基于數(shù)學(xué)建模的高中三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)研究

胡高嵩

[摘? 要] 數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)高中學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的重要手段. 文章嘗試借助數(shù)學(xué)建模對高中“三角函數(shù)的簡單應(yīng)用”內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，探討基于數(shù)學(xué)建模的高中三角函數(shù)內(nèi)容的設(shè)計(jì)策略. 認(rèn)為教師應(yīng)在現(xiàn)實(shí)問題的基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生通過“發(fā)現(xiàn)—探究”學(xué)習(xí)形式，分析問題中隱含的信息，建立數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用數(shù)學(xué)相關(guān)的語言、符號、圖表來解決實(shí)際問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，發(fā)展和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 三角函數(shù);數(shù)學(xué)建模;應(yīng)用意識

數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用性，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識已經(jīng)成為當(dāng)前高中數(shù)學(xué)基本教學(xué)理念之一，而以簡化實(shí)際問題、最終歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題并求解的數(shù)學(xué)建模能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用和創(chuàng)新意識[1]，尤其是在發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的大背景下，探究高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)具有重要的意義.

基于數(shù)學(xué)建模的高中數(shù)學(xué)教學(xué)各環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

為了體現(xiàn)學(xué)生的問題意識、主動(dòng)構(gòu)建以及自我監(jiān)控，高中數(shù)學(xué)建模主要從以下五個(gè)方面進(jìn)行設(shè)計(jì).

1. 教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)的設(shè)置主要是規(guī)范教師的教學(xué)行為，教師應(yīng)組織學(xué)生在分析現(xiàn)實(shí)問題的基礎(chǔ)上，抽象出數(shù)學(xué)問題，掌握函數(shù)模型的本質(zhì)，并讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程，培養(yǎng)主動(dòng)交流、探究思維的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣[2]. 從三維教學(xué)目標(biāo)方面分析，知識與技能方面：能夠?qū)⑸顚?shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模方式進(jìn)行求解，并熟練掌握基本的函數(shù)模型和一般解題步驟;過程與方法方面：體會(huì)現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)知識之間的緊密聯(lián)系，感知應(yīng)用數(shù)學(xué)建模解決問題的一般方法，在探究問題的過程中，及時(shí)進(jìn)行調(diào)整和評價(jià)，有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、應(yīng)用意識以及反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣;情感態(tài)度與價(jià)值觀方面：讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)的實(shí)用性，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的欲望和興趣，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力.

2. 教學(xué)重難點(diǎn)

作為教學(xué)的核心內(nèi)容，教師應(yīng)分配好該環(huán)節(jié)的時(shí)間，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行講解和引導(dǎo)，在設(shè)計(jì)教學(xué)重點(diǎn)時(shí)要體現(xiàn)出數(shù)學(xué)建模的過程以及現(xiàn)實(shí)問題背景后的一些思想方法，即怎么建立函數(shù)模型求解實(shí)際問題，如何求解函數(shù)模型，函數(shù)模型的本質(zhì)是什么等等. 在設(shè)計(jì)教學(xué)難點(diǎn)時(shí)要通過問題情境展示出知識產(chǎn)生的過程，即如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，如何將現(xiàn)實(shí)問題抽象出數(shù)學(xué)問題等等.

3. 教學(xué)過程

數(shù)學(xué)建模更加注重學(xué)生的思維過程，首先，在問題引入時(shí)要挑選出典型的問題來展開建?；顒?dòng)，要選擇具有隱蔽性的內(nèi)容讓學(xué)生自己去探討和發(fā)掘.其次，要體現(xiàn)學(xué)生的主動(dòng)性，鼓勵(lì)學(xué)生通過查詢、探究、討論以及交流經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模等方式培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)構(gòu)建意識.再次，在學(xué)生遇到困惑時(shí)，大力采用“探究—討論”為主的教學(xué)方式進(jìn)行教學(xué)，組織學(xué)生分析出隱函的條件和所求內(nèi)容，觀察實(shí)際問題，對問題或模型進(jìn)行求解和概括，并接受學(xué)生的質(zhì)疑，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表自己的看法. 最后，要盡可能考慮突發(fā)事件，做好模型的多樣性和解的可能性.

4. 教學(xué)評價(jià)

教學(xué)評價(jià)貫穿于教學(xué)的全過程之中，由于數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)具有自主性和靈活性，不容易控制，因此，教師應(yīng)注重學(xué)生的參與過程，關(guān)注學(xué)生對基本知識的掌握和數(shù)學(xué)建模技能的培養(yǎng). 例如，是否能夠獨(dú)立思考并與同伴交流合作;是否自主分析解決困難;是否利用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表述;是否自己提出問題等等. 同時(shí)，由于學(xué)生個(gè)體的差異，不能運(yùn)用同一標(biāo)準(zhǔn)來評價(jià)所有學(xué)生的建?；顒?dòng)，而應(yīng)從方法、態(tài)度、結(jié)果等多個(gè)角度進(jìn)行評價(jià).

5. 課后作業(yè)

數(shù)學(xué)建模的課后作業(yè)既要有利于反映學(xué)生對本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)的情況，有效鞏固數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，又要有利于教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài). 在具體課后作業(yè)設(shè)計(jì)中應(yīng)以教材為主，作業(yè)應(yīng)涵蓋數(shù)學(xué)建模以及函數(shù)應(yīng)用問題等相關(guān)內(nèi)容，注重能力的訓(xùn)練和學(xué)生思考能力的培養(yǎng)，對于一些學(xué)有余力的學(xué)生設(shè)置選做題，給予探究方向、探究資料等方面的提示.

高中三角函數(shù)數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計(jì)

三角函數(shù)涵蓋的公式比較多，也是高中非常重要的內(nèi)容，因此，筆者以學(xué)生不夠熟悉、理解有一定難度、實(shí)踐應(yīng)用比較薄弱的三角函數(shù)簡單應(yīng)用為例，深入探究高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計(jì).

1. 創(chuàng)設(shè)情境

為了吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生探究的興趣，筆者利用PPT向?qū)W生展示出日常生活中的海潮場景，引導(dǎo)學(xué)生在欣賞美麗圖片的基礎(chǔ)上思考什么是潮起潮落，潮起潮落對人們生活有那些具體影響等. 在此基礎(chǔ)上，呈現(xiàn)出以下實(shí)際問題：

表1所示的是某一地區(qū)某一天時(shí)間與水深之間的關(guān)系表，已知某一貨船在漲潮時(shí)駛進(jìn)港口，卸貨后在落潮時(shí)返回.

（1）試根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，找到時(shí)刻與水深之間的關(guān)系.

（2）若規(guī)定船底與水面的距離只有大于1.5米時(shí)，貨船才能進(jìn)出港口，已知船底與水面的距離為4米，試問該船在什么時(shí)候必須離開？

2. 自主探究

3. 總結(jié)提升

為了驗(yàn)證模型是否符合實(shí)際，組織學(xué)生對結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，代入實(shí)際問題進(jìn)行解釋.組織學(xué)生回顧解題過程，總結(jié)出構(gòu)建三角函數(shù)模型的具體步驟，即首先將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，尋找出問題中的重要條件;其次，根據(jù)所給數(shù)據(jù)描繪出散點(diǎn)圖，根據(jù)圖形所表現(xiàn)出的趨勢假設(shè)出具體的函數(shù)模型;再次，利用假設(shè)的函數(shù)模型知識進(jìn)行求解;最后，將獲得的解代入實(shí)際問題進(jìn)行檢驗(yàn)，對于一些不符合實(shí)際問題的解及時(shí)剔除.

4. 鞏固訓(xùn)練

為了切實(shí)加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模思想，教師及時(shí)出示以下兩個(gè)例題，要求學(xué)生結(jié)合所呈現(xiàn)的圖像，以小組的形式自主探究，在此過程中，對于有問題的學(xué)生進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo).

（1）如圖1所示，已知某一轉(zhuǎn)盤的最低點(diǎn)距離地面2米，旋轉(zhuǎn)一周需要12分鐘，轉(zhuǎn)盤直徑為16米，試求轉(zhuǎn)盤上的一個(gè)端點(diǎn)P離地面距離與旋轉(zhuǎn)時(shí)間的關(guān)系式.

（2）如圖2所示，一根木棒想要通過這個(gè)直角走廊，其木棒長L符合函數(shù)L（θ）=+.

①當(dāng)0°<θ<90°時(shí)，試描繪出上述函數(shù)的圖像.

②根據(jù)第一小題所描繪的圖像，試求木棒長L的最小值，并根據(jù)題意進(jìn)行解釋.

5. 課堂小結(jié)

為加深學(xué)生學(xué)習(xí)印象，讓學(xué)生自己總結(jié)三角函數(shù)的特征和構(gòu)建三角函數(shù)模型的步驟，可通過以下問題來實(shí)施：一是如何構(gòu)建合適的函數(shù)模型，具體步驟是什么;二是三角函數(shù)模型具有哪些特征;三是你還有哪些問題或困惑.同時(shí)，根據(jù)教材內(nèi)容設(shè)置必做和選做的課后作業(yè)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作、思考的能力.

結(jié)語

綜上所示，以生為本的數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，教師應(yīng)在現(xiàn)實(shí)問題的基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生通過“發(fā)現(xiàn)—探究”的學(xué)習(xí)形式，分析問題中隱含的信息，建立數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用數(shù)學(xué)相關(guān)的語言、符號、圖表來解決實(shí)際問題，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，只有這樣，才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，才能不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[3].

參考文獻(xiàn)：

[1]? 苗雪峰. 高中數(shù)學(xué)建模的幾點(diǎn)思考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（18）.

[2]? 鄭大鵬.數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)策略研究[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（12）.

[3]? 胡書軍，于國清，姚遙. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)建模能力的挖掘與培養(yǎng)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（09）.