曲柄滑塊機構(gòu)的穩(wěn)健性設(shè)計

鄭 瑞，張艷云

（1.成都大學(xué)，四川 成都610106；2.川北醫(yī)學(xué)院，四川 南充637100）

穩(wěn)健設(shè)計就是通過調(diào)整設(shè)計變量和控制其容差，使可控因素和不可控因素與設(shè)計值發(fā)生變差時仍能保證產(chǎn)品質(zhì)量的一種工程方法。穩(wěn)健性設(shè)計亦稱“田口方法”，是一種低成本、高效益的質(zhì)量工程法，此方法由日本田口玄提出，將質(zhì)量重點由制造階段前移到設(shè)計階段，強調(diào)設(shè)計對質(zhì)量的重要作用［1］。

曲柄滑塊機構(gòu)作為機械裝置的基本機構(gòu)之一，具有廣泛而重要的用途，但在其工作的整個壽命過程中受到多種不可測因素的干擾，如制造誤差、裝配誤差、使用中的磨損導(dǎo)致的誤差等，這些如果處理不當(dāng)，將會造成嚴(yán)重的機械故障，更為甚者將會造成嚴(yán)重的安全事故［2］。所以如果在設(shè)計階段充分考慮到各種不可測因素的影響，從而使機械裝置在整個使用壽命階段的性能達(dá)到最優(yōu)，對機械系統(tǒng)有很大的影響［3-4］。此次設(shè)計就是針對曲柄滑塊機構(gòu)的以上問題，運用穩(wěn)健設(shè)計方法對曲柄滑塊機構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，并用MATLAB進(jìn)行仿真，驗證了穩(wěn)健性設(shè)計比傳統(tǒng)設(shè)計具有更好的穩(wěn)健性。

1 基于傳統(tǒng)優(yōu)化方法的曲柄滑塊設(shè)計

1.1 曲柄滑塊設(shè)計目標(biāo)與要求

本文設(shè)計如圖1所示的曲柄滑塊機構(gòu)，其曲柄的轉(zhuǎn)角θ是從10°到60°，滑塊距離S應(yīng)該滿足從35 mm到25 mm的要求。曲柄桿長a，連桿桿長b，偏移距離e為目標(biāo)變量。本文中，假設(shè)桿長變量a和b由于加工制造以及裝配誤差將會導(dǎo)致其尺寸發(fā)生變化，這種變化一般服從正態(tài)分布規(guī)律，如表1所示。對于變量e，根據(jù)不同的安裝位置確定，其分布一般是要滿足一定的區(qū)間誤差，如表2所示，這里給定e的平均值為e［6］。

圖1 曲柄滑塊機構(gòu)

表1 隨機分布設(shè)計變量表

表2 區(qū)間分布設(shè)計變量表

1.2 建立目標(biāo)函數(shù)與優(yōu)化約束

由圖1可知：

其中ε（θ）為極限位置下曲柄實際所達(dá)位置與期望所達(dá)位置的偏差，基于設(shè)計要求，可以將設(shè)計問題轉(zhuǎn)換為：兩個極限位置的實際位置與要求位置偏差最小。即轉(zhuǎn)換為兩個目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化問題。由設(shè)計要求可得：

式（1.7）為優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)。

由于曲柄滑塊屬于四連桿機構(gòu)，所以必須滿足四連桿機構(gòu)的桿長條件。即：

又由于桿長范圍的限制，還需滿足以下要求：由式（1.8）～（1.12）可得出設(shè)計的約束條件為：

1.3 基于MATLAB的傳統(tǒng)優(yōu)化求解

在設(shè)計中初始值取x＝［a b e］＝［481］，帶入Matlab的優(yōu)化設(shè)計工具箱中，用fmincon函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化［7］，輸出結(jié)果如表3所示：

表3 曲柄滑塊傳統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果

2 基于穩(wěn)健設(shè)計法的曲柄滑塊設(shè)計

2.1 建立基于穩(wěn)健設(shè)計法的目標(biāo)函數(shù)與優(yōu)化約束

根據(jù)質(zhì)量損失函數(shù)的定義，可知這里的優(yōu)化問題屬于望小特性問題，對應(yīng)質(zhì)量損失模型的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可以寫成：

式中，k1和k2為兩個質(zhì)量特性的影響系數(shù)。

為了得到目標(biāo)函數(shù)的均值和方差，對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行一次二階矩展開。

在一次二階矩的計算中，對于

其中，xi服從任意分布，在中心點處展開為泰勒級數(shù)為：

取其近似值，則

根據(jù)概率論中隨機變量參數(shù)估計，Z*的統(tǒng)計參數(shù)為：

針對本問題分別對f1和f2進(jìn)行展開。記x＝［ab］＝［x1x2］。

由于本問題中除隨機變量外還有區(qū)間分布變量，所以均值的計算公式為：

將式（2.5）～（2.7）帶入兩個目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式中得：

同樣，對于目標(biāo)函數(shù)方差，由于含有區(qū)間分布誤差，所以計算方法與均值類似，對目標(biāo)函數(shù)求方差有：

對應(yīng)本問題式（2.1）中的k1和k2，可以設(shè)兩目標(biāo)函數(shù)的功能界限和質(zhì)量偏差帶來的損失是一樣的，則k1＝k2＝0.5。再將以上展開部分帶入式（2.1）即可得穩(wěn)健設(shè)計優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式。在原理約束條件的基礎(chǔ)上考慮誤差的影響，可行域會被減小，所以需要對原可行域進(jìn)行補償。即

式中，k是根據(jù)設(shè)計需要確定的約束放寬系數(shù)。所以穩(wěn)健設(shè)計的約束函數(shù)可以寫改寫為：

同樣，根據(jù)一次二階矩對約束函數(shù)g1和g2進(jìn)行展開，則：

將（2.22）～（2.25）帶入約束式（2.21）即可得到穩(wěn)健設(shè)計約束函數(shù)。

2.2 二次規(guī)劃方法求解穩(wěn)健設(shè)計模型

如果非線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)為自變量的二次函數(shù)，約束條件全是線性函數(shù)，則這種規(guī)劃稱為二次規(guī)劃。其數(shù)學(xué)模型為：

式中，H為二次項的系數(shù)矩陣。

二次規(guī)劃求解方法又稱為SQP方法，在Matlab優(yōu)化工具箱中有現(xiàn)成的二次規(guī)劃求解優(yōu)化問題的算法，這里就不再對具體算法進(jìn)行研究，直接進(jìn)行調(diào)用求解。將以質(zhì)量損失函數(shù)為目標(biāo)的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型編寫為相應(yīng)程序，求解結(jié)果見表4：

表4 穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計結(jié)果

3 基于MCS法的優(yōu)化結(jié)果對比分析

3.1 運用MCS法對傳統(tǒng)優(yōu)化結(jié)構(gòu)分析

利用Matlab設(shè)計驗算程序，在外層樣本點取20個內(nèi)層的樣本點設(shè)計5000個。帶入傳統(tǒng)設(shè)計方法，得到的結(jié)果為［a b e］＝［11.3349 25.2966 6.4985］，由于這里關(guān)注的是曲柄滑塊的兩個極限位置，所以可以需要將其作為兩個質(zhì)量屬性分別評價［8］。即對以下兩個表達(dá)式進(jìn)行評價：

當(dāng)［a b e］＝［11.3349 25.2966 6.4985］時，f1對應(yīng)于每個外層樣本點e的目標(biāo)分布如圖3所示，MCS對目標(biāo)函數(shù)一傳統(tǒng)設(shè)計評價結(jié)果見表5。f2對應(yīng)于每個外層樣本點e的目標(biāo)分布如圖4所示，MCS對目標(biāo)函數(shù)二的傳統(tǒng)設(shè)計評價結(jié)果見表6。

圖3 目標(biāo)函數(shù)一的傳統(tǒng)設(shè)計分析圖

圖4 目標(biāo)函數(shù)二傳統(tǒng)設(shè)計分析圖

表5 MCS對目標(biāo)函數(shù)一的傳統(tǒng)設(shè)計評價結(jié)果

表6 MCS對目標(biāo)函數(shù)二的傳統(tǒng)設(shè)計評價結(jié)果

3.2 運用MCS法對穩(wěn)健優(yōu)化結(jié)構(gòu)分析

利用Matlab設(shè)計驗算程序，在外層樣本點取20個內(nèi)層的樣本點設(shè)計5000個。帶入穩(wěn)健設(shè)計方法，得到的結(jié)果為［a b e］＝［13.2377 22.2078 1］，同樣，由于這里關(guān)注曲柄滑塊的兩個極限位置，所以可以需要將其作為兩個質(zhì)量屬性分別評價［9］。即對式（3.1）～（3.2）進(jìn)行評價。

當(dāng)設(shè)計結(jié)果為穩(wěn)健設(shè)計結(jié)果為［a b e］＝［13.2377 22.2078 1］時，f1對應(yīng)于每個外層樣本點e的目標(biāo)分布如圖5所示，MCS對目標(biāo)一的穩(wěn)健設(shè)計評價結(jié)果見表7。

圖5 目標(biāo)函數(shù)一的穩(wěn)健設(shè)計分析圖

圖6 目標(biāo)函數(shù)二的穩(wěn)健設(shè)計分析圖

表7 MCS對目標(biāo)函數(shù)一的穩(wěn)健設(shè)計評價結(jié)果

表8 MCS對目標(biāo)函數(shù)二的穩(wěn)健設(shè)計評價結(jié)果

f2對應(yīng)于每個外層樣本點e的目標(biāo)分布如圖6所示，MCS對目標(biāo)函數(shù)二的穩(wěn)健設(shè)計評價結(jié)果見表8。

從以上的兩組對比結(jié)構(gòu)可以看出，對評價目標(biāo)μf兩種設(shè)計都能滿足要求，差別不大，說明兩種設(shè)計方法都能滿足基本的設(shè)計要求。對評價目標(biāo)σf與δσf穩(wěn)健設(shè)計得到的結(jié)果在兩個評價目標(biāo)里均比傳統(tǒng)設(shè)計的結(jié)果要小，說明穩(wěn)健設(shè)計得到的設(shè)計結(jié)果要優(yōu)于傳統(tǒng)設(shè)計結(jié)果，更能適應(yīng)未知外界變化。即穩(wěn)健設(shè)計更能提過設(shè)計質(zhì)量［10］。

4 結(jié)論

通過利用蒙特卡洛方法，結(jié)合Matlab編寫基于概率統(tǒng)計的程序，對兩組設(shè)計結(jié)果進(jìn)行了分析，從分析結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)設(shè)計方法和穩(wěn)健設(shè)計方法在沒有外界誤差的情況下都能滿足設(shè)計要求，而在考慮外界誤差時，傳統(tǒng)設(shè)計方法對目標(biāo)的集中程度即方差沒有穩(wěn)健設(shè)計得到的結(jié)果好，說明采用穩(wěn)健設(shè)計方法對于產(chǎn)品減少制造加工誤差帶來的不利影響有較強的穩(wěn)健性。