5-DOF混聯(lián)雕刻機(jī)速度運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及仿真

張道義，傘紅軍，陳久朋，李鵬飛，熊彬州

(昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，云南 昆明 650500)

并聯(lián)機(jī)器人由于其高剛度、輸入誤差不積累、承載能力強(qiáng)等特點(diǎn)，已成為機(jī)器人領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一[1-5]。而少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低廉等優(yōu)點(diǎn)具有廣闊的應(yīng)用前景[6]。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，簡(jiǎn)單的并聯(lián)機(jī)構(gòu)難以滿(mǎn)足工業(yè)生產(chǎn)的需要，而串并聯(lián)機(jī)構(gòu)則因兼具并聯(lián)機(jī)構(gòu)和串聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)而有著更廣泛的應(yīng)用前景。一般來(lái)說(shuō)，串并聯(lián)機(jī)構(gòu)是由三自由度以下的并聯(lián)機(jī)構(gòu)與三自由度以下的串聯(lián)機(jī)構(gòu)連接而成[7]。90年代以來(lái)，國(guó)內(nèi)外對(duì)串并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了廣泛的研究。國(guó)內(nèi)哈爾濱工業(yè)大學(xué)和燕山大學(xué)開(kāi)展了串并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究工作：黃田等人在Tricept robot基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的空間非對(duì)稱(chēng)TriVariant機(jī)構(gòu)[8-10]。傅江勛研究了具有3條腿的六自由度并聯(lián)機(jī)器人，并計(jì)算出了機(jī)器人的正運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)。結(jié)果表明，該方法提高了機(jī)器人的精度，驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的有效性[11]。康件麗利用MATLAB軟件分析了3-PRS并聯(lián)機(jī)器人的速度和加速度[12]。武雅杰等對(duì)機(jī)器人的路徑進(jìn)行了規(guī)劃[13]。雷俊松用多項(xiàng)式研究了混合機(jī)器人的軌跡規(guī)劃，給出了3個(gè)滑塊的位移、速度和加速度曲線(xiàn)[14]。朱呈祥等人基于MATLAB和ADAMS對(duì)超速機(jī)柔性軸系進(jìn)行了仿真分析，得出了瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)情況下的運(yùn)行情況[15]。

采用矢量法和導(dǎo)數(shù)法對(duì)五自由度混聯(lián)雕刻機(jī)的速度進(jìn)行了分析，對(duì)五自由度雕刻機(jī)的實(shí)際編程作業(yè)提供了便利。

1 機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

五自由度混聯(lián)雕刻機(jī)由并聯(lián)部分和串聯(lián)部分組成，其中并聯(lián)部分主要由步進(jìn)電機(jī)、定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)、3個(gè)空間呈現(xiàn)120°夾角的平行四邊形機(jī)構(gòu)和3個(gè)互成120°豎直分布的滾珠絲杠構(gòu)成。步進(jìn)電機(jī)控制滾珠絲杠的螺桿運(yùn)動(dòng)，其通過(guò)螺母滑塊將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)變成豎直方向的移動(dòng)，每條支鏈的復(fù)合運(yùn)動(dòng)即為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)上串聯(lián)一個(gè)二自由度的機(jī)構(gòu)，一個(gè)繞串聯(lián)部分坐標(biāo)系z(mì)軸旋轉(zhuǎn)，一個(gè)繞y軸旋轉(zhuǎn)。雕刻機(jī)的三維模型如圖1所示。

2 機(jī)構(gòu)位置分析

位置分析是機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的核心內(nèi)容之一，是機(jī)構(gòu)速度分析、加速度分析、工作空間分析及力學(xué)分析等的基礎(chǔ)。由于平行四邊形機(jī)構(gòu)的4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)始終同另兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)垂直正交，所以平行四邊形機(jī)構(gòu)可取對(duì)邊中點(diǎn)的連線(xiàn)進(jìn)行簡(jiǎn)化以便于對(duì)機(jī)器人進(jìn)行分析。圖2為混聯(lián)雕刻機(jī)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖，其虛線(xiàn)部分為簡(jiǎn)化的平行四邊形機(jī)構(gòu)。

在圖2中，Ai(i=1,2,3)為3立柱與靜平臺(tái)的交點(diǎn)，Bi(i=1,2,3)為平行四邊形機(jī)構(gòu)虛擬連桿與移動(dòng)副滑塊相接的轉(zhuǎn)動(dòng)副的形心，Ci(i=1,2,3)為虛擬連桿與動(dòng)平臺(tái)相接的轉(zhuǎn)動(dòng)副的形心，A1A2A3構(gòu)成了圓心為O且外接圓半徑為R的等邊三角形。同理C1C2C3構(gòu)成了圓心為G且外接圓半徑為r的等邊三角形。在動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)的圓心分別建立動(dòng)坐標(biāo)G-xGyGzG和靜坐標(biāo)系O-xOyOzO，在雕刻機(jī)末端刀具參考點(diǎn)P建立坐標(biāo)系P-xPyPzP。其中zG和zO分別垂直于動(dòng)、靜平臺(tái)，并且方向沿平面向上；xG和xO分別指向點(diǎn)A1和C1；xP正向與機(jī)器人末端刀具軸向方向相同。

3 拓?fù)鋵W(xué)分析機(jī)構(gòu)自由度

機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)學(xué)為運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)提供了新的統(tǒng)一建模方法，來(lái)構(gòu)建現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)的新理論體系[16]。圖3是機(jī)構(gòu)的支鏈簡(jiǎn)圖。

圖3中的4R機(jī)構(gòu)(即4個(gè)Ra轉(zhuǎn)動(dòng)副組成的平行四邊形機(jī)構(gòu))可以用一個(gè)移動(dòng)副來(lái)代替，從而對(duì)支鏈進(jìn)行簡(jiǎn)化。圖4所示為雕刻機(jī)并聯(lián)部分的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)。

在并聯(lián)部分，3條支路的拓?fù)錂C(jī)構(gòu)為

SOC{-Ri1-Pi2-Ri3⊥Pi4},i=1,2,3

其中，Ri1‖Ri3。

選定動(dòng)平臺(tái)上任意一點(diǎn)為基點(diǎn)O。確定支路末端構(gòu)件的方位特征集

同理可得到另外兩條支鏈的方位特征集

確定第一回路的獨(dú)立位移方程數(shù)：因?yàn)镽11不平行R21，故以第一、二條支鏈作為第一個(gè)獨(dú)立回路，第一個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL1為

故第一、二條支路所組成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為

其中，m為運(yùn)動(dòng)副數(shù)；fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度。考慮到R11不平行R21且F(1-2)=3，可知第一、二條串聯(lián)支鏈組成的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的方位特征集為

確定第二回路獨(dú)立位移方程數(shù)：第二個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL2為

確定機(jī)構(gòu)的自由度：并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為

在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)上串聯(lián)了兩個(gè)軸線(xiàn)不平行的轉(zhuǎn)動(dòng)副，故為機(jī)構(gòu)增添了兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，因此混聯(lián)雕刻機(jī)的自由度為

F=Fa+2=5

(1)

即此混聯(lián)雕刻機(jī)具有三維移動(dòng)和繞兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)二維轉(zhuǎn)動(dòng)。

4 矢量法分析雕刻機(jī)速度正運(yùn)動(dòng)學(xué)

4.1 雕刻機(jī)并聯(lián)部分速度分析

圖5為機(jī)構(gòu)的速度映射關(guān)系簡(jiǎn)圖，V為機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)G的速度；ω為動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；Ri為鉸點(diǎn)Ji(動(dòng)平臺(tái)3個(gè)鉸點(diǎn)，(i=1,2,3))到參考點(diǎn)G的矢徑；Vji為鉸點(diǎn)Ji的速度；ni為平行四邊形機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)Li的單位方向矢量；vi為3個(gè)滑塊上下運(yùn)動(dòng)的速率。

由上文運(yùn)用機(jī)構(gòu)拓?fù)淅碚撚?jì)算雕刻機(jī)的自由度分析可知，該雕刻機(jī)并聯(lián)部分的動(dòng)平臺(tái)在笛卡爾坐標(biāo)系中只具有沿著x、y和z3個(gè)方向的平移運(yùn)動(dòng)，動(dòng)平臺(tái)的變化僅僅是針對(duì)定平臺(tái)的位置變化，不存在姿態(tài)的變化，故動(dòng)平臺(tái)不存在角速度和角加速度。

根據(jù)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)桿的驅(qū)動(dòng)速度與動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)速度之間的映射關(guān)系，則有

VJi=V，i=1,2,3

(2)

vi=VJi·ni·cosαi，i=1,2,3

(3)

其中，αi為立柱與平行四邊形之間的桿的夾角。將式(2)代入式(3)得到

(4)

把式(4)展開(kāi)，對(duì)于全部3個(gè)滑塊，有

(5)

式(5)可寫(xiě)成矩陣形式

(6)

(7)

式(7)可以改寫(xiě)成為

(8)

4.2 雕刻機(jī)的末端速度分析

根據(jù)此混聯(lián)雕刻機(jī)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，其速度分析應(yīng)分兩步來(lái)完成：

(1)已知3個(gè)滑塊的輸入速度(v1,v2,v3)求解雕刻機(jī)動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)(動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)G)的輸出速度V(Vx,Vy,Vz)。

圖6為混聯(lián)雕刻機(jī)的速度分析簡(jiǎn)圖。

根據(jù)圖示的速度傳遞關(guān)系和速度合成定理，有如下關(guān)系式成立

Vn=V

(9)

(10)

(11)

(12)

將式(11)代入式(12)得到

(13)

將式(10)代入式(13)可以得到

(14)

(15)

式(12)可以表示為矩陣形式

(16)

將式(15)～式(16)合并成如下的矩陣相乘形式

(17)

若令矩陣

(18)

4.3 雕刻機(jī)加速度分析

混聯(lián)雕刻機(jī)的加速度分析，分為并聯(lián)部分的加速度分析和雕刻機(jī)加速度分析兩部分。

(1)并聯(lián)部分的加速度分析。 將式(3)兩端分別求導(dǎo)可得

(19)

式中，αi為第i個(gè)滑塊輸入的加速度；AJi為鉸點(diǎn)Ji的加速度。式(19)可寫(xiě)成矩陣形式

(20)

根據(jù)加速度合成定理可知

AJi=A

寫(xiě)成矩陣形式得

[AJi]=[A]

(21)

式中，A為動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)，也就是動(dòng)平臺(tái)原點(diǎn)的加速度。式(2)可以寫(xiě)成如下矩陣形式

[VJi]=[V]

(22)

式(3)可以寫(xiě)成如下矩陣形式

(23)

將式(22)代入式(23)可得

(24)

將式(21)、式(22)及式(24)代入式(20)整理得

(25)

式中，[Ui]為加速度傳遞矩陣分量

(26)

(27)

(28)

(2)雕刻機(jī)加速度分析。令εm=[εmxεmyεmz]T表示刀具輸出的角加速度，Am=[AmxAmyAmz]T表示刀頭點(diǎn)m的輸出加速度，εn=[εnxεnyεnz]T表示動(dòng)平臺(tái)上n點(diǎn)的角加速度，An=[AnxAnyAnz]T表示動(dòng)平臺(tái)上n點(diǎn)的加速度。通過(guò)加速度合成定理可以得出

(29)

(30)

(31)

(32)

5 求導(dǎo)法分析雕刻機(jī)速度逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

前文介紹了當(dāng)滑塊速度和加速度均為已知時(shí),采用矢量法求解雕刻機(jī)速度和加速度的過(guò)程。下面將根據(jù)已知的雕刻機(jī)的速度和加速度，并采用求導(dǎo)法結(jié)合MATLAB來(lái)求解3個(gè)滑塊的速度。求解滑塊速度時(shí)分兩步完成：(1)已知刀頭點(diǎn)速度和加速度求動(dòng)平臺(tái)的速度和加速度；(2)已知?jiǎng)悠脚_(tái)速度和加速度求解3個(gè)滑塊速度和加速度，以下為具體計(jì)算過(guò)程。

設(shè)末端刀頭點(diǎn)位置坐標(biāo)m=[pxpypz]T，該刀頭點(diǎn)的姿態(tài)主要由垂直于動(dòng)平臺(tái)的電機(jī)轉(zhuǎn)角θ9和擺角θ10決定。設(shè)G=[uvw]點(diǎn)為動(dòng)平臺(tái)的位移。則動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的位移矢量可以表示為

(33)

由前面拓?fù)淅碚撍悴⒙?lián)部分的自由度可知，并聯(lián)部分只有沿x、y、z3個(gè)方向的自由度，也就是動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于定平臺(tái)只有位置的變化沒(méi)有姿態(tài)的變化。故動(dòng)平臺(tái)到定平臺(tái)的齊次變換矩陣為

(34)

滑塊R1、R2、R3的高度為

(35)

式中，mi為滑塊的高度；Li為連桿長(zhǎng)度；xBi為Bi的x軸坐標(biāo)，yBi為Bi的y坐標(biāo)。由上述的式(33)可以看出滑塊的高度是動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)位移的函數(shù)，而u、v、w又是時(shí)間t的函數(shù)，因此上式可表示為

mi(t)=Fi(u(t),v(t),w(t))

(36)

上式兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得

(37)

則3個(gè)滑塊速度與末端速度的關(guān)系為

(38)

式中，矩陣J為

(39)

上式兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得加速度之間的關(guān)系為

(40)

由上述分析可知：已知?jiǎng)悠脚_(tái)中心點(diǎn)的位置矢量，可以通過(guò)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)來(lái)獲得3個(gè)滑塊的速度和加速度。而動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的位置矢量取決于末端刀頭點(diǎn)的位置參數(shù)(刀頭點(diǎn)的位置矢量m=(pxpypz)T和兩個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)角θ9和θ10)。

6 速度和加速度分析

6.1 速度算法驗(yàn)證

雕刻機(jī)的速度和角速度曲線(xiàn)如圖7和圖8所示。

為了驗(yàn)證雕刻機(jī)速度算法的正確性，首先在A(yíng)DAMS中選擇模型的每個(gè)驅(qū)動(dòng)副并修改驅(qū)動(dòng)函數(shù)。在函數(shù)列中，將速度和角速度的驅(qū)動(dòng)函數(shù)分別添加到3個(gè)棱柱副和兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副中，設(shè)定仿真時(shí)間為20 s，仿真步長(zhǎng)為500。通過(guò)仿真可以得到端點(diǎn)M的輸出速度曲線(xiàn)(圖9)和角速度曲線(xiàn)(圖10)。

通過(guò)對(duì)比分析可知：圖7、圖8中端點(diǎn)的速度和角速度曲線(xiàn)與圖9、圖10中端點(diǎn)的速度和角速度曲線(xiàn)完全相同，證明了雕刻機(jī)速度算法的正確性。

6.2 加速度算法驗(yàn)證

根據(jù)前面推導(dǎo)的加速度算法，圖11和圖12為通過(guò)MATLAB計(jì)算出的雕刻機(jī)末端加速度曲線(xiàn)和角加速度曲線(xiàn)。

為了驗(yàn)證雕刻機(jī)速度算法的正確性，在A(yíng)DAMS環(huán)境下修改每個(gè)驅(qū)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)函數(shù)。在函數(shù)列中，將加速度和角加速度的驅(qū)動(dòng)函數(shù)分別加到3個(gè)棱形副和兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副中。設(shè)定仿真時(shí)間為20 s，仿真步長(zhǎng)為500。通過(guò)仿真可以得到端點(diǎn)M的輸出加速度曲線(xiàn)(圖13)和角加速度曲線(xiàn)(圖14)。

通過(guò)分析得知圖11、圖12中端點(diǎn)的加速度和角加速度曲線(xiàn)與圖13、圖14中端點(diǎn)的加速度和角加速度曲線(xiàn)完全相同，從而驗(yàn)證了雕刻機(jī)加速度算法的正確性。

7 結(jié)束語(yǔ)

本文在三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上串聯(lián)二自由度的串聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)成了五自由度的混聯(lián)雕刻機(jī)，該雕刻機(jī)能夠?qū)崿F(xiàn)復(fù)雜曲面的加工，對(duì)工業(yè)生產(chǎn)能夠起到一定的積極作用。文章首先運(yùn)用機(jī)構(gòu)拓?fù)淅碚撉蠼獾窨虣C(jī)的自由度。運(yùn)用矢量法對(duì)刀頭末端的速度和加速度進(jìn)行了正向運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，然后采用求導(dǎo)法對(duì)滑塊的速度和加速度進(jìn)行了逆向分析，最終通過(guò)MATLAB驗(yàn)證計(jì)算及算法的正確性，為后續(xù)對(duì)混聯(lián)雕刻機(jī)的控制提供了便利。