16.2° 時，最佳匹配區(qū)域消失，沒有參數(shù)組合達到優(yōu)化條件。