建立概念表象讓思維“看得見”
——《小數(shù)的意義》教學(xué)設(shè)計與思考（二）

方 芳

一、數(shù)形相通，實現(xiàn)思維的點狀提升

1.脫離“量”的形式，直面“數(shù)”的本質(zhì)。

師：今天我們研究什么？（小數(shù)的意義）

師：我們不妨從最簡單的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)開始，數(shù)數(shù)會嗎？

師：剛剛在數(shù)數(shù)過程中用到的4、3、1 都表示物體的個數(shù)，它們都是什么數(shù)？

師：（出示第四幅圖）你覺得用什么數(shù)表示比較好？把合適的數(shù)寫在紙上。

【設(shè)計意圖：基于學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，直接進入小數(shù)的研究性學(xué)習(xí)。去除現(xiàn)實情境，從數(shù)正方形開始，從整數(shù)自然過渡到小數(shù)，用一個涂了部分顏色卻沒有給出怎樣平均分的正方形讓學(xué)生去猜，既培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感，又凸顯了小數(shù)和分數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)：是基于把單位“1”平均分的、把自然數(shù)的計數(shù)單位往“微”的方向拓展的計數(shù)單位。小數(shù)并不是分數(shù)改寫而產(chǎn)生的，而是不斷細分的結(jié)果，是自然數(shù)的十進位值制從高位往低位擴展的結(jié)果。而且課堂出現(xiàn)0.75 這樣的兩位小數(shù)，也為后面教學(xué)兩位小數(shù)埋下伏筆?！?/p>

2.運用直觀模型圖，建立清晰小數(shù)概念。

師：如果要驗證你們說得對不對，你們希望我把整個圖形平均分成多少份，涂色部分是幾份？（依次驗證）

師：我們的目光聚焦空白的部分得出了這樣一個式子，現(xiàn)在把所有的涂色全部拿掉，自由想象，你還能寫出哪些式子？

師：認真觀察，思考三個問題：這里的分數(shù)有怎樣的特點？小數(shù)呢？左右之間有怎樣的聯(lián)系？獨立思考后同桌互相說一說。

師：不知不覺中，一位小數(shù)的意義就已經(jīng)浮現(xiàn)出來了，自豪地大聲讀一遍：一位小數(shù)表示十分之幾。

【設(shè)計意圖：這里恰當?shù)剡\用了正方形直觀圖，當正方形的個數(shù)是整數(shù)時，學(xué)生能一目了然知道結(jié)果。如果不是呢？“涂色部分可以用什么數(shù)來表示？”接著變出只給正方形和涂色部分，你猜？充分給予學(xué)生自主想象的空間，想象不是隨便亂猜，而是要想得有理有據(jù)。讓學(xué)生在結(jié)合直觀模型圖充分說理、交流的過程中抽絲剝繭、層層深入理解一位小數(shù)的意義。感受把正方形直觀圖平均分成十份，其中的一份就是0.1，一位小數(shù)的表象出現(xiàn)在學(xué)生的眼前，印在學(xué)生的腦海中。】

3.豐富“形”的表象，延展小數(shù)意義理解的深度。

師：前面三道題目，我們都看到了平均分成十份，第四題中你看到平均分成10 份了嗎？但你頭腦里有10 份嗎？

師：我們經(jīng)過想象把它平均分成10 份，想象之后我們就知道涂色部分是0.5。

二、借助表象，達成思維的線上貫通

師：剛剛研究的題目都是讓你看圖寫小數(shù)，反過來你能根據(jù)數(shù)來畫圖嗎？畫圖表示下圖各小數(shù)，想一想，畫了幾個多少？（4 個0.1 或者）師：這個或者0.1 就是一位小數(shù)的（計數(shù)單位）。

師：這個0.46 該怎么畫呢？請畫在“作業(yè)紙”上。

師：我們分別請些代表上來講講，聽聽他們是怎么想的。

預(yù)設(shè)：

生1

生2

生3

師：他先畫的是多少？接下來他畫那個6 的時候是怎么畫的？

追問生1：大半個格子，能不能講得再具體一點？（一個格子的）

追問生2：你畫的這個6，具體是怎么想的請給大家再描述一下。他的意思就是把這個小條子平均分成多少份？

追問生3：你把整個正方形平均分成了多少份？平均分成了100 份，0.46 就涂了46 份。我們再回到前兩個作品，你看到100份了嗎？頭腦里能想象嗎？能是能，但沒有這樣的作品看著明顯，更加形象。

啟發(fā)思考：0.4 是表示4 個多少？那這個0.06 表示6 個多少？

師：這一幅圖中出現(xiàn)了兩個計數(shù)單位，想一想，當一幅圖中出現(xiàn)了兩個計數(shù)單位，我們可以怎么辦？一張圖中只能有一個計數(shù)單位，有唯一的標準，要換算到哪個計數(shù)單位呢？（最小的那個）最小的計數(shù)單位是多少？（0.01）0.1可以換算成多少個0.01？（10 個）

師：計數(shù)單位統(tǒng)一之后再來看0.46 是畫了多少個多少?。?6個0.01 或者46 個百分之一。

師：計數(shù)單位是多少？

【設(shè)計意圖：從一位小數(shù)到兩位小數(shù)，讓概念理解更具有連貫性。引導(dǎo)學(xué)生不斷探尋“為什么”，道理同則思維通，學(xué)生理解了概念的本質(zhì)，也就實現(xiàn)了概念建構(gòu)進程中思維的線性連接?！?/p>

三、有序深入，體現(xiàn)思維的面上延展

1.自主遷移，形成知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

師：兩位小數(shù)的意義已經(jīng)出來了，那你們覺得接下來研究什么？三位小數(shù)、四位小數(shù)……還要研究嗎？它們分別表示什么意思？

預(yù)設(shè)：三位小數(shù)表示千分之幾，計數(shù)單位是0.001……

師：把一個正方體用整數(shù)“1”表示，大家想一想，0.1 該怎么表示，0.01 呢？0.001 呢？

電腦演示

師：比較一下這里的1、0.1、0.01 和0.001，你有什么發(fā)現(xiàn)？

總結(jié)：從左往右看，1 里面有10 個 0.1，0.1 里 面 有 10 個0.01，0.01 里面有10 個0.001。下一個是多少？從右往左看，滿十進一，下一個是什么？

師：再看看這些等式左邊的分數(shù)，都是分母是十、一百、一千、一萬這樣的分數(shù)，在數(shù)學(xué)上叫做十進制分數(shù)，咱們的小數(shù)和十進制分數(shù)有著緊密的聯(lián)系。

【設(shè)計意圖：教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生基于已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗和學(xué)習(xí)方法，拓展延伸到三位小數(shù)和四位小數(shù)的意義，特別是通過計數(shù)單位的從左往右看和從右往左看，把計數(shù)單位之間的10 倍關(guān)系凸顯出來，把整個數(shù)系進行溝通聯(lián)系，形成立體化的理解，數(shù)學(xué)的本質(zhì)如出水芙蓉般呈現(xiàn)在學(xué)生眼前。數(shù)學(xué)的思考既是有序的，又是嚴謹?shù)?，把新知和已有知識建立關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生形成具有邏輯結(jié)構(gòu)的知識網(wǎng)絡(luò)，拓寬對小數(shù)的意義理解的寬度。】

2.動態(tài)直觀，延伸小數(shù)的特點認識。

師：這是一條數(shù)軸，如果我們想在上面表示一位小數(shù)可以怎么辦？我們一起來數(shù)一數(shù)。如果是兩位小數(shù)呢？逐步出示。想一想，如何在數(shù)軸上表示出0.536？

小結(jié)：看來，小數(shù)和整數(shù)一樣可以用數(shù)軸上的點來表示。不過認識了小數(shù)，再來看數(shù)軸，我們會發(fā)現(xiàn)一個很有意義的現(xiàn)象。以表示0.3 和0.4 的這兩個點為例，它們兩點之間有多少個點？你可以從0.3 數(shù)到0.4 嗎？

【設(shè)計意圖：借助課件動態(tài)演示數(shù)軸上表示小數(shù)的方法，通過從放大和縮小兩方向，借助多媒體的技術(shù)手段，讓學(xué)生直觀深入地理解數(shù)軸的特點，“它們兩點之間有多少個點？”帶領(lǐng)學(xué)生初步體會數(shù)軸上的小數(shù)具有稠密性。在這個過程中，學(xué)生對小數(shù)產(chǎn)生的需要以及十進制的關(guān)系有了更深刻、更全面的理解。通過把面積模型轉(zhuǎn)變成線型模型，讓學(xué)生初步理解數(shù)軸上的點是稠密的，并且是連續(xù)的，也讓學(xué)生接觸了整數(shù)部分不是0 的小數(shù)，避免了小數(shù)就是零點幾的消極思維定勢，實現(xiàn)對小數(shù)意義的進一步理解?！?/p>

3.體會學(xué)習(xí)小數(shù)的意義和價值。

師：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了小數(shù)的意義，你覺得在小數(shù)的意義的基礎(chǔ)上，還可以研究哪些問題？

師：在大量的提問中，我們一起來研究這個問題，為什么有了分數(shù)還要有小數(shù)？

師：這是我們學(xué)習(xí)過的分數(shù)，口算一下結(jié)果是多少？有點麻煩吧，用今天學(xué)過的知識，把它們換算成小數(shù)試一試。

生：0.2＋0.03＋0.007＝0.237。

師：研究了這道題，你有什么感受？

【設(shè)計意圖：弗賴登塔爾說，好的教學(xué)就應(yīng)該如此，不僅對概念，而且對整個體系的建立也應(yīng)該采取這樣的策略——學(xué)習(xí)組織一個題材，帶領(lǐng)學(xué)生理解過程。課堂的最后部分，借用愛因斯坦“提出一個問題比解決一個問題更重要”來激發(fā)學(xué)生提出心中疑惑。只有在深刻理解小數(shù)意義的基礎(chǔ)上才會提出高質(zhì)量的問題，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神和問題意識，讓我們看到學(xué)生思維的生發(fā)?！?/p>