用離散隨機模型研究湖北新冠肺炎COVID-19流行病動力學(xué)特征*

石耀霖，程惠紅?，黃祿淵，任天翔

(1 中國科學(xué)院計算地球動力學(xué)重點實驗室,北京 100049；2 中國科學(xué)院大學(xué),北京 100049；3 中國地震局地殼應(yīng)力研究所,北京 100085；4 中國地質(zhì)科學(xué)院,北京 100037)

新冠肺炎COVID-19的爆發(fā)并在全國的擴散傳播，對中國及國際社會造成了巨大沖擊，它比起SARS來勢更兇、影響更大，引起了人們的密切關(guān)注[1]，它在全球的擴散傳播更是人們急切關(guān)注的問題[2]。Adhikari等[3]從流行病學(xué)、起因、臨床診斷、預(yù)防和控制等方面梳理了截至2020年1月31日的70篇關(guān)于新冠肺炎的文獻(xiàn)。截至2月28日24時新冠肺炎COVID-19在中國已經(jīng)累計確診79251例，韓國、伊朗、意大利、日本等國家疫情也在迅速不斷惡化。Heymann和Shindo[4]認(rèn)為如果疫情發(fā)展情況朝著更廣泛的社區(qū)傳播方向變化，世衛(wèi)組織的遏制消除戰(zhàn)略可能需要調(diào)整。Danon等[5]認(rèn)為如果沒有控制措施，在英格蘭和威爾士這類地方4個月內(nèi)COVID-19的爆發(fā)就可達(dá)到高峰。因此，加強對新冠肺炎COVID-19傳播動力學(xué)的研究，總結(jié)經(jīng)驗，預(yù)測下一步的發(fā)展，是目前全世界共同面對的極其重要的科學(xué)課題。

疫情發(fā)生后，國內(nèi)外科研人員對新型冠狀病毒的起源和感染性、致病機理、擴散模式等開展了許多工作，對傳播動力學(xué)模型和預(yù)測、防控建議等做了大量研究。這對疫情的判斷、決策、治療起到積極的作用。Li和 Feng[6]對中國大陸特別是湖北省的疫情進(jìn)行數(shù)據(jù)驅(qū)動分析和預(yù)測。趙序茅等[7]利用大數(shù)據(jù)回溯新冠肺炎在全國擴散的趨勢和傳染系數(shù)，從數(shù)據(jù)上論證中國政府對于疫情擴散強有力的控制能力。許小可等[8]基于地理位置服務(wù)所收集到的大規(guī)模人口流動數(shù)據(jù)，對春節(jié)前從武漢離開人口的地理分布進(jìn)行統(tǒng)計分析，為疫情擴散速度、疫情風(fēng)險評估和預(yù)測提供參考。

在傳染動力學(xué)模擬方面，Chen等[9]從已有數(shù)據(jù)的可視化展示疫情傳播特點，通過建立傳染病動力學(xué)模型，評估疫情防控措施和預(yù)測疫情疾病走勢，為疫情防控決策和大眾行為提供參考。喻孜等[10]對SIR模型進(jìn)行修正，研究感染人數(shù)的變化趨勢和政府行政行為對趨勢變化的影響。Boldog等[2]通過模擬計算評估中國境外新冠病毒爆發(fā)的風(fēng)險。Du等[11]利用指數(shù)增長模型和隨機人員流動模型耦合方法，估計武漢封城前，新冠病毒向中國369個城市流動的風(fēng)險。Luo等[12]研究絕對濕度在COVID-19傳播中的作用，警告單靠季節(jié)天氣變化不一定會導(dǎo)致COVID-19病例數(shù)的下降。

本文將以湖北為例，采用一種離散隨機模型對COVID-19傳播動力學(xué)進(jìn)行研究。本文離散隨機模型研究有兩個特點。第一是疫情初期病人人數(shù)很少，傳播過程中隨機起伏影響突出，因此離散隨機模型比連續(xù)變量確定性常微分方程模型更能反映初期傳播特征。第二是本文的方法可以追蹤疫情變化，隨時間人為努力下傳染率參數(shù)的變化可以在參數(shù)中得到反映，漸進(jìn)地對疫情發(fā)展做出估計預(yù)測。

1 方法

與一般采用經(jīng)典的基于連續(xù)變量常微分方程的方法[13]不同，我們采用離散變量隨機方法[14]。該方法類似于流體力學(xué)研究中，雖然用偏微分方程研究連續(xù)流體力學(xué)運動是經(jīng)典的方法，但是隨著計算技術(shù)的發(fā)展，也可以用分子動力學(xué)追蹤單個分子運動，大量分子運動的集合效應(yīng)與宏觀流體運動狀態(tài)相聯(lián)系，從另一個角度研究流體的動力學(xué)過程和特征。在我們的研究中，每一個病人的潛伏期、感染期、傳染人數(shù)等都隨機產(chǎn)生，其概率遵從一定概率分布。泊松分布被用于傳染病研究[15-16]并被Bogaars等[17]應(yīng)用于SARS二次感染人數(shù)研究中，因此本研究也采用泊松分布，各自的期望值要等于該疾病潛伏期、感染期和傳染人數(shù)實際統(tǒng)計到的平均值。在模擬中，一個病人隨機地感染若干病人，被感染的病人在潛伏期后會發(fā)病和再傳染他人，既有病人在一段時間后會按一定概率痊愈或死亡，新的病人會不斷產(chǎn)生而形成傳染鏈。單一的一個模型只是一種可能的情況，未必具有代表意義，因此需要采用蒙特卡洛方法，進(jìn)行大量(本文中一般1 000次)隨機試驗，其平均的結(jié)果將具有代表意義。

在大量病人條件下，連續(xù)變量微分方程描述傳染動力學(xué)方法已經(jīng)很成熟并得到有效應(yīng)用。但是，在新的流行病初起，只有幾個、幾十個病人的時候，隨機事件會對傳播動力學(xué)產(chǎn)生顯著影響。疫情中一個病人平均感染R個人，R是一個重要的參數(shù)。由于人為干預(yù)和自然因素變化在疫情不同階段R會變化，沒有外力干預(yù)條件下每個病人傳染多少人被稱為基本傳染數(shù)R0(basic reproduction number)[18]。當(dāng)R0大于1時，流行病會發(fā)展；R0小于1時，流行病將消亡；R0等于1時，流行病將以原來規(guī)模持續(xù)，不會擴大、但也不會消失。這對于存在大量病人的情況下無疑是正確的。但是，如果只有1個病人，情況會復(fù)雜得多。

我們進(jìn)行了簡單的離散隨機模擬，模型中1個病人會隨機感染其他人，感染情況遵從泊松分布[19]，雖然平均感染人數(shù)即R平均值為1，但也不是確定性的。從第1代1個病人開始，我們隨機計算了1 000個可能模型例子。當(dāng)R0平均值為1時，按泊松分布傳染0個人和1個人的概率都是0.367 9、傳染2個人的概率是0.183 9、……(表1)。在實際1 000個試?yán)?，其中?59個模型第1代病人沒有能傳染任何人，疫情就結(jié)束了，170多個模型傳到第2代就結(jié)束了；共有625個模型在5代以內(nèi)結(jié)束；共有909個模型在第20代以內(nèi)結(jié)束；僅有4個可以傳到300代以上(圖1)。這與R0=1可以無限持續(xù)下去的期待明顯不同。因為如果是一個大的患者群體，例如10 000個病人，那么雖然可能有約3 679個病人0傳染，但也有約2 642個病人會傳染2個或更多的病人，最后第2代病人總數(shù)仍在10 000人左右，可以用連續(xù)變量的常微分方程來描述其傳染動力學(xué)特征。但在只有幾個病人的條件下，小概率事件的發(fā)生可能造成傳染鏈的大幅度變化。用離散隨機模型進(jìn)行研究，既可以了解總的趨勢，又可以對偏差起伏有所了解，在流行病發(fā)生的初期應(yīng)該得到重視和應(yīng)用。這也揭示出早期追蹤傳染鏈得到的表觀R0與大規(guī)模傳播開來時的基本傳染數(shù)R0未必一致，在早期制定對策時應(yīng)予注意。

表1 基本傳染數(shù)R0為1時按泊松分布傳染不同人數(shù)的概率Table 1 Probability of infected people according to Poisson distribution when the R0 is 1

圖1 基本傳染數(shù)R0平均值為1的條件下，1 000個隨機模型中能傳播不同代的模型各有多少Fig.1 Maximum infection generations in 1 000 randommodels with average basic reproduction number R0=1

在知道流行病的平均潛伏期、發(fā)病期、死亡率和各個不同時段的每個病人每天有效平均傳染率r的條件下，可以進(jìn)行正演問題的計算，得到每日發(fā)病人數(shù)的發(fā)展變化。在初期自然條件下的每個病人每天傳染率r0下，患病人數(shù)會急劇增加；當(dāng)人們采取措施，在不同時段不同程度地減小了有效傳染率后，流行病傳播速度會降低，每日發(fā)病人數(shù)會減少乃至疫情消失。然而，在實際問題中更有用的是，在疫情產(chǎn)生后，根據(jù)已經(jīng)獲得的一段時間每日發(fā)病人數(shù)的資料，反演此前一段時間各個時段不同的傳染率；然后根據(jù)最新的傳染率及其可能變化趨勢，推測未來疫情的發(fā)展變化。在整個疫情期間，不斷追蹤疫情發(fā)展，改進(jìn)對后續(xù)時段傳染率的估值，更有效地對后期疫情發(fā)展趨勢做出不斷更新的判斷。

下面的研究就包含了這種對前一段的反演和對后一段的預(yù)測。目前反演采用的方法是試錯法，以后也許可以采用更好的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行反演。預(yù)測中涉及到不同時段r的估值問題，我們在2003年對北京、廣州、臺灣、新加坡、越南等SARS疫情全過程的反演研究中[14]，對于后期傳染率r值變化特征獲得了一定認(rèn)識，有助于我們選擇適當(dāng)?shù)膔值范圍，對疫情可能發(fā)展做出預(yù)測。

2 資料及預(yù)處理

我們的資料來源是國家衛(wèi)生健康委員會(http:∥www.nhc.gov.cn/xcs/yqfkdt/gzbd_index.s-html)和湖北省衛(wèi)生健康委員會官方網(wǎng)站(http:∥wjw.hubei.gov.cn/fbjd/dtyw/)每天公開發(fā)布的數(shù)據(jù)。目前國家和省市衛(wèi)生健康委員會每天公布的是新增確診病人的數(shù)量，但在傳染病傳播研究中，更需關(guān)注的是每日新發(fā)病病人數(shù)量。當(dāng)然，如果能知道每日新增的被感染(但處于潛伏期)的潛在病人數(shù)量就更加有利于對疫情的防控。每天發(fā)病病人數(shù)量并不難獲得，確診時醫(yī)生了解病人的發(fā)病時間、并統(tǒng)計上報即可得到。但是，病人從發(fā)病、到就診、再到確診有一定的時間滯后(平均約5 d)，這樣距今大約10 d以內(nèi)發(fā)病的病人還沒有全部就診或確診，基本完備的數(shù)據(jù)需要再等10 d才能陸續(xù)補充獲得。當(dāng)每天全國確診人數(shù)一度高達(dá)數(shù)千人時，及時獲得每個患者的發(fā)病時間和對數(shù)據(jù)集成統(tǒng)計是十分艱巨的任務(wù)[20]。

因此，本文采用排隊論方法對每日確診病人數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，獲得每日新發(fā)病和新感染的大致人數(shù)。今日確診的病人，其實從發(fā)病到確診已經(jīng)等候了多日，每天所占的概率遵從排隊論中的Erlang概率分布[21-22]。Erlang分布的概率密度函數(shù)為：

(1)

其中有兩個參數(shù)：k為階數(shù)，影響著函數(shù)曲線的形態(tài)；λ為速率參數(shù)，有時也使用它的倒數(shù)均值參數(shù)μ。Erlang分布的數(shù)學(xué)期望為kμ。

原則上可以將每天確診病人數(shù)按發(fā)病到確診的平均等候時間～5 d遵從Erlang分布，把每日確診人數(shù)數(shù)目按概率分配到前面若干天中估計各天發(fā)病人數(shù)，類似的按潛伏期平均值5.2 d可以進(jìn)而估算每天感染人數(shù)。Mase等[23]在模擬數(shù)據(jù)延遲系列生成中也采用過Erlang分布。但湖北省數(shù)據(jù)有兩天比較特殊需要單獨處理：1) 1月27日確診病人數(shù)目從前一天的371人暴增到1291人，這是武漢醫(yī)療條件改善使用核酸檢測需要時間縮短的結(jié)果；2) 2月12日湖北省確診病人突然暴增達(dá)14 840人，其中僅1 508人是與過去一樣基于核酸檢測，而13 332人是由把臨床診斷確診病人也納入確診統(tǒng)計導(dǎo)致。這兩天確診病人數(shù)目激增都是以前多日積累的病人一次性計入導(dǎo)致[24]，平均等待時間約為7 d，采用μ值為3.5的二階Erlang分布分別插值到前幾日得到校正的每日確診人數(shù)?；谀壳叭珖颊邚陌l(fā)病到確診的時間間隔平均約為5 d(4.95 d，https:∥m.chinanews.com/wap/detail/zw/gn/2020/02-17/9095025.shtml)，可以采用μ=2.5的二階Erlang分布處理，得到每日發(fā)病人數(shù)。潛伏期平均值有不同的估計：包括6.4 d(Backer等[25]對88例統(tǒng)計)，5.2 d(Li等[26]對425例統(tǒng)計，Guan等[27]對552例的統(tǒng)計的中位數(shù)4 d，按Erlang分布換算)。圖2是從2019年12月1日起[28]到2020年2月23日的原始每日確診數(shù)據(jù)、校正后的每天確診人數(shù)、每天發(fā)病人數(shù)和每天感染人數(shù)。

深紫色為原始資料每日確診病人數(shù);綠色為校正后每日確診人數(shù);紅色為從校正的確診人數(shù)計算的每日發(fā)病人數(shù);藍(lán)色為從每日發(fā)病人數(shù)計算的每日感染人數(shù)。Dark purple show the number of confirmed patients per day of the original data;green represents the number of confirmed patients per day after corrections;red means the number of patients with newly onset symptom per day calculated from number of confirmed patients,and blue refers to the number of patients newly infected per day based on the number of patients with onset symptom.圖2 湖北省每日COVID-19確診人數(shù)、發(fā)病人數(shù)和感染人數(shù)Fig.2 Daily number of COVID-19 patients confirmed,newly symptom onset and newly infected in Hubei Province

在本文的估計中，和實際統(tǒng)計一樣，面臨一個最近幾天發(fā)病病人尚未就診或確診，因此資料缺失導(dǎo)致發(fā)病病人數(shù)目會被低估的問題。如果從發(fā)病到確診平均等待時間為5 d且遵從Erlang概率分布，確診日前8 d以內(nèi)發(fā)病的人數(shù)占到85%，10 d以內(nèi)的達(dá)到91%。因此在實際調(diào)查中想對近幾天每天發(fā)病人數(shù)得到比較可靠的結(jié)果，只有等候大約8～10 d后才能具備較完備的統(tǒng)計資料。但是，如果采用排隊論方法估計，我們可以對未來10天確診人數(shù)做不同估計：包括與現(xiàn)今持平、按一定速率比現(xiàn)今減少、或比現(xiàn)今增加，做出不同程度樂觀、悲觀的多種可能估計，在這些估計的基礎(chǔ)上，估算近日每天大約發(fā)病人數(shù)。

不可否認(rèn)，企業(yè)財務(wù)管理涉及面廣，內(nèi)容繁雜，在財務(wù)管理中難免有所疏漏，其中最容易被忽視的就是預(yù)算管理。很多企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)對預(yù)算工作不夠重視，認(rèn)為它不會影響財務(wù)工作，也無法左右最終的資金支出數(shù)額。其實，預(yù)算是企業(yè)財務(wù)管理的基礎(chǔ)，它能夠為財務(wù)工作提供參考。因此，在“互聯(lián)網(wǎng)+”背景下一定要突出技術(shù)優(yōu)勢，建立多維度、智能化的預(yù)算管理系統(tǒng)，對預(yù)算編制情況加以輔助，在結(jié)合市場數(shù)據(jù)等外部條件的基礎(chǔ)上做出分析，并挖掘大數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)的預(yù)算工作，為實現(xiàn)企業(yè)財務(wù)管理目標(biāo)奠定基礎(chǔ)。

3 結(jié)果

圖3顯示采用我們傳染病傳播動力學(xué)模型得出的1 000個隨機模型每天發(fā)病人數(shù)的平均結(jié)果和其對實際數(shù)據(jù)的擬合，并對今后發(fā)展趨勢的預(yù)測。模型采用試錯法反演，得到的傳染率r的變化見表2。模型中的傳染率r是每個病人每天平均傳染人數(shù)，把它在全部有傳染能力的日子內(nèi)加權(quán)求和即得到一個病人平均會傳染多少個人的傳染數(shù)R，加權(quán)求和是因為在患病后不同時段傳染性不同。對COVID-19目前尚沒有準(zhǔn)確的資料，根據(jù)世界衛(wèi)生組織(WHO)和中國聯(lián)合調(diào)查報告[26]，初步得出在這個模型中R≈12.6r，從傳染率r計算出開始階段的基本傳染數(shù)R0為6.1～4.0。1月21日開始采取管控措施后最初15天，由于大量的病人超過醫(yī)療能力的負(fù)擔(dān)，措施也不是十分到位，有效傳染數(shù)R僅僅降到0.83，略小于1。由于原來已經(jīng)存在大量已經(jīng)感染未發(fā)病的患者，因此仍不能抑制發(fā)病人數(shù)上升的趨勢，但是已經(jīng)從指數(shù)上升變?yōu)榫€性上升，初步顯示了隔離管控措施的作用。隨著措施逐步到位，在全國人民支持下醫(yī)院收納能力增強，在隨后一周2月8日起R降到0.25，進(jìn)一步2月14日后又降到0.13。如果保持這樣的傳染率，預(yù)期發(fā)病持續(xù)(124±7)d，即4月2日前后一周左右結(jié)束，如果能進(jìn)一步把R降低到0.06，有希望在(117±6)d，即3月26日前后一周左右結(jié)束。不過從停止發(fā)病到門診和確診上表現(xiàn)出來可能還要有5 d的滯后。累計發(fā)病人數(shù)估計為71 000人左右。

圖3 潛伏期為5.2 d時，采用蒙特卡洛方法和表1參數(shù)的1 000次隨機試驗的平均結(jié)果(紅色)與實際每天發(fā)病人數(shù)(藍(lán)色)的比較，以及在目前有效傳染率能繼續(xù)保持條件下對今后疫情的預(yù)測Fig.3 Comparison of average result (red) of 1 000 random trials based on Monte Carlo method with the actual number of patients per day (blue).Parameters of model are in Table 1 with incubation period of 5.2 days,and to predict the future epidemic situation under the condition that the current effective R can be maintained

表2 潛伏期為5.2 d模擬中反演得到的各時間段的傳染率r(從2019年12月1日計)Table 2 Values of reproduction rate r in different time periods retrieved from simulation when the incubation period is 5.2 d

我們也進(jìn)行了參數(shù)變化對模型影響的檢測。圖4顯示改變潛伏期為4.03 d后的擬合結(jié)果。模型同樣采用試錯法反演，得到的傳染率r隨時間的變化見表3。潛伏期短的情況下同樣的傳染率會傳播得更快，反過來傳染情況已確定的情況下，反演出來的傳染率會較低。傳染率反演結(jié)果給出開始階段的基本傳染數(shù)R0為5.0～3.15，低于潛伏期為5.2 d的反演結(jié)果約20%。隨著隔離管控措施的發(fā)揮作用，有效R值也逐漸降低到0.88、038到0.13而使疫情減小。如果保持這樣的傳染率，預(yù)期發(fā)病持續(xù)(128±14)d。累計發(fā)病人數(shù)估計為73 000人左右。

圖4 潛伏期為4.03 d時隨機反演平均結(jié)果(紅色)與實際每天發(fā)病人數(shù)(藍(lán)色)的比較，以及在目前有效傳染率能繼續(xù)保持條件下對今后疫情的預(yù)測Fig.4 Comparison of average result (red) of 1 000 random trials with the actual number of patients per day (blue), parameters of the model are shown in Table 3 with incubation period of 4.03 d,and to predict the future epidemic situation under the condition that the current effective R can be maintained

表3 潛伏期為4.03 d時反演得到的各時間段的傳染率r(從2019年12月1日計)Table 3 Values of reproduction rate r in different time periods retrieved from simulation when incubation period of 4.03 d

我們的模型認(rèn)為2月1日以后有效R值已經(jīng)小于1。我們不能贊同You等[27]的結(jié)果。他們認(rèn)為2月1日到10日，湖北的有效R值雖然在減小，但只從2.0降到了1.5，他們的結(jié)果明顯與發(fā)病高潮已經(jīng)在二月初度過的事實相矛盾。

此前，在疫情發(fā)展期間，我們運用同樣的原則，多次做過這種擬合和預(yù)測嘗試。圖5是基于截至2月9日的武漢數(shù)據(jù)做的類似的模擬，可以大體分為模擬段和外推預(yù)測段，顯示發(fā)病高潮已經(jīng)在二月初度過。當(dāng)時公布的每日確診人數(shù)還沒有包括門診確診人數(shù)，但是已經(jīng)連續(xù)一周處于每天2 000人以上的高位，發(fā)病高峰期還要持續(xù)多久是人們普遍關(guān)注的問題。而2月12日國家衛(wèi)健委對統(tǒng)計準(zhǔn)則做了新的規(guī)定后，將門診確認(rèn)的病例納入確診人數(shù)，因此確切人數(shù)日增15 000多人。這雖然影響到每日發(fā)病人數(shù)和預(yù)期感染總?cè)藬?shù)的估計，但對發(fā)病人數(shù)峰值已經(jīng)過去的判斷這點仍然符合現(xiàn)在的認(rèn)識。

圖5 綠色線條為基于2月9日截止的實際確診資料計算的每日新增病人人數(shù)，紅色線條為根據(jù)綠色曲線用試錯法獲得各時段的傳播率后的模擬曲線Fig.5 The green line shows the daily number of new patients calculated from the number of comfirmed patients up to February 9.The red line is the simulation curve after obtaining the effective r of each period according to the green curve

4 討論

在傳染病動力學(xué)分析中，使用每日發(fā)病人數(shù)資料比每日確診人數(shù)更加合理和準(zhǔn)確，但從發(fā)病到確診平均有5 d等待時間，人們難以及時獲得發(fā)病人數(shù)信息。本文利用排隊論計算每日發(fā)病病人數(shù)目和每日感染病人數(shù)目解決了這一困難。與實際統(tǒng)計資料比較顯示了這種方法是可行的。據(jù)中國疾病預(yù)防控制中心提供的截至2月11日的實際發(fā)病統(tǒng)計資料[24]，數(shù)字表明1月24日進(jìn)入發(fā)病高峰期，2月1日達(dá)到發(fā)病高峰，日發(fā)病人數(shù)達(dá)3 100余人。本文提出的方法計算結(jié)果為1月31日為高峰，峰值約3 000人，與實際統(tǒng)計資料吻合。這種方法不但為傳染病動力學(xué)模擬提供了基礎(chǔ)參數(shù)，而且在對潛伏期有所了解的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步估計每天被感染人數(shù)，對疫情發(fā)展做出更全面的判斷。從圖2可以看出感染高峰、發(fā)病高峰和確診高峰之間存在的滯后關(guān)系。

模擬表明，在采取有效的隔離管控措施后，由于已經(jīng)被感染者陸續(xù)發(fā)病的滯后效應(yīng)，有效傳染率R不會迅速降低，而且即使R已經(jīng)降到1以下，發(fā)病人數(shù)仍會上升。但不再會是指數(shù)上升，而轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性上升。面對逐日高升或保持在高位的確診人數(shù)，公眾會產(chǎn)生焦慮的心態(tài)，了解這種特征應(yīng)該有助于緩解民眾的情緒，也為領(lǐng)導(dǎo)做出正確決策判斷提供重要參考。

我們的研究表明：疫情爆發(fā)階段，由于感染、發(fā)病、就診和確診存在滯后，已感染人數(shù)可以遠(yuǎn)大于確診人數(shù)。在武漢封城前當(dāng)日正式報告的確診患者只有180例，但圖2中顯示當(dāng)日新增被感染人數(shù)可能已達(dá)2 500人左右，累計被感染人數(shù)可能達(dá)33 000人，被感染而尚未發(fā)病、或病狀輕微的患者流向湖北省外各地，成為各地的傳染源頭，造成全國性的疫情蔓延。據(jù)文獻(xiàn)統(tǒng)計[35]外地患者中有5 900余人與湖北有直接接觸。反之，在目前疫情消退階段，感染人數(shù)和發(fā)病人數(shù)大大減少，甚至可能低于每日確診人數(shù)。因此不應(yīng)過分擔(dān)心春節(jié)后回程的農(nóng)民工和學(xué)生誘發(fā)大的疫情回彈，只要思想不放松懈怠，分區(qū)、分批、錯峰安排返程，做好交通工具上的衛(wèi)生防疫工作，做好接受地的隔離管控安排，不出大紕漏，就可以成功實現(xiàn)復(fù)工復(fù)課。目前倒是韓國、伊朗、意大利、日本等疫情正在惡化的國家，可能處于類似武漢早期的階段。因此，我們國家必須對入境人員做好檢查和必要的隔離管控。

本研究使用的程序可以在疫情發(fā)展不同階段，跟蹤疫情發(fā)展，反演傳染率的變化，并根據(jù)反演的傳染率做短期的外推和預(yù)測，顯示了這個傳染病傳播動力學(xué)模型對復(fù)雜疫情發(fā)展的適應(yīng)性，值得進(jìn)一步發(fā)展。但目前本程序還存在一些問題需要改進(jìn)。最突出的問題是，目前程序正演計算在給定各時間段的傳染率r后，從起始到終了的全部可能的概率模型，讓它們的平均模型接近實際疫情的數(shù)據(jù)。然而，在我們追蹤計算中，前一段的過程已經(jīng)結(jié)束，那些前一段已經(jīng)遠(yuǎn)離平均情況的模型可以被揚棄，只有那些比較接近實際的平均模型的個例們才值得保留，繼續(xù)運行下去。但是目前程序尚未包含這種功能。這樣就出現(xiàn)對疫期內(nèi)總的感染人數(shù)預(yù)測時，由于包含那些早就大大偏離實際情況的個例而導(dǎo)致誤差偏大。例如圖3的模型預(yù)測整個疫期病人總數(shù)達(dá)71 000±36 000人，其實如果剔除那些前面已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離實際情況的模型，在僅保留前面時段接近實際情況的那些模型的條件下，誤差會小得多。目前的程序也使得平均模型會大幅度不規(guī)則地變化，難以建立數(shù)學(xué)模式進(jìn)行自動化的反演，停留在試錯法反演傳染率參數(shù)。對程序進(jìn)一步改進(jìn)是下一步的一項重要研究內(nèi)容。

5 結(jié)論

我們開展了湖北新冠肺炎COVID-19傳染動力學(xué)研究。研究需要對湖北每日感染人數(shù)和每日發(fā)病人數(shù)了解，然而每日公布的僅僅是確診數(shù)字，原始數(shù)據(jù)存在較大不確定性。例如，2020年1月27日核酸檢驗?zāi)芰Φ脑鰪姡?月12日確診標(biāo)準(zhǔn)變化、納入了過去不計入的門診確診病例，都造成每日確診病人數(shù)量出現(xiàn)異常高值。我們首先對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，然后利用排隊論Erlang概率分布，依據(jù)醫(yī)療界關(guān)于從發(fā)病到確診的等待時間為5 d、從感染到發(fā)病的潛伏期為5.2 d的認(rèn)識，從預(yù)處理過的確診數(shù)據(jù)計算出每日發(fā)病人數(shù)和每日感染人數(shù)。計算的每日發(fā)病人數(shù)與CDC新近公布的2月12日以前的每日發(fā)病人數(shù)較好的吻合，說明我們對原始數(shù)據(jù)的校正和處理方法科學(xué)有效。得到的每日發(fā)病和感染人數(shù)，可以作為傳染病動力學(xué)模擬的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。

進(jìn)而開展離散變量隨機概率模擬[14]，依據(jù)每日發(fā)病人數(shù)，反演疫情發(fā)展不同階段的有效傳染率的變化。發(fā)現(xiàn)疫情初期基本傳染數(shù)R0從6.1減少到4.0，每日感染人數(shù)急劇指數(shù)式增長；在武漢采取封城等有效措施后，有效R值減少到1之下，并隨著外部醫(yī)療衛(wèi)生支援的增強、隔離管控措施的逐步落實，R值降低到0.13以下。發(fā)病高峰已經(jīng)在2月初度過，目前雖然不排除疫情會有小的起伏，但只要堅持嚴(yán)格的隔離管控措施，總的趨勢就不會變化。預(yù)期疫情在3月底前后結(jié)束，累計患病人數(shù)達(dá)到71 000人左右。

研究表明，疫情爆發(fā)階段，發(fā)病人數(shù)一般大于確診人數(shù)，已感染人數(shù)又大于發(fā)病人數(shù)。那時人口流動的隔離管控措施往往又不到位，容易造成疫情異地傳播擴散。春節(jié)前武漢五百萬人流向湖北省外各地，造成外地患者與湖北有直接接觸者達(dá)5900余人之眾。而在目前消退階段，未發(fā)病的感染人數(shù)已經(jīng)大大減少，因此春節(jié)后回程的農(nóng)民工和學(xué)生誘發(fā)大的疫情回彈可能性不大。但是韓國、伊朗、意大利、日本等國家正處于疫情可能大規(guī)模爆發(fā)的階段，我們國家應(yīng)該對入境人員做好檢查和隔離管控工作。