數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想在解一元二次方程的分析

蔡普州

摘 要：想讓學(xué)生們以較快的速度學(xué)會(huì)解一元二次方程，就需要讓學(xué)生們熟練掌握數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生們學(xué)會(huì)將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化成老問(wèn)題。學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)解一元二次方程的過(guò)程中，最重要的一部分轉(zhuǎn)化就是“降次”。如果學(xué)生們能夠成功地掌握“降次”方法，把一元二次方程化為一元一次方程，那么就已經(jīng)完成了解一元二次方程的關(guān)鍵步驟，問(wèn)題也就迎刃而解了。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想 一元二次方程 降次

轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的一種數(shù)學(xué)思想，它的應(yīng)用十分廣泛。我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常需運(yùn)用它將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，將難以解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的問(wèn)題，將待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題。教師在帶領(lǐng)學(xué)生們學(xué)習(xí)一元二次方程的解法時(shí)，涉及的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化思想。無(wú)論是直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法，都是運(yùn)用了“轉(zhuǎn)化”的思想，把待解決的問(wèn)題（一元二次方程），通過(guò)轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為已解決的問(wèn)題（一元一次方程），也就是不斷地把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的過(guò)程。那么，一元二次方程的解法中，如何把“未知”變?yōu)椤耙阎?，?shí)現(xiàn)方程的轉(zhuǎn)化呢？這正是我們今天討論的關(guān)鍵所在。

一、降次方法的講解與轉(zhuǎn)化思想的滲透

降次方法是非常重要的，也是一切解題方法和解題思想的開(kāi)端。因此，教師可以通過(guò)情境導(dǎo)入的方式，來(lái)帶領(lǐng)學(xué)生們了解降次思想與降次方法，讓學(xué)生們明白降次在解一元二次方程中的重要性，從而讓轉(zhuǎn)化思想學(xué)生們的腦海中生根發(fā)芽[1]。

例如：教師在課堂開(kāi)始之初，可以先問(wèn)學(xué)生們這樣一個(gè)問(wèn)題：要使一塊矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)比寬多6m，并且面積為16m2，場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬分別是多少？然后，教師可以給學(xué)生們一些時(shí)間，讓學(xué)生們自己就該問(wèn)題進(jìn)行討論。在學(xué)生討論方程的解法時(shí)，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)降次的思想，利用配方的方法解決問(wèn)題，進(jìn)而體會(huì)配方法解方程的一般步驟。待學(xué)生們快要討論完畢后，教師可以根據(jù)學(xué)生們的討論情況來(lái)做一個(gè)歸納，即：通過(guò)配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法;配方的目的是為了降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程。而后，教師可以在此基礎(chǔ)之上，為學(xué)生們引入降次的概念，總結(jié)并歸納降次的思想，以此來(lái)為學(xué)生們進(jìn)行初步滲透。

二、利用直接開(kāi)平方法求解方程

所謂“直接開(kāi)平方法”，即：根據(jù)平方式的概念特征，直接通過(guò)開(kāi)平方的形式將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，最終使方程得解。因此，“直接開(kāi)平方法”在很大程度上體現(xiàn)了降次思想在一元二次方程的應(yīng)用，是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想在一元二次方程中的初級(jí)形態(tài)。

例如：解方程（3x+1）2 =4

分析：（1）此方程顯然用直接開(kāi)平方法好做

（2）方程左邊是完全平方式（3x+1）2，右邊=4>0，所以此方程也可用直接開(kāi)平方法解。

解：（3x+1）2 =4

∴3x+1=±2（注意不要丟解）

∴3x=1或-3

∴原方程的解為x1=1/3，2x=-1

三、利用配方法求解方程

通過(guò)配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法;配方的目的是為了降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程[2]。此方法體現(xiàn)降次思想最為明顯，也是轉(zhuǎn)化思想的重要運(yùn)用方法。因此，教師可以先給學(xué)生們一個(gè)題目，讓學(xué)生們進(jìn)行討論。在學(xué)生討論方程的解法時(shí)，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)降次的思想，利用配方的方法解決問(wèn)題，進(jìn)而體會(huì)配方法解方程的一般步驟，提升學(xué)生們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

例如：用配方法求解一元二次方程2x2+12x+16=0。

解：一移（常數(shù)項(xiàng)移到方程右側(cè)）2x2+12x=-16

二除（使二次項(xiàng)系數(shù)為1）x2+6x=-8

三配（把方程左側(cè)配成完全平方式）

x2+6x+9=-8+9

x+3）2=1

x+3=±1

∴x1=-2，x2=-4

有的時(shí)候我們也需要用配方法求解代數(shù)式的最值，這種情況可以以這道題為例：求2x2+12x+16的最小值

2x2+12x+16

=2（x2+6x）+16

=2（x2+6x+9-9）+16

=2（x+3）2-18+16

=2（x+3）2-2

∵（x+3）2≥0，∴2（x+3）2-2≥-2

當(dāng)x=-3時(shí)，代數(shù)式有最小值-2

四、利用公式法求解方程

所謂“公式法”，即：把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式△b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)a， b， c的值代入求根公式，（b2-4ac≥0）就可得到方程的根。求根公式是由配方法得來(lái)的，也就是說(shuō)公式本身的推導(dǎo)過(guò)程就是轉(zhuǎn)化思想在解一元二次方程的過(guò)程當(dāng)中發(fā)揮作用的過(guò)程[3]。因此，教師在帶領(lǐng)學(xué)生們學(xué)習(xí)公式法解一元二次方程的過(guò)程中，首先要為學(xué)生們介紹公式的來(lái)源和推導(dǎo)過(guò)程，以此來(lái)幫助學(xué)生們進(jìn)行理解;其次再教會(huì)學(xué)生們?nèi)绾卫霉椒ㄇ蠼庖辉畏匠蹋寣W(xué)生們能夠感受到屬于數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力。

首先，教師要為學(xué)生們介紹公式的來(lái)源和推導(dǎo)過(guò)程，以此來(lái)便于學(xué)生對(duì)公式的理解和接受。推導(dǎo)過(guò)程為：ax2+bx+c=0，a≠0

方程兩邊除以a得：

x2+（b/a）x+c/a=0

配方——

x2+2（b/2a）x+（b/2a）2+c/a-（b/2a）2=0

[x+（b/2a）]2=（b/2a）2-c/a=（b2-4ac）/（4a2）

其次，教師要為學(xué)生們講解如何通過(guò)公式法來(lái)解方程，案例如下：2x2-4x-1=0用公式法解該方程。

解：（1）a=2，b=4，c=-1

b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0

，。

結(jié)語(yǔ)

綜上所述，轉(zhuǎn)化思想貫穿于一元二次方程的各個(gè)解法當(dāng)中。因此，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)將轉(zhuǎn)化思想滲透于教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，以此來(lái)為學(xué)生們今后的學(xué)習(xí)和發(fā)展奠定一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

[1]龍海英.數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想在解一元二次方程中的應(yīng)用[J].新課程·中學(xué)，2019（4）：49.

[2]王紅權(quán)，李馨.從系統(tǒng)的觀點(diǎn)看一元二次方程的解法教學(xué)設(shè)計(jì)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（3）：94-97.

[3]徐坤.一元二次方程的應(yīng)用[J].新高考（升學(xué)考試），2015（5）：31-33.