大擺角單擺“周期”變化的解析解及其實(shí)驗(yàn)應(yīng)用

柴聰聰，鳳飛龍，王公正，衛(wèi)芬芬

(陜西師范大學(xué) a.物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710119; b.基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心，陜西 西安 710062)

對(duì)于單擺的大擺角非線性振動(dòng)，已有許多文獻(xiàn)進(jìn)行了研究，但是許多模型忽略了空氣阻尼的作用，并不能解釋單擺周期測(cè)量中擺動(dòng)“周期”隨擺次的變化[1-3]；文獻(xiàn) [4-6]研究了空氣阻尼作用下的非線性運(yùn)動(dòng)方程，但只考慮了擺角對(duì)于準(zhǔn)周期的影響，未對(duì)擺動(dòng)“周期”隨擺動(dòng)次數(shù)的變化做進(jìn)一步的研究；文獻(xiàn)[7]采用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的辦法對(duì)這種“周期”-擺次關(guān)系給出了經(jīng)驗(yàn)公式，但只適用于特定擺長(zhǎng). 由于大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中大擺角單擺實(shí)驗(yàn)[8]擺長(zhǎng)不定，理論上忽略空氣阻尼造成實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差，而測(cè)量時(shí)采用累計(jì)測(cè)量求平均周期的方法不僅僅會(huì)減小隨機(jī)誤差而且會(huì)影響系統(tǒng)誤差，因此有必要對(duì)“周期”-擺次關(guān)系進(jìn)行進(jìn)一步的研究以期改進(jìn)實(shí)驗(yàn)教學(xué).

本文首先在弱阻尼大擺角單擺運(yùn)動(dòng)方程的基礎(chǔ)上推導(dǎo)累計(jì)“周期”隨擺動(dòng)次數(shù)變化的關(guān)系式，分析“周期”的變化規(guī)律. 然后利用已有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證公式的準(zhǔn)確性以及利用它進(jìn)行實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差修正的設(shè)想.

1 弱阻尼大擺角單擺運(yùn)動(dòng)方程與“周期”解

對(duì)于擺長(zhǎng)為l、擺角為θ的單擺，在空氣阻尼系數(shù)為c的條件下，根據(jù)角動(dòng)量守恒得

(1)

(2)

將sinθ泰勒展開(kāi)，忽略高次項(xiàng)，取

(3)

得

(4)

根據(jù)文獻(xiàn)[5]可得該方程的解為

(5)

2βT′(n)+γe-2βT′(n)=p.

(6)

解之可得

(7)

式中W即朗伯W函數(shù)又稱(chēng)為“歐米加函數(shù)”或“乘積對(duì)數(shù)函數(shù)”，在Matlab和Mathematica軟件中均有對(duì)應(yīng)函數(shù)可以直接求解.

隨著βt增大，但增大不多時(shí)，e-2β t取二階近似e-2β t≈1-2βt+2β2t2，沿用以上計(jì)算過(guò)程可得θ=θ0e-β tcos {[1-γ(1-βt)]ωrt+φ0}. 解[1-γ(1-βT2′)]ωrT2′=2nπ并取正實(shí)根可得

(8)

2 “周期”解的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與應(yīng)用

基于文獻(xiàn)[7]中已知的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，首先對(duì)以上公式進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證. 取擺長(zhǎng)l=75 cm,g=9.794 07 m/s,β=0.005[5]，不同擺角下第1個(gè)周期的實(shí)測(cè)與理論結(jié)果對(duì)比如表1所示.

表1 不同初始擺角下單擺第1個(gè)周期的測(cè)量值

表1中無(wú)阻尼振動(dòng)的周期由

(9)

計(jì)算. 由表1可見(jiàn)，考慮阻尼由式(7)計(jì)算所得結(jié)果比無(wú)阻尼情況下按式(12)計(jì)算所得結(jié)果偏差小了將近1個(gè)數(shù)量級(jí)(偏差平方和分別為0.001 2%,0.000 1%). 由此一方面可以驗(yàn)證式(8)結(jié)果的準(zhǔn)確性；另一方面也說(shuō)明即使只測(cè)量1個(gè)周期，大擺角下無(wú)阻尼公式也存在較大系統(tǒng)誤差.

此外，根據(jù)文獻(xiàn)[7]，如果采用累計(jì)測(cè)量求平均的方法測(cè)量周期，則結(jié)果如圖1所示，顯然隨著累計(jì)次數(shù)增加，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差更加明顯.

圖1 累計(jì)不同擺次時(shí)的平均周期

參照式(7)和式(12)引入系統(tǒng)誤差計(jì)算公式

ΔT=T-T′(n)/n,

(10)

并利用式(13)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行修正，如圖1所示，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以更好地吻合理論設(shè)定而基本上不受累計(jì)次數(shù)的影響. 然而，由于文獻(xiàn)[7]中“累計(jì)”周期實(shí)際上是將每個(gè)周期測(cè)量結(jié)果累加后求平均得到的，所以隨著累計(jì)次數(shù)的增加，圖1中隨機(jī)誤差并無(wú)明顯變化，沒(méi)有體現(xiàn)累計(jì)測(cè)量提高修正數(shù)據(jù)精度的作用. 但如果實(shí)驗(yàn)中直接對(duì)多個(gè)周期累計(jì)計(jì)時(shí)求平均，則周期測(cè)量的隨機(jī)誤差會(huì)進(jìn)一步減小. 這種結(jié)合系統(tǒng)誤差修正和累計(jì)周期測(cè)量的方法可以減小實(shí)驗(yàn)誤差，尤其是在用秒表計(jì)時(shí)，隨機(jī)測(cè)量誤差較大的實(shí)驗(yàn)中.

3 結(jié) 論