NSD 序列生成的移動(dòng)平均過程的矩完全收斂性

高云峰，鄒廣玉

（1.吉林農(nóng)業(yè)科技學(xué)院電氣與信息工程學(xué)院，吉林吉林132101； 2.長春工程學(xué)院 理學(xué)院，吉林長春130012）

0 引言及主要結(jié)果

NA 隨機(jī)變量最早由JOAG-DEV 等[1]提出，在可靠性理論、滲透理論及多元分析中有廣泛的應(yīng)用[2]。HU[3]最早在超可加函數(shù)的基礎(chǔ)上引入了NSD隨機(jī)變量，并舉例說明 NSD 推不出 NA。CHRISTOFIDES 等[4]進(jìn) 一 步 指 出,NA 能 推 出NSD，表明NSD 序列是包含獨(dú)立和NA 序列在內(nèi)的一類很廣泛的相依序列。HU[3]進(jìn)一步舉例說明橢球等高分布、排列分布、多項(xiàng)分布、多元超幾何分布、Dirichlet 分布等在一定條件下都具有NSD 序列的性質(zhì)，因此，研究NSD 序列的極限性質(zhì)具有一定意義。關(guān)于NSD 序列的最新成果可參見文獻(xiàn)[5-9]。

定義1[1]如果對(duì)于集合(1,2,…,n)的任何2個(gè)不相交的非空子集A 與B，都有

其中f 與g 是任何2 個(gè)使協(xié)方差存在且對(duì)每個(gè)變?cè)墙?或同為對(duì)每個(gè)變?cè)巧?的函數(shù)，則稱隨機(jī)向量X =(X1,X2,…,Xn)為負(fù)相協(xié)的(negatively associated, 簡(jiǎn) 稱NA)。 如 果 對(duì) 于 任 意 的n ≥1,(X1,X2,…,Xn) 為NA 的，則 稱 隨 機(jī) 變 量 序 列{ Xn,n ≥1}為NA 的。

定義2[3]如果對(duì)任意的x=(x1,x2,…,xn)，y=(y1,y2…,yn)∈Rn有

其中，x ∨y=(max(x1,y1),…,max(xn,yn))，x ∧y=(min(x1,y1),…,min(xn,yn))，則稱函數(shù)φ:Rn→R 為超可加的。

定義3[3]如果滿足

其中，X*1,X*2,…,X*n為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且對(duì)任意的i,X*i和Xi有相同的分布，φ 為超可加函數(shù)且期望存在，則稱隨機(jī)向量X =(X1,X2,…,Xn)為負(fù)超可加相依的（negatively superadditive dependent,簡(jiǎn)稱NSD）；如 果 對(duì) 于 任 意 的n ≥1,(X1,X2,…,Xn) 為NSD 的，則稱隨機(jī)變量序列{ Xn,n ≥1}為NSD 的。

定義4如果對(duì)任意的λ＞0，滿足

則稱定義在[ A,∞)上的實(shí)值正函數(shù)l(x)為在無窮遠(yuǎn)處的緩變函數(shù)。

定義5如果存在正常數(shù)C，使得對(duì)所有的x ≥0,-∞＜i ＜∞，有

則稱{Yi,-∞＜i ＜∞}為被隨機(jī)變量Y 控制的隨機(jī)變量序列。

完全收斂是概率極限理論研究的熱點(diǎn)之一，最早由HSU 等[10]提出，自21 世紀(jì)初以來，眾多學(xué)者對(duì)NSD 序列的收斂性進(jìn)行了研究[11-19]，但大多是關(guān)于部分和加權(quán)和的，由NSD 序列生成的移動(dòng)平均過程的矩完全收斂性的研究至今未見，為此，筆者進(jìn)行了初步研究，得到以下主要結(jié)果：

定 理1設(shè)p ≥1,α ＞1/2,{Yi,-∞＜i ＜∞}為被隨機(jī)變量Y 控制的NSD 隨機(jī)變量序列，滿足當(dāng)1/2 ＜α ≤1,EYi=0 并 且 當(dāng) p ＞1 時(shí) ，E|Y|pl(|Y|1/α)＜∞,當(dāng)p=1 時(shí)，E|Y|1+δ＜∞，對(duì)某個(gè)δ ＞0，其中l(wèi) 為在無窮遠(yuǎn)處的正值緩變函數(shù)，記{ai,-∞＜i ＜∞}為一絕對(duì)可和的實(shí)數(shù)序列，Xn=，那么對(duì)任意ε ＞0，有

定理2設(shè)1≤p ＜2,{Yi,-∞＜i ＜∞}為被隨機(jī)變量Y 控制的NSD 隨機(jī)變量序列，滿足EYi=0 和E|Y|pl(|Y|p)＜∞，其中l(wèi) 為在無窮遠(yuǎn)處的正值緩變函數(shù)，設(shè){ai,-∞＜i ＜∞}為一實(shí)數(shù)序列，滿足其 中，當(dāng) p=1 時(shí)，θ ∈(0,1)，當(dāng)p ∈(1,2)時(shí)，θ=1。記那么，對(duì)任意ε ＞0，有

由上述矩完全收斂性可立即得到：

推論1在定理1 的假設(shè)條件下,對(duì)任意ε ＞0，有

在定理2 的假設(shè)條件下, 對(duì)任意ε ＞0，有

特別地，當(dāng)EYi=0 和E|Y|p＜∞時(shí)，可推得Marcinkiewicz-Zygmund 強(qiáng)大數(shù)定律，即

注1令a0=1,ai=0,i ≠0，顯然{ai}絕對(duì)可和且Xn=Yn，因此，上述定理和推論對(duì)NSD 序列的部分和也成立。推論1 中的式(4)推廣 了 文獻(xiàn)[12]中的定理3.1，從1≤p ＜2,α ＞1/2,αp ＞1 推廣到p ≥1,α ＞1/2,αp ＞1；式（5）即為文獻(xiàn)[12]中的定理3.2。所以本文推廣了已有的結(jié)論。

注2如果{Yi,-∞＜i ＜∞}是同分布的NSD 隨機(jī)變量序列，那么，定理1、定理2 和推論1 仍成立。

注3由于NSD 序列包含獨(dú)立和NA 序列，因此，定理1、定理2和推論1 對(duì)獨(dú)立和NA 序列仍然成立。從而本文將文獻(xiàn)[20-21]中從獨(dú)立和NA 序列的結(jié)論推廣至NSD 序列。

1 定理的證明

在本節(jié)中，C 表示正常數(shù)，不同的地方可表示不同的值。首先介紹在證明過程中要用到的幾個(gè)引理。

引 理1[2]如 果(X1,X2,…,Xn) 是NSD 的，g1,g2,…,gn都 是 非 降 函 數(shù) ，那 么 (g1(X1),g2(X2),…,gn(Xn))也是NSD 的。

引理2[11]設(shè){Yi,i ≥1}為一零均值的NSD 隨機(jī)變量序列，滿足E|Yi|p＜∞,其中p ≥2。那么存在正常數(shù)Cp，使得

引理3[22]如果l 是一緩變函數(shù)，那么

(1)對(duì)任意的s ＞-1 和正整數(shù)m,有

(2)對(duì)任意的s ＜-1 和正整數(shù)m,有

引理4[23]設(shè)隨機(jī)變量序列{Yi,-∞＜i ＜∞}被隨機(jī)變量Y 控制，那么對(duì)任意的a ＞0,b ＞0，-∞＜i ＜∞，存在正常數(shù)C1，C2，使得

定理1 的證明首先證明式（1）。記

若1/2 ＜α ≤1，注意到αp ＞1，這意味著p＞1。由題設(shè)條件E|Y|pl(|Y|1/α)＜∞和緩變函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)0 ＜ε ＜p-1/α 時(shí)，有E|Y|p-ε＜∞。再 注意到EYi=0,由引理4 可推得

因此當(dāng)x ＞nα充分大時(shí)，

從而

接 下 來 證 明 I1＜∞。 注 意 到 |Y(2)xj|＜|Yj|I {|Yj|＞x }，由Markow 不等式和引理4 知，

如果p＞1,則αp-1-α ＞-1,由引理3 知,

如 果p=1，注 意 到 對(duì) 任 意 的0 ＜δ′＜δ，由E|Y|1+δ＜∞, 可 知 E|Y|1+δ′l(|Y|1/α)＜∞，由 引理3 知,

由上述討論可知，

下 證I2＜∞。由Markow 不 等 式、Ho¨lder 不 等式、引理2，對(duì)某個(gè)r ＞2 有

對(duì)于I21，如果p ＞1，取r ＞max {2,p}，由Cr 不等式、引理3 和引理4 知，

對(duì) 于I21，如 果p=1，取r ＞max {1+δ′,2}，其中0 ＜δ′＜δ。類似式（10）的證明，可知

對(duì)于I22，如果1≤p ＜2，取r ＞2，注意到αp+r/2-αpr/2-1=(αp-1)(1-r/2)＜0，由Cr 不等式、引理3 和引理4 知，

對(duì) 于 I22，如 果 p ≥2 取 r ＞(αp-1)/(α-1/2)＞2，易推得α( p-r)+r/2-2 ＜-1，類似式（12）的證明過程，可知

聯(lián)立式（7）～（13），可知式（1）成立。

接下來證明式（2），由引理3 和式（1）可知,

定理1 證畢。

定理2 的證明和定理1 式（1）的證明類似，此略。