以學(xué)定教，教學(xué)相長(zhǎng)——初中數(shù)學(xué)“勾股定理”教學(xué)設(shè)計(jì)探討

江蘇省常熟市常清中學(xué) 姜 煒

課堂是呈現(xiàn)知識(shí)的重要平臺(tái)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程。除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程。因此，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)掌控好設(shè)疑與探究之間的辯證關(guān)系，進(jìn)而確立教學(xué)與學(xué)習(xí)之間的共通性，通過(guò)以學(xué)定教，圍繞重點(diǎn)知識(shí)構(gòu)建一個(gè)系統(tǒng)的探究框架，促進(jìn)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力。為此，本文從不同層面探討了初中數(shù)學(xué)“勾股定理”一課的教學(xué)設(shè)計(jì)。通過(guò)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)把握四個(gè)核心：其一是深挖學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；其二是加大數(shù)學(xué)活動(dòng)在課堂上的應(yīng)用頻率；其三是提高數(shù)學(xué)概念的呈現(xiàn)力度；其四是加強(qiáng)課堂與生活之間的聯(lián)系。本文對(duì)此進(jìn)行了探究。

一、深挖初中生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在數(shù)學(xué)基本活動(dòng)中逐漸積累的一種數(shù)學(xué)思維和技能，“經(jīng)驗(yàn)”雖然是過(guò)去式，但它針對(duì)的卻是當(dāng)下及未來(lái)，是解決實(shí)際問(wèn)題的內(nèi)動(dòng)力，因此，通過(guò)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，對(duì)促進(jìn)學(xué)生的未來(lái)發(fā)展具有重要意義。數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)包括兩類(lèi)目標(biāo)，其一是過(guò)程性目標(biāo)，其二是結(jié)果性目標(biāo)。其中，過(guò)程性目標(biāo)針對(duì)的是數(shù)學(xué)基本活動(dòng)的開(kāi)展，包括引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷圖形的抽象、分類(lèi)、性質(zhì)探討、運(yùn)動(dòng)、位置確定等過(guò)程；參與綜合實(shí)踐活動(dòng)，積累綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法等解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等等。而在“勾股定理”一課教學(xué)中，調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，需要教師立足他們已具備的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)“拋磚引玉”。

例如，在“勾股定理”一課的開(kāi)篇階段，筆者安排學(xué)生合作探究：（1）畫(huà)一個(gè)三角形，有兩邊的長(zhǎng)為1cm，2cm；（2）畫(huà)一個(gè)三角形，兩條邊長(zhǎng)分別為1cm，2cm，這兩邊的夾角為90°；（3）畫(huà)一個(gè)直角三角形，直角邊長(zhǎng)1cm，斜邊長(zhǎng)2cm。課堂探究問(wèn)題一：已知三角形兩邊長(zhǎng)，能畫(huà)出多少個(gè)三角形？問(wèn)題二：已知三角形兩邊長(zhǎng)，第三邊長(zhǎng)度有何范圍？問(wèn)題三：添加怎樣的條件，能使第三邊的長(zhǎng)度確定？為什么？發(fā)現(xiàn)：已知直角三角形任意兩邊，第三邊確定。猜一猜：直角三角形三邊之間具有怎樣的等量關(guān)系？量一下所畫(huà)的直角三角形三邊，猜測(cè)結(jié)論。

如此，從學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知出發(fā)，學(xué)生已經(jīng)掌握了“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”。事實(shí)上，當(dāng)三角形兩邊及其夾角確定時(shí)，第三邊長(zhǎng)也就確定，三邊之間滿足某種等量關(guān)系（余弦定理）。初中階段從最簡(jiǎn)單的直角三角形開(kāi)始研究。根據(jù)之前學(xué)習(xí)的全等三角形相關(guān)知識(shí)學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，直角三角形只需知道兩邊長(zhǎng)，三角形全等（SAS,HL），第三邊就確定，從而引發(fā)思考：直角三角形三邊之間有何等量關(guān)系？將前后知識(shí)進(jìn)行串聯(lián)，從而引發(fā)學(xué)生思考新的問(wèn)題，構(gòu)建知識(shí)脈絡(luò)。通過(guò)在課堂開(kāi)始階段的設(shè)問(wèn)，帶動(dòng)了學(xué)生進(jìn)行深度思考，調(diào)動(dòng)了他們的已有經(jīng)驗(yàn)，為下一環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。

二、加大數(shù)學(xué)活動(dòng)在課堂上的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)教材中，“勾股定理”充分體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的思想，帶動(dòng)學(xué)生從“數(shù)”的角度來(lái)窺探“形”的內(nèi)質(zhì)，從“形”角度感知“數(shù)”的作用。為此，教師可加大數(shù)學(xué)活動(dòng)在課堂上的應(yīng)用力度，通過(guò)“教、學(xué)相長(zhǎng)”提高初中生對(duì)勾股定理的客觀認(rèn)識(shí)。

例如，教師可設(shè)計(jì)3 與勾股定理相類(lèi)的課堂活動(dòng)：

活動(dòng)一：以Rt △ABC三邊為邊長(zhǎng)，分別向外作正方形，若將小方格的面積看作1，則以AB為一邊的正方形的面積是9，以BC為一邊的正方形的面積是16，你能計(jì)算出以AC為一邊的正方形的面積嗎？三個(gè)正方形面積之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

活動(dòng)二：學(xué)生在網(wǎng)格紙中任意畫(huà)Rt △ABC,以三邊為邊長(zhǎng)分別向外作正方形，三個(gè)正方形面積之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？學(xué)生合作探究：a2＋b2=c2。

活動(dòng)三：教師幾何畫(huà)板演示，當(dāng)直角三角形邊長(zhǎng)發(fā)生變化時(shí)，以兩直角邊向外作的兩個(gè)正方形面積和始終等于以斜邊為邊長(zhǎng)作的正方形面積。

如此，通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)在課堂上的應(yīng)用，使學(xué)生親身體驗(yàn)了勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，借此掌握了它的主要功能，即判定直角三角形，從而加強(qiáng)了對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)。

三、提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知力度

在課堂上，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念或定義的認(rèn)知應(yīng)是全方位的。在理論層面，教師需以最大限度讓學(xué)生掌握概念的原理、適用范圍及其應(yīng)用方法；在實(shí)踐層面，教師需要以實(shí)踐來(lái)反映理論，用理論去闡釋實(shí)踐，進(jìn)而通過(guò)兩者結(jié)合，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知力度，加強(qiáng)他們的知識(shí)應(yīng)用能力和問(wèn)題解決能力。

例如，在學(xué)生已基本掌握了勾股定理的性質(zhì)及其功能之后，筆者再次從不同視角引導(dǎo)學(xué)生來(lái)認(rèn)識(shí)勾股定理。

首先引入習(xí)題：

（1）求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)。

（2）求下列圖中x、y、z的值。

學(xué)生獨(dú)立完成并交流后，教師啟發(fā)學(xué)生課后思考：如果以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)向外作正三角形，結(jié)論是否成立？作半圓呢？從而達(dá)到對(duì)知識(shí)的再鞏固。

四、讓學(xué)生感知勾股定理的生活應(yīng)用

在知識(shí)講解的基礎(chǔ)上，教師還需引導(dǎo)學(xué)生將視野由課堂轉(zhuǎn)向課外，通過(guò)引入生活實(shí)例，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)課堂所學(xué)的理解，培養(yǎng)他們的知識(shí)應(yīng)用能力，從而學(xué)有所用，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例如，在綜合概括勾股定理的概念之后，筆者用課件引入生活實(shí)例：工人師傅想把一塊長(zhǎng)3 米、寬2.2 米的長(zhǎng)方形木板放進(jìn)電梯運(yùn)到樓上，然而通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，電梯門(mén)的寬度僅有1 米，高度為2 米。如果你在現(xiàn)場(chǎng)，你能否用勾股定理解決這一問(wèn)題？

學(xué)生通過(guò)合作探究分析問(wèn)題：顯然，豎著從正面是無(wú)法將木板放入電梯的，只有斜著放進(jìn)去。設(shè)電梯門(mén)的四個(gè)角為ABCD，連接AC或BD，則得到了兩個(gè)直角三角形。已知電梯門(mén)的寬度是1 米，高度是2 米，運(yùn)用勾股定理，則12＋22=5（米），大于木板的長(zhǎng)和寬，因此可以斜著將木板放進(jìn)電梯。

如此，通過(guò)實(shí)例的應(yīng)用，提高了學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力，也提升了本課的教學(xué)質(zhì)量。

總之，數(shù)學(xué)是一門(mén)極具抽象性的學(xué)科，與此同時(shí)，它也是一門(mén)工具性學(xué)科，廣泛應(yīng)用于生活的各個(gè)領(lǐng)域。因此，作為初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)以最大限度引導(dǎo)學(xué)生透析數(shù)學(xué)的抽象性，通過(guò)以學(xué)定教，讓他們了解數(shù)學(xué)的工具性，帶動(dòng)學(xué)生從解決實(shí)際問(wèn)題的角度出發(fā)來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入一個(gè)廣闊的數(shù)學(xué)天地。