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    氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)速度反饋與不完全微分PID控制

    2020-04-20 03:38:40孫瑞芳張曉龍梁文凱謝曉全
    電子科技 2020年4期
    關(guān)鍵詞:容腔階躍微分

    孫瑞芳,張曉龍,梁文凱,謝曉全

    (昆明理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,云南 昆明 650000)

    氣壓傳動(dòng)具有簡(jiǎn)單快速和安全可靠等特點(diǎn)[1]。氣壓位置控制系統(tǒng)一直以來(lái)都是氣動(dòng)技術(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容[2]。隨著工業(yè)自動(dòng)化的發(fā)展,氣動(dòng)技術(shù)在生產(chǎn)自動(dòng)化的各個(gè)領(lǐng)域應(yīng)用日漸廣泛,氣動(dòng)位置控制系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性的優(yōu)化也日益重要。

    PID控制的算法簡(jiǎn)單,且具有魯棒性好和可靠性高等特點(diǎn)[3],在過(guò)程控制和運(yùn)動(dòng)控制中得到廣泛應(yīng)用,在建立精確數(shù)學(xué)模型的確定性控制系統(tǒng)方面尤為適用[4]。但在生產(chǎn)實(shí)踐中,往往很多問(wèn)題使用常規(guī)的PID控制器難以達(dá)到實(shí)踐要求。

    馮子通等采用不完全微分型PID算法對(duì)電液執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制,得到調(diào)節(jié)速度快、過(guò)程平緩且精度高的效果[5]。強(qiáng)寶民等通過(guò)對(duì)PID的積分項(xiàng)和微分項(xiàng)改進(jìn),提高了電液比例位置控制系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性[6]。故本文引入速度反饋,并結(jié)合不完全微分型PID對(duì)氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間、精度及穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

    1 氣動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)

    氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)主要由比例方向閥、氣缸、位移傳感器、A/D和D/A裝置組成[7]。

    1.1 氣缸力平衡方程

    當(dāng)單作用氣缸處于工作狀態(tài)時(shí),根據(jù)牛頓第二定律,其力平衡方程[8]如下所示

    M(d2y)/(dt2)+fdy/dt=p1A1-p2A2-FL-Ff

    (1)

    式中,M為氣缸活塞和慣性負(fù)載質(zhì)量之和;y為活塞位移;f為粘性阻尼系數(shù);p1和p2為氣缸兩腔的壓力;A1和A2為氣缸兩腔作用面積;FL為氣缸外負(fù)載力;Ff為包括靜摩擦力和庫(kù)侖摩擦力的氣缸摩擦力。

    1.2 比例閥的數(shù)學(xué)模型

    通常情況下,閥控缸系統(tǒng)中,比例閥的數(shù)學(xué)模型[9]為

    (2)

    式中,U0為比例閥的輸入電壓;Kw為傳感器增益;ω0為比例閥的固有頻率;ξ0為比例閥的阻尼比。

    1.3 比例閥閥口流量方程

    由于氣體經(jīng)過(guò)閥口的過(guò)程較為復(fù)雜,在滿足假設(shè)條件的情況下,可將其過(guò)程視為理想氣體的一維等熵流動(dòng),運(yùn)用Sanvile流量公式[10]計(jì)算。

    一般情況下,當(dāng)氣缸容腔1進(jìn)氣,氣缸容腔2排氣時(shí),則氣缸容腔1中氣體流動(dòng)狀態(tài)為亞聲速,氣缸容腔2中氣體流動(dòng)狀態(tài)為聲速。考慮在零位附近的小增量Δx,比例閥的氣體質(zhì)量流量方程可線性化得

    (3)

    1.4 比例閥流量連續(xù)性方程

    基于系統(tǒng)氣體假設(shè),對(duì)于工作腔1,氣缸進(jìn)氣腔和排氣腔的質(zhì)量流量應(yīng)與氣缸容腔內(nèi)質(zhì)量變化保持一致,故其壓力-流量方程[11]如下所示

    (4)

    理想氣體狀態(tài)方程為

    (5)

    式中,V1為氣缸容腔1體積;R為氣體常數(shù);T1為氣缸容腔1的溫度。

    氣缸容腔1的實(shí)際溫度T1與初始溫度T1s之間滿足絕熱過(guò)程如下

    (6)

    式中,k=1.4,為絕熱指數(shù)。

    式(6)對(duì)時(shí)間求導(dǎo),帶入式(5)中,可得氣缸容腔1氣體動(dòng)態(tài)過(guò)程表達(dá)式

    (7)

    同理可得

    (8)

    1.5 氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)傳遞函數(shù)

    將式(3)、式(7)和式(8)改寫(xiě)為增量形式,再進(jìn)行拉氏變換,并聯(lián)立可得

    (9)

    結(jié)合式(2),可得氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)總模型方塊圖如圖1所示。

    即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

    (10)

    (11)

    該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)組成。將其中所用參數(shù)帶入上式中得

    用MATLAB繪制該開(kāi)環(huán)系統(tǒng)Bode圖如下。

    由圖可知,該系統(tǒng)幅值特性比相頻特性先交于橫軸,且幅值裕度為22.43 dB,相位裕度為89.12°,故系統(tǒng)是相對(duì)穩(wěn)定的[12],可滿足生產(chǎn)實(shí)踐要求。

    2 控制策略研究

    2.1 常規(guī)PID

    PID控制器是將偏差的比例、積分和微分通過(guò)線性組合的方式[13],來(lái)達(dá)到控制被控對(duì)象的目的。圖3為PID控制系統(tǒng)原理框圖。

    PID控制器根據(jù)給定量和實(shí)際輸出量之間構(gòu)成控制偏差

    e(t)=y0(t)-y(t)

    (12)

    PID控制規(guī)律和寫(xiě)成傳遞函數(shù)形式為

    (13)

    (14)

    式中,kp為比例系數(shù);T1為積分時(shí)間常數(shù),TD為微分時(shí)間常數(shù)。

    2.2 不完全微分PID控制算法

    比例環(huán)節(jié)是將偏差信號(hào)成比例的向控制系統(tǒng)反應(yīng)以減小誤差、加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度、提高系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度。積分環(huán)節(jié)的存在主要是為了消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差[14]。微分環(huán)節(jié)則可在早期反映偏差信號(hào)的變化趨勢(shì),提前引入有效的修正信號(hào),達(dá)到及時(shí)的改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性的效果,使系統(tǒng)的反應(yīng)速度加快,減少反應(yīng)時(shí)間。

    如上圖所示,其傳遞函數(shù)為

    (15)

    將上式離散化,并取uD(n)寫(xiě)成微分方程,取采樣時(shí)間為T(mén)s,并將其離散化,整理可得

    (16)

    uD(n)=KD(1-β)(e(n)-e(n-1))+βuD(n-1)

    (17)

    由上式可見(jiàn),不完全微分PID控制算法中uD(n)增加了一項(xiàng)βuD(n-1),但微分系數(shù)由kd下降至(1-β)kd,削弱了微分強(qiáng)度,延長(zhǎng)了微分作用時(shí)間,抗高頻干擾,實(shí)現(xiàn)微分超前調(diào)節(jié)。

    2.3 加入速度反饋的不完全微分型PID

    軟反饋即反饋校正信號(hào)不直接比例于系統(tǒng)的輸出信號(hào),而是將輸出信號(hào)經(jīng)過(guò)相應(yīng)處理加工之后得到的,在反饋校正中應(yīng)用廣泛。速度反饋控制就是將輸出量的速度信號(hào)采用負(fù)反饋形式反饋到輸入端,并與誤差信號(hào)進(jìn)行比較所構(gòu)成的回路。

    速度反饋具有良好的平穩(wěn)性與快速性,如果在比例伺服系統(tǒng)中,將速度反饋引入到電液比例閥控缸位置系統(tǒng)中,即在控制系統(tǒng)中引入活塞桿位移的微分[15],可使系統(tǒng)相位超前,在提高液壓缸的響應(yīng)速度的同時(shí),增大阻尼增大,減小振蕩及超調(diào),從而提高系統(tǒng)的平穩(wěn)性。

    3 仿真分析

    瞬態(tài)響應(yīng)能夠直觀反應(yīng)氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的優(yōu)劣,是判斷其性能的重要評(píng)價(jià)指標(biāo)。故基于氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)傳遞函數(shù)利用MATLAB對(duì)階躍信號(hào)進(jìn)行仿真,可得到無(wú)校正的系統(tǒng)階躍響應(yīng)(圖5)以及普通PID、不完全微分型PID和引入速度反饋的不完全微分型PID校正的對(duì)于階躍信號(hào)響應(yīng)的對(duì)比圖(圖6)。

    如圖5中,在階躍信號(hào)作用下,前期有小幅震蕩,系統(tǒng)2.5 s,才趨于穩(wěn)定,響應(yīng)時(shí)間過(guò)長(zhǎng),系統(tǒng)反應(yīng)滯后,穩(wěn)態(tài)誤差過(guò)大。該情況下系統(tǒng)的控制精度達(dá)不到要求,且系統(tǒng)響應(yīng)不夠平穩(wěn),需要引入適當(dāng)?shù)男U椒▽?duì)系統(tǒng)進(jìn)行改善,以優(yōu)化其動(dòng)態(tài)特性。

    如圖7中,在階躍信號(hào)作用下,通過(guò)引入速度反饋的不完全微分型PID的響應(yīng)曲線比普通PID和不完全微分型PID校正的響應(yīng)時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差皆依次遞減,響應(yīng)過(guò)程更加平穩(wěn)。不同校正方法的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差如表1所示。

    表1不同校正方法的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差Table 1.System response time and steady-state error of different correction methods

    引入速度反饋的不完全微分型PID校正的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線,相對(duì)于無(wú)校正的響應(yīng)曲線,響應(yīng)時(shí)間降低2.1 s,穩(wěn)態(tài)誤差下降0.22 mm,響應(yīng)速度提升、系統(tǒng)精度提高且系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)特性得到很大的改善。

    再分別用普通PID、不完全微分型PID和引入速度反饋的不完全微分型PID對(duì)正弦信號(hào)進(jìn)行追蹤,對(duì)比圖如圖8所示。

    由圖8~圖10可看出,普通PID對(duì)正弦曲線的追蹤誤差較大;不完全微分型PID的追蹤效果雖明顯加強(qiáng),但不如引入速度反饋與不完全微分型PID的追蹤曲線與目標(biāo)軌跡更加貼合。故引入速度反饋與不完全微分型PID的控制精度更高也更加穩(wěn)定。

    4 結(jié)束語(yǔ)

    本文建立了氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)判斷其穩(wěn)定性,并對(duì)比無(wú)校正、普通PID、不完全微分型PID和引入速度反饋的不完全微分型PID校正的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線和正弦追蹤效果。仿真實(shí)驗(yàn)表明,引入速度反饋的不完全微分型PID校正方法在改善系統(tǒng)響應(yīng)速度、系統(tǒng)精度以及動(dòng)靜態(tài)特性方面有顯著提升。該校正方法為氣動(dòng)比例位置控制系統(tǒng)提供了新思路,也為日后更深層次的優(yōu)化研究,挖掘控制效果更好、更適合該系統(tǒng)的控制策略提供了參考。

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