Fuzzy矩陣復(fù)合運(yùn)算的單調(diào)收斂性研究

關(guān)卻東智，索南仁欠,2

(1.青海師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，青海 西寧 810008；2.青海師范大學(xué) 研究生院，青海 西寧 810008)

0 引言

本文在“基于Fuzzy矩陣復(fù)合運(yùn)算新定義的性質(zhì)研究”的基礎(chǔ)上，研究了模糊矩陣復(fù)合運(yùn)算的基本性質(zhì)，并且引入冪序列的概念與幾種特殊模糊矩陣，如對角占優(yōu)矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣等.同時研究并討論模糊矩陣與特殊模糊矩陣在改造的Fuzzy復(fù)合運(yùn)算，即(max-·)型復(fù)合運(yùn)算下其單調(diào)性與收斂性.其中，單調(diào)性是研究模糊矩陣的冪序列是否收斂的基礎(chǔ).而模糊矩陣的收斂性對數(shù)值計算有著重要的作用，它對數(shù)值計算結(jié)果具有直接的影響.模糊矩陣的收斂性是研究模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提[7].因此，討論研究(max-·)型復(fù)合運(yùn)算下的單調(diào)性與收斂性是有必要的.總之，通過對比發(fā)現(xiàn)：雖然Zadeh算子的復(fù)合運(yùn)算的代數(shù)性質(zhì)比(max-·)型復(fù)合運(yùn)算要好許多，但(max-·)算子在有些方面具有優(yōu)良的性質(zhì).

1 預(yù)備知識

定義1.1 單調(diào)矩陣：設(shè)A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，C=(cij)m×n∈T(U)，U為論域.規(guī)定：

*：[0,1]×[0,1]→[0,1]

*為[0,1]上的二元算子.

1)序關(guān)系：A≤B當(dāng)且僅當(dāng)aij≤bij，i=1,2,…,m；j=1,2,…,n.

2)單調(diào)性：若A≤B，則A*C≤B*C.

3)單調(diào)矩陣：若A≤A2，Ak≤Ak+1，則A稱為單增矩陣.若A≥A2，Ak≥Ak+1(k≥1)，則A稱為單減矩陣.單增矩陣與單減矩陣統(tǒng)稱為單調(diào)矩陣，其中記A*A=A2，Ak+1=Ak*A.

定義1.2設(shè)R∈F(U×U)

1)若任意的u∈U，都有R(u,u)=1(或0)，則為R在U上是自反的(或反自反的).

2)若任意的u，v∈U，都有R(u,v)=R(v,u)(若u≠v，且R(u,v)>0時有R(v,u)=0)，則為R在U上是對稱的(或反對稱的).

3)若任意的u,v∈U，都有R°R(u,v)≤R(u,v)，則為R在U上是傳遞的.

4)若模糊矩陣R∈MF(U)，滿足自反性、對稱性時稱R是U上的模糊相似矩陣.

5)若模糊矩陣R∈MF(U)，滿足自反性、對稱性、傳遞性時稱R是U上的模糊等價矩陣.

定義1.3

1)單位矩陣：存在模糊矩陣E，使得E*A=A*E=A,其中

2)零矩陣：矩陣中所有元素都為0的矩陣，由O表示.

3)數(shù)量矩陣：所有非主對角線元素全等于零的矩陣，由D表示.

2 改造以Zadeh算子為模糊矩陣的復(fù)合運(yùn)算

定義2.1當(dāng)論域U有限時，模糊矩陣R和G的復(fù)合運(yùn)算記為R°G，并規(guī)定：

(注)這里給定的以Zadeh算子為模糊矩陣的復(fù)合運(yùn)算是多種算子系列中的一種，即(max-min)復(fù)合運(yùn)算，也是Zadeh算子作為運(yùn)算符號的一種符合.比較其他算子而言，它更具一般性，具有最好的代數(shù)性質(zhì)，運(yùn)算量也簡單.但應(yīng)用Zadeh算子時主觀意識對總體判斷具有顯著影響，而且許多隸屬度在取小取大后所帶信息在計算和應(yīng)用中沒有起到作用，相當(dāng)于損失了某些信息，這是不利的.

一般而言，模糊矩陣的復(fù)合運(yùn)算以什么方式或選擇什么算子，取決于模糊集或者模糊關(guān)系時采用了某種模糊運(yùn)算.因此，對給定的二元運(yùn)算*，可以定義R°G為模糊矩陣R和G的復(fù)合運(yùn)算，其中舉例說明比較特殊的兩種復(fù)合運(yùn)算：

這樣的改造可以視具體情況而定，但在實(shí)際中不同的研究對象，選用適當(dāng)?shù)乃阕觼砻枋鍪潜容^困難的，因此研究這些算子的代數(shù)性質(zhì)是人們所希望的.

由于實(shí)數(shù)的集合具有序關(guān)系，因此能夠誘導(dǎo)出以下關(guān)系：

∧=min與∨=max

本文對∧與min，∨與max不加以區(qū)分.

通過研究分析表明，如果二元運(yùn)算*滿足結(jié)合律且在[0,1]2上處處非減，則(max-*)或(min-*)復(fù)合運(yùn)算也是可以結(jié)合的，且對并運(yùn)算滿足分配律(結(jié)論1).故得到矩陣的冪定義，即

R1=R，Rk+1=Rk°R?k≥1.

矩陣的冪定義可以得到R的一個冪序列，本文重點(diǎn)研究冪序列的單調(diào)性與收斂性.

本文將二元運(yùn)算*選取為普通意義上的乘積，即a*b=ab，a,b∈[0,1]，則復(fù)合運(yùn)算為

命名為(max-·)型復(fù)合運(yùn)算.

根據(jù)上述分析我們可以得到一些簡單的結(jié)論(結(jié)論2)，即

1)結(jié)合律：A°(B°C)=(A°B)°C.

2)并分配率：A°(B∪C)=A°B∪A°C(A∪B)°C=A°C∪B°C.

3)交分配率：A°(B∩C)=A°B∩A°C(A∩B)°C=A°C∩B°C.

(注)交分配律在Zadeh算子下不成立.

證明A°(B∩C)=∨?k[aik·(bkj∧ckj) ]

=∨?k[aik·bkj∧aikckj) ]

=[∨?k(aik·bkj)]∧[∨?k(aik·ckj)]=A°B∩A°C

4)交換律：若A，B都是自反的，則A°B=B°A.

證明因aik·bkj≤min?k{aik，bkj}且A，B都是自反的，使得

又因aij∨bij=bij∨aij，所以A°B=B°A.

5)單調(diào)性：若A≤B，則A°C≤B°C.

其余結(jié)論的證明是顯然的，故在此略去.

下面我們將研究改造后的(max-·)型復(fù)合運(yùn)算的單調(diào)性與收斂性.最基本的性質(zhì)請參看文獻(xiàn)[1].比如文獻(xiàn)[1]中研究了自反性、對稱性、傳遞性、等價關(guān)系、λ-截距陣等相關(guān)內(nèi)容.

3 模糊矩陣復(fù)合的單調(diào)性

定理3.1若A°B=C，則A∪B≥C.

證明因aij∨bij≥∨(aik·bkj)=cij當(dāng)且僅當(dāng)aik=bkj=1時等號成立.

推論3.2若A°B=C，則max(A，B)≥C.

推論3.3若A°A=A2，則A≥A2.

推論3.3說明在(max-·)算子下模糊矩陣永遠(yuǎn)都是單減矩陣，因此，我們只討論單減矩陣.但事實(shí)上，對于這類矩陣具有更為常用的名字，稱為傳遞矩陣.

圖1中的MN1和MN2都工作在亞閾值區(qū)域，MP1、MP2和MP3具有相同的寬長比，所以Iout=Iref。由于電阻RS的存在，MN1和MN2的VGS不相等。設(shè)MN1的尺寸與MN2的尺寸的比值為K，電阻RS兩端的電壓為IoutRS，忽略體效應(yīng)的影響，即VTHN1=VTHN2，由IrefRs=VGSN2-VGSN1可得[14]

定義3.1設(shè)A=(aij)n×n∈MF(U×U)，若任意i，j∈{1,2,…,n}，都存在aij≤max{aii，ajj},則稱A為對角占優(yōu)矩陣.

則稱A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣.

定義3.3任意給定λ∈F(F為數(shù)域)，F(xiàn)uzzy陣A與λ的數(shù)乘記為λA，其中λA=(λaij)m×n.

定理3.4設(shè)A為n階Fuzzy對角占優(yōu)方陣，P為n階置換矩陣，若(bij)=P'AP(P'為P的轉(zhuǎn)置矩陣)，使得bii≥b(i+1)(i+1)，1≤i≤n-1.

定理3.5若A是對角占優(yōu)Fuzzy方陣，且有aii·aij≥ait·atj，則

證明首先由定理3.4知，任意對角占優(yōu)方陣都在某個置換矩陣下將主對角元素排序，且有bii≥b(i+1)(i+1)，1≤i≤n-1，故不妨設(shè)A的對角元素為a11≥…≥aqq≥app≥…≥ann，因?yàn)閍ii·aij≥ait·atj，

對任意給定的i，j都存在k，使得不等式

從而由定理3.5可知，推論3.6成立.

推論3.7若A是對角Fuzzy方陣，則

此類等式為模糊矩陣的冪序列單調(diào)恒等式.

4 特殊模糊矩陣復(fù)合的收斂性

定義4.1收斂性：設(shè)A為U上的模糊關(guān)系(矩陣)，若對任意的x,y∈U，數(shù)列{Ak(x,y) }k≥1都收斂，則稱A是收斂的.

以下用此定義無限收斂.

aijk+P=aijk

(1)

滿足式(1)的最小正整數(shù)K，P分別稱為A的收斂指數(shù)與周期指數(shù)，且分別記為Ak，AP.當(dāng)Ak不存在，而limk→∞aijk存在時，則稱A無限收斂.因此，有以下結(jié)論：

定理4.1設(shè)A是n階Fuzzy陣，aijk無限收斂當(dāng)且僅當(dāng)limk→∞aijk=0.

證明?：無限收斂定義可知，

?：顯然.

定理4.2若A是n階對角Fuzzy陣，則Ak無限收斂.

證明因A=diag(a11,a22,…,ann)，可得Ak=diag(a11k,a22k,…,annk)，所以定理4.1得，limk→∞aiik=0，可知Ak無限收斂.

推論4.3設(shè)A是n階Fuzzy陣，若在置換矩陣P下能對角化，則Ak無限收斂.

證明因P＇AkP=P＇AP…P＇AP，由定理4.2知Ak無限收斂.

推論4.4 設(shè)A是n階Fuzzy數(shù)量陣，則Ak無限收斂.

證明根據(jù)數(shù)量矩陣的定義知，A=mE，所以Ak=mkE，故收斂.

下面由一例子來直觀描述上述結(jié)論.

在(max-·)型復(fù)合意義下，可得

k不管是偶數(shù)還是奇數(shù)，顯然都有

因此，Ak無限收斂，說明A在(max-·)型復(fù)合運(yùn)算下收斂.