利用信息技術(shù)與數(shù)學(xué)建模教學(xué)融合，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)

黃雪珍

摘 要：在基礎(chǔ)課程與信息技術(shù)的大背景下，學(xué)術(shù)界普遍認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模教學(xué)有助于推動數(shù)學(xué)教育改革。關(guān)于這一點(diǎn)比較突出的是，當(dāng)前大學(xué)生的數(shù)學(xué)建?？萍蓟顒訉逃缭斐傻挠绊懺絹碓酱螅瑥亩谝欢ǔ潭壬贤苿恿舜髮W(xué)數(shù)學(xué)教育改革。當(dāng)前也有越來越多的專家學(xué)者及一線教師發(fā)聲呼吁，利用信息技術(shù)融合到數(shù)學(xué)模型教學(xué)深入中小學(xué)課堂，以提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，“還數(shù)學(xué)本來面目”，使“數(shù)學(xué)模型成為學(xué)生提高學(xué)習(xí)成績和方便日常生活的雙重法寶”。

關(guān)鍵詞：信息技術(shù);數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)模型

一、融合信息技術(shù)把握教學(xué)關(guān)鍵創(chuàng)設(shè)趣味建模情境

創(chuàng)設(shè)趣味動畫建模情境與學(xué)生日常相關(guān)，讓學(xué)生在具體趣味情境中把握數(shù)學(xué)建模的實(shí)質(zhì)?？梢哉f，創(chuàng)設(shè)的情境合理與否在很大程度上影響著模型建立的成敗。首先，創(chuàng)設(shè)的情境要與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)密切相關(guān)，這是由學(xué)生認(rèn)知思維的形象性決定的，只有接近學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)及生活環(huán)境的情境，才能使學(xué)習(xí)氛圍“接地氣”，同時，生活化的情境也有利于學(xué)生更好地從問題出發(fā)建立模型，從而切實(shí)掌握模型的構(gòu)建。

在建模教學(xué)中，教師要始終記得：數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活，數(shù)學(xué)知識的最初來源就是實(shí)際生活，從最簡單的自然數(shù)到復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系，都可以在生活中找到它們的原型。其次，具體情境的創(chuàng)設(shè)要有利于學(xué)生建模中及時發(fā)現(xiàn)與解決問題，有利于發(fā)展學(xué)生思維起點(diǎn)。從認(rèn)知心理學(xué)的觀點(diǎn)看，一個完整而合理的問題包含三個要素，即已知條件、目標(biāo)和所謂“算子”。教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)的情境必須要能引出包含上述三個要素的問題，只有滿足這個條件，創(chuàng)設(shè)的建模情境才能夠激發(fā)學(xué)生對知識的求知欲心理和向往探究意識。同時，創(chuàng)設(shè)建模情境要便于學(xué)生提出假設(shè)，從創(chuàng)設(shè)到構(gòu)建再到提出假設(shè)，這是建立模型最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)之一。

例如“建模替換策略”的教學(xué)，針對本節(jié)課的特點(diǎn)，著名教師李海峰所采取的引導(dǎo)學(xué)生建立圖式模型的方式是比較有代表性的。通過建立該模型使復(fù)雜問題簡單化，隱性條件外顯化，這樣不僅有利于突破難點(diǎn)，更有助于培養(yǎng)學(xué)生的建模意識和建模能力。下面，我們就來詳細(xì)地展示和分析該節(jié)課的教學(xué)過程。首先創(chuàng)設(shè)趣味建模情境：“已知6個小杯和1個大杯的容量加起來一共是630毫升;一個大杯的容量是小杯容量的3倍，則大杯和小杯的容量各是多少？”培養(yǎng)學(xué)生畫圖能力，通過建立圖式模型來解決問題，過程如下。

【求小杯容量的過程，利用信息技術(shù)融合】

“6個小杯和1個大杯加起來一共是630毫升”

可用下圖表示：

由于一個大杯的容量是小杯容量的3倍，將上圖中的大杯換成小杯，可得下圖：

根據(jù)上圖就很容易算出一個小杯的容量是

【求大杯容量的過程】

“6個小杯和1個大杯加起來一共是630毫升”

可用下圖表示：

由于一個大杯的容量是小杯容量的3倍，將上圖中的小杯換成大杯，可得下圖：

根據(jù)上圖就很容易算出一個大杯的容量是

630÷（6÷3+1）=630÷3=210（毫升）

算出結(jié)果后進(jìn)行檢驗(yàn)：大杯容量210毫升是小杯容量70毫升的3倍，說明結(jié)果正確。

上述教學(xué)過程中，教師只要畫出示意圖，學(xué)生便可通過觀察直觀的圖式形象意識到：解決這個問題只需把兩種杯子換成一種杯子即可，也就是根據(jù)已知條件來“替換”。這種把數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化成直觀幾何圖形的過程，也就是建立圖式模型的過程。這樣的提問步步遞進(jìn)，無疑有利于學(xué)生逐步抓住倍數(shù)關(guān)系等量替換的本質(zhì)。經(jīng)過思考和討論后，再引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目中條件和問題之間的本質(zhì)關(guān)系，在前面的圖式模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行簡化，得到倍數(shù)關(guān)系等量替換的圖式模型。

【求小杯容量時】

“6個小杯和1個大杯加起來一共是630毫升”

可用下圖表示：

由于一個大杯的容量是小杯容量的3倍，將上圖中的大杯換成小杯，可得下圖：

6×○+3×○=630（毫升）

根據(jù)上圖就很容易算出一個小杯的容量是

630÷（3+6）=630÷9=70（毫升）

【求大杯容量時】

“6個小杯和1個大杯加起來一共是630毫升”

可用下圖表示：

由于一個大杯的容量是小杯容量的3倍，將上圖中的小杯換成大杯，可得下圖：

根據(jù)上圖就很容易算出一個大杯的容量是

630÷（6÷3+1）=630÷3=210（毫升）

上述簡化模型的過程也就是將最初的抽象幾何圖形轉(zhuǎn)為“半抽象、半具體”的數(shù)學(xué)表達(dá)式的過程，而這時數(shù)學(xué)表達(dá)式就是體現(xiàn)“半抽象半具體”特征的、展現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合特點(diǎn)的圖示模型。學(xué)生在這樣的過程中體驗(yàn)了建立圖式模型的過程，這不僅有助于提高學(xué)生的建模意識和能力，也能在一定程度上激發(fā)學(xué)生探究其他數(shù)學(xué)模型的興趣。

接下來是相差關(guān)系等量替換的教學(xué)，教師將原題中的條件換了一下，題目變?yōu)椤?個小杯和1個大杯加起來一共是680毫升”。

可用下圖表示：

由于一個大杯的容量比小杯多140毫升，將上圖中的大杯換成小杯，可得下圖：

8×○+1×○=680-140×1（毫升）

根據(jù)上圖就很容易算出一個小杯的容量是

（680-140×1）÷（8+1）=60（毫升）

【求大杯容量時】

“8個小杯和1個大杯加起來一共是680毫升”

可用下圖表示：

由于一個大杯的容量比小杯多140毫升，將上圖中的小杯換成大杯，可得下圖：

根據(jù)上圖就很容易算出一個大杯的容量是

（680+140×8）÷（8+1）=200（毫升）

算出結(jié)果后進(jìn)行檢驗(yàn)：大杯容量200毫升比小杯容量60毫升多140毫升，說明結(jié)果正確。學(xué)生由于在前面已學(xué)習(xí)了“倍數(shù)關(guān)系”等量替換模型，具備了基礎(chǔ)，因此在建立這種相差關(guān)系等量替換模型時就顯得駕輕就熟。而學(xué)生在經(jīng)歷和體驗(yàn)建立兩種圖式模型的過程后，也就從本質(zhì)上理解和抓住了倍數(shù)關(guān)系等量替換和相差關(guān)系等量替換，同時，其建模意識和建模能力也得到了鍛煉。

二、融合信息技術(shù)把握模型思想的課程內(nèi)容

小學(xué)數(shù)學(xué)中對蘊(yùn)含模型思想的課程內(nèi)容進(jìn)行了簡單梳理，對于一個具體的數(shù)學(xué)實(shí)際問題而言，要想切實(shí)把握其本質(zhì)，理清其數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而建立其數(shù)學(xué)模型順利解決問題，除了必須具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本技能，還需要熟練掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)思想和方法，即使小學(xué)數(shù)學(xué)比較簡單，這一點(diǎn)也依然表現(xiàn)得十分突出。而尤為關(guān)鍵的是，學(xué)生還需要分清狹義層面上的常見數(shù)學(xué)模型的類型和形式，只有做到這一點(diǎn)才能在解題中游刃有余。教師應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維思考和分析該類問題，而學(xué)生要想順利解決這些問題，前提即為找對相應(yīng)模型。就小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及的乘除數(shù)量關(guān)系而言，以下五種數(shù)量模型是最為常見的，因而必須認(rèn)真學(xué)習(xí)并熟練掌握。

第一種：行程問題（路程=速度×?xí)r間）

第二種：價格問題（總價=單價×數(shù)量）

第三種：利息問題

第四種：折扣問題

第五種：工程問題

上述這五種模型，都是十分典型的通過將生活實(shí)際問題抽象化而建立的數(shù)學(xué)模型。其中涉及的概念都是日常生活中經(jīng)常用到的，也是數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最常涉及的。因此教師必須善于創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)默F(xiàn)實(shí)情境，深入而細(xì)致地講解這五種常見模型，在講解某一種時還要注意和其他幾種相聯(lián)系，并強(qiáng)調(diào)其共性，凸顯其本質(zhì)，以便于學(xué)生能夠深入了解該類模型的內(nèi)在結(jié)構(gòu)進(jìn)而深入把握其本質(zhì)，融合信息技術(shù)把復(fù)雜抽象的變?yōu)楹唵蚊髁?，只有如此，學(xué)生在解題過程中才不至于被題目的表面言辭所迷惑和誤導(dǎo)。

在解決問題時，先審題，根據(jù)題意把握數(shù)學(xué)建模關(guān)鍵，通過建立起相應(yīng)的線段圖模型，往往可以使分析和解題過程大大簡化。因?yàn)樵谀Ｐ椭辛颗c量的關(guān)系以及某些量的變化過程都很直觀、清晰，令人一目了然。相應(yīng)地，在教學(xué)實(shí)踐中，教師也要注重培養(yǎng)學(xué)生分析題意和把握題意的能力，在講解這種類型的題目時示范好畫圖建立模型的過程。

三、融合信息技術(shù)把握學(xué)生特點(diǎn)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)教學(xué)針對性

數(shù)學(xué)建模作為一種數(shù)學(xué)思想，其形成需要經(jīng)過一個循序漸進(jìn)的長期過程，這一點(diǎn)在小學(xué)階段表現(xiàn)得尤為突出。學(xué)生只有經(jīng)歷大量的從相對簡單到相對復(fù)雜，從相對具體數(shù)學(xué)建模到相對抽象的數(shù)學(xué)活動，培養(yǎng)學(xué)生圖式模型，通過最常用畫線段圖獲得數(shù)學(xué)理解與感悟，才能掌握建模方法并熟練應(yīng)用模型，最終形成成熟而穩(wěn)固的建模思想。這一點(diǎn)也啟示我們，鑒于學(xué)生在不同年齡段的思維認(rèn)知特征，不同年級學(xué)段的基本目標(biāo)指向也不一樣。

大體而言，在小學(xué)低年級學(xué)段應(yīng)更側(cè)重學(xué)生對建模過程的體驗(yàn)和基本認(rèn)知，并注意培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的興趣和積極性，在高年級學(xué)段，則應(yīng)相對地側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生提出問題、做出假設(shè)的意識和能力，以及應(yīng)用模型形成思想感悟的過程。自然，在實(shí)際教學(xué)中還應(yīng)根據(jù)具體的課程內(nèi)容特點(diǎn)來調(diào)整教學(xué)目標(biāo)的指向，融合信息技術(shù)使之既符合當(dāng)前實(shí)際情況，又兼顧學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展。

而小學(xué)生一方面數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及綜合素養(yǎng)相對薄弱，另一方面受生活視野及知識范圍所限，不可能具備專業(yè)知識和相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，即使要建立的模型十分簡單，也必然對此無能為力，因此“交叉模型”是不適于小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的。小學(xué)建模教學(xué)中問題情境的設(shè)置，應(yīng)當(dāng)基于小學(xué)階段學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知水平，避免問題情境中繁雜而陌生的信息“擾人耳目”，令學(xué)生無所適從。圖式模型、線段圖也是比較常用的圖式模型。例如下題：

黃老師和李老師共有西瓜若干，李老師的西瓜數(shù)是黃老師的5倍。如果李老師給黃老師48個西瓜，兩人的西瓜就一樣多了。問：黃老師和李老師兩人一共有多少個西瓜？

解析：將黃老師原有的西瓜數(shù)視為一份，那么李老師原有的西瓜樹為5份，根據(jù)題意可知，當(dāng)兩人西瓜一樣多時，李老師給了黃老師2份，兩人都成了3份，由此可以畫出線段圖模型如下：

線段圖模型呈現(xiàn)的信息簡潔明了，使學(xué)生一目了然：李老師和黃老師兩人一共有6份，2份是48個，則兩人擁有的西瓜總數(shù)是48÷2×6=144（個）。

基于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，就是從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)設(shè)置情境，使學(xué)生容易理解并且感到親切和“接地氣”，從而獲得一個良好的思維基點(diǎn)，便于思維活動的展開?；趯W(xué)生的認(rèn)知水平，就是要使問題情境既不過于復(fù)雜，也不過于簡單，而應(yīng)接近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，使學(xué)生在經(jīng)過積極探索后能夠很好地解決問題?；谝陨系姆治?，教師在設(shè)置問題情境時，要善于將教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的生活實(shí)際有機(jī)結(jié)合起來。在選擇問題情境時，要充分考慮學(xué)生是否對該情境有所了解和感興趣，又要考慮問題的挑戰(zhàn)性，從而使建模教學(xué)達(dá)到最佳效果。

簡而言之，小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)是一項(xiàng)復(fù)雜而又精細(xì)的系統(tǒng)性工作，在建模過程中融合信息技術(shù)，提高實(shí)踐能力。作為直接與學(xué)生接觸的一線教師，其建模教學(xué)的技能和水平對于教育目標(biāo)的達(dá)成及學(xué)生的發(fā)展起著舉足輕重的作用。因此，一名有理想、有熱情、有責(zé)任感的小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)切實(shí)扮演好自身角色，做到把握數(shù)學(xué)建模教學(xué)關(guān)鍵，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，樹立終身學(xué)習(xí)理念，不斷提升數(shù)學(xué)建模教學(xué)的專業(yè)素養(yǎng)和工作水平，從而更好地肩負(fù)起教書育人的神圣使命。

參考文獻(xiàn)：

[1]王子興.數(shù)學(xué)方法論——問題解決的理論[M].長沙：中南大學(xué)出版社，2012.

[2]崔允槨等主編.基于標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)生學(xué)業(yè)成就評價[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2012.

[3]徐利治.徐利治談數(shù)學(xué)方法論[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2013.

[4]張奠宙等.小學(xué)數(shù)學(xué)研究[M].北京：高等教育出版社，2012.

[5]張厚粲，徐建平.現(xiàn)代心理與教育統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2014.

[6]朱成杰.數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)研究導(dǎo)論[M].上海：文匯出版社，2012.