基于理解，問題引領(lǐng)，學(xué)會學(xué)習(xí)
——以“反函數(shù)的概念（第一課時）”為例

◎ 徐慶惠 胡曉麗

視頻課與以往的常規(guī)教學(xué)課有著較大的區(qū)別，對教師和學(xué)生都是一種新的挑戰(zhàn)，其中最大的挑戰(zhàn)是教師授課時間的縮短和沒有學(xué)生的課堂。因此，在教學(xué)設(shè)計時需要關(guān)注的是，如何合理設(shè)計整節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)來實現(xiàn)教學(xué)目標，如何通過問題鏈的設(shè)置來引導(dǎo)學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)。另外，教學(xué)內(nèi)容既要通俗易懂又能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)。為了提升教學(xué)效率，在每節(jié)課的教學(xué)設(shè)計時還需要關(guān)注整體性和局部性，連貫性和延續(xù)性。既要考慮該節(jié)課所在單元的整體結(jié)構(gòu)，其核心的理念在該節(jié)課中如何體現(xiàn)，又要考慮如何將該單元中的核心知識、核心素養(yǎng)與其他單元保持連貫和延伸。

本文以“反函數(shù)的概念”的第一課時為例，是對視頻課的教學(xué)模式的初步嘗試與探索。

一、教學(xué)設(shè)計

（一）教學(xué)設(shè)計說明

函數(shù)和反函數(shù)從不同的角度反映了一組對應(yīng)關(guān)系的兩種相反的對應(yīng)法則，雖然函數(shù)與其反函數(shù)一般情況下是不同的，但它們在對應(yīng)關(guān)系上卻是統(tǒng)一的，體現(xiàn)了辯證統(tǒng)一的關(guān)系。本節(jié)課通過創(chuàng)設(shè)情境引入課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，愉快地參與。在形成概念及理解辨析環(huán)節(jié)中設(shè)置問題鏈，促進學(xué)生思考和探索。在例題講解，鞏固新知環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生有邏輯的規(guī)范表達。在課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，給學(xué)生一定的時間完成，然后給出答案，便于學(xué)生及時檢測學(xué)習(xí)效果。課后作業(yè)分基礎(chǔ)練習(xí)和能力拓展，基礎(chǔ)練習(xí)面向全體學(xué)生，能力拓展供學(xué)生根據(jù)自己的實際情況選做。

（二）教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課是滬教版《數(shù)學(xué)》（高一年級第二學(xué)期）中第四章第五節(jié)“反函數(shù)的概念”的第一課時。反函數(shù)的概念與函數(shù)的概念有著緊密的聯(lián)系，通過創(chuàng)設(shè)游戲情境引入反函數(shù)的概念，進而理解反函數(shù)的概念以及學(xué)會求給定函數(shù)的反函數(shù)。反函數(shù)的學(xué)習(xí)既可以加深對函數(shù)概念的進一步理解，又為后續(xù)對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)的學(xué)習(xí)做好準備，起到承上啟下的作用，同時有助于發(fā)展逆向分析問題、解決問題的能力。

（三）教學(xué)目標

（1）通過創(chuàng)設(shè)游戲情境引入反函數(shù)的概念，理解反函數(shù)的概念，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的抽象與概括過程，提升把握事物本質(zhì)的能力。

（2）會判斷一個函數(shù)是否存在反函數(shù)，掌握求反函數(shù)的基本步驟，理解函數(shù)與其反函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（四）教學(xué)重點及學(xué)習(xí)難點

（1）教學(xué)重點：反函數(shù)的概念與反函數(shù)的求法，函數(shù)與其反函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（2）學(xué)習(xí)難點：理解反函數(shù)的概念，反函數(shù)定義域的確定。

（五）教學(xué)過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

請你任意想出一個實數(shù)，依次把它乘以2，加上100，除以5，減10，最后除以2。把結(jié)果告訴我，我就能知道你所想的這個數(shù)。

2. 理解概念，進行辨析

（1）反函數(shù)的概念。

（2）函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系。

【問題1】已知函數(shù)y=f（x），它的定義域是D，值域是A，記它的反函數(shù)為y=f-1（x），那么函數(shù)y=f-1（x）的反函數(shù)是什么？

【問題2】函數(shù)y=x2+1（x∈R）是否存在反函數(shù)？

【問題3】如果函數(shù)y=f（x），x∈D 存在反函數(shù)，那么該函數(shù)應(yīng)具備什么樣的特征？

【問題4】函數(shù)y=f（x）的定義域、值域與它的反函數(shù)y=f-1（x）的定義域、值域有什么聯(lián)系？

3. 講解例題，鞏固新知

例1 判斷下列函數(shù)是否存在反函數(shù)。

例2 求下列函數(shù)的反函數(shù)（即例1 中的4個函數(shù)）。

第（4）題變式：求函數(shù)y=x2+2x（x≤ –2）的反函數(shù)。

小結(jié)：求函數(shù)反函數(shù)的步驟。

例3 設(shè)a∈R，若函數(shù)f（x）=x2–2ax+5，x∈[1，2]存在反函數(shù)，求a 的取值范圍。

本節(jié)課學(xué)習(xí)了反函數(shù)的概念，需要注意的是，不是每一個函數(shù)都存在反函數(shù)，對于函數(shù)y=f（x），x∈D，其存在反函數(shù)的條件為x 與y 一一對應(yīng)。求函數(shù)的反函數(shù)有三個基本步驟：第一步“求”，第二步“解”，第三步“換”。反函數(shù)的定義域不是由反函數(shù)的解析式確定的，而是由已知函數(shù)的值域確定的。

二、學(xué)習(xí)建議

在線視頻課對師生而言，都是一種全新的教與學(xué)的模式。在這種新模式下建議學(xué)生做到課前自主閱讀，課內(nèi)同步思考，課后歸納整理。新模式意味著學(xué)習(xí)方式的改變，但在改變中逐步學(xué)會自主學(xué)習(xí)，未嘗不是提高學(xué)習(xí)效率的良好契機。

課前自主閱讀就是預(yù)習(xí)，對于新課的預(yù)習(xí)，以閱讀教材為主，尤其是本節(jié)課概念、公式或定理的閱讀。比如本節(jié)課是反函數(shù)的概念，在反函數(shù)的概念閱讀中，可以結(jié)合函數(shù)的概念，關(guān)注“任意”“唯一確定”等關(guān)鍵詞以及反函數(shù)的記號等。例題的閱讀，要關(guān)注解題步驟的邏輯性、表達的規(guī)范性等。在閱讀的過程中還可以記錄下存在的疑問，思考教材邊注中提出的問題。

聽課時，要關(guān)注教師對概念的講解以及課前閱讀中產(chǎn)生的疑問，對于教師提出的問題，要積極思考，并適當(dāng)做些補充內(nèi)容，如例題的筆記、思考題等。課后要及時整理筆記、完成作業(yè)，復(fù)習(xí)鞏固，為下一課時的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。有興趣的學(xué)生還可以查閱與這節(jié)課有關(guān)的數(shù)學(xué)史等資料，增加知識面的同時，還可以加深對概念的理解。

【專家點評】

本節(jié)課設(shè)定的教學(xué)目標科學(xué)、合理，既體現(xiàn)教材要求，又符合學(xué)生實際。考慮到在較短的教學(xué)時間內(nèi)要達成教學(xué)目標，在反函數(shù)概念的引入環(huán)節(jié)，設(shè)計了簡單而熟悉的小游戲，從中抽象概括出反函數(shù)的概念，體現(xiàn)了對應(yīng)思想。針對視頻課的“保底”性質(zhì)，在幫助學(xué)生進一步理解概念的過程中，巧設(shè)問題鏈，由淺入深，結(jié)合例題的分析與適當(dāng)變式，從是否存在反函數(shù)到如何求反函數(shù)，逐步揭示了反函數(shù)概念的本質(zhì)，并歸納總結(jié)求反函數(shù)的方法。課后分層作業(yè)的設(shè)計，還考慮到滿足不同學(xué)生的需求。

在課堂教學(xué)中，教師的表述準確、生動、流暢、親切，板書規(guī)范，在層層遞進的教學(xué)中，突出重點內(nèi)容，講練結(jié)合，學(xué)生既可以獨立思考，也可以在課后繼續(xù)探索。學(xué)生不僅在數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)上得到發(fā)展，而且在自我管理和自主學(xué)習(xí)方面也得到提升。

（點評專家：徐慶惠 上海市黃浦區(qū)教育學(xué)院）