“貌異質(zhì)同”話類比

翁荔

【摘要】為了幫助學(xué)習(xí)者解決問題，教師應(yīng)從溝通聯(lián)系的角度出發(fā)，在探知學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，提出恰當(dāng)?shù)摹W(xué)生有啟發(fā)的類比案例，幫助學(xué)生認(rèn)識概念、加強(qiáng)理解、強(qiáng)化技能、提高能力，本文通過具體的案例論述如何利用基于問題解決中的類比案例來指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí).

【關(guān)鍵詞】問題解決，類比，同質(zhì)

【基金項(xiàng)目】江西教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題《基于問題解決的初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究》（17PTYB008）研究成果.

類比是解決數(shù)學(xué)問題的常用方法.波利亞曾經(jīng)說過：“類比是問題解決的引路人.”在教學(xué)活動中，通過類比來促進(jìn)教學(xué)得到了很多研究人員和學(xué)者的認(rèn)可.從認(rèn)知心理學(xué)角度來看，類比就是特殊對象之間的特定信息的轉(zhuǎn)移.運(yùn)用類比有助于提出猜想、完善圖式、促進(jìn)新發(fā)現(xiàn)的產(chǎn)生，但是學(xué)生的類比能力不是自然形成的，需要教師不斷深入地培養(yǎng).在基于問題解決的學(xué)習(xí)中，類比案例以問題屬性的相似點(diǎn)和屬性關(guān)系之間的相似點(diǎn)為基礎(chǔ)，通過提供本質(zhì)相似或相同的問題引發(fā)學(xué)生的思考，幫助學(xué)習(xí)者補(bǔ)全認(rèn)識、通透理解、提高思維品質(zhì)，現(xiàn)舉例與同行探討.

一、以體會概念為核心的比較

問題1 如圖1所示為一種折疊門，此門中間是左右兩扇相等的活頁門，活頁門的右軸固定在門框上.門的上下裝有軌道，可以推動左側(cè)的活頁門進(jìn)行開關(guān).現(xiàn)把圖1的俯視圖簡化成圖2，已知兩扇活頁門的寬OB=OC=60 cm，軌道AB=120 cm，點(diǎn)B固定時(shí)，點(diǎn)C在AB上左右運(yùn)動，OC與OB的長度不變，求當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A向右運(yùn)動60 cm時(shí)，點(diǎn)O在此過程中運(yùn)動的路徑長.

問題2 如圖3所示為一電動門，當(dāng)門水平下落關(guān)閉時(shí)，可以抽象成圖4的矩形ABCD，其中AB=3 m，AD=1 m，此時(shí)它與入口OM等寬，與地面的距離AO=0.2 m，當(dāng)門抬起時(shí)，變?yōu)閳D5的平行四邊形AB′C′D，此時(shí)，AB′與水平方向的所夾的角度為60°.求在電動門抬起至圖5的過程中，點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑長.

解 問題1：60·π·60180=20π，問題2：60·π·3180=π.

學(xué)生的解答情況：這一組問題采取先解答問題1后呈現(xiàn)問題2的方式.剛接觸問題1時(shí)，很多學(xué)生無從下筆，困難之處在于從C，O這兩個(gè)動點(diǎn)的角度很難確定點(diǎn)O的運(yùn)動軌跡，問題2在問題1的基礎(chǔ)上，學(xué)生有了部分解題經(jīng)驗(yàn)，但是很多學(xué)生錯誤地把A當(dāng)作定點(diǎn)，CA當(dāng)作定長來解決問題.

類比點(diǎn) 這一組問題的“同質(zhì)”之處是對圓的概念的理解，即到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.這個(gè)定義可以等價(jià)為圓是確定了一個(gè)定點(diǎn)和一段定長后，另一動點(diǎn)形成的圖形.

教學(xué)小結(jié) 用知識解決問題的情況，可以反映學(xué)生對知識的掌握程度.通過典型問題的設(shè)置，能夠幫助學(xué)生深化知識的理解，把握核心的思想方法，實(shí)現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)的調(diào)整、補(bǔ)充和完善.這組問題是對圓的定義的深入理解，用運(yùn)動的觀點(diǎn)來理解圓的定義，把動點(diǎn)的軌跡問題轉(zhuǎn)化為找定點(diǎn)和固定線段.通過這樣的比較，使學(xué)生能從不同角度認(rèn)識概念，辨識非本質(zhì)屬性和本質(zhì)屬性，建立概念的多元聯(lián)系，對發(fā)展學(xué)生的概括能力有著重要的意義.

二、以加強(qiáng)理解為核心的比較

問題1 如圖6所示，點(diǎn)P為線段AB外一動點(diǎn)，PA=m，AB=n，請思考點(diǎn)P位于何位置時(shí)，線段PB的長取最大值，并求出這個(gè)最大值（用含m，n的式子表示）.

問題2 如圖7所示，點(diǎn)D為線段EF外一動點(diǎn)，EF=3，DE=1，分別以DE，DF為邊，作等邊△DEG和等邊△HDF，連接GF，HE，求線段HE的最大值.

問題3 如圖8所示，已知⊙O的半徑為3，OC=5，點(diǎn)B是⊙O上的動點(diǎn).在△ACB中，∠BAC=90°，AC=AB，連接AO.現(xiàn)將AO繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AD，連接CD，求AO的最大值.

解 問題1：當(dāng)點(diǎn)P位于BA的延長線上時(shí)，線段PB取最大值，為m+n=2.問題2：易證△GDF≌△EDH，∴線段HE的最大值=線段GF的最大值.當(dāng)線段GF的長取最大值時(shí)，點(diǎn)G在FE的延長線上，∴最大值為3+1=4.問題3：易證△ABO≌△ACD，∴BO=CD.所以當(dāng)點(diǎn)D位于OC的延長線上時(shí)，OD取最大值8.此時(shí)AO=22OD=42.

學(xué)生的解答情況：在實(shí)際解決問題中，很多學(xué)生不理解問題1，為什么點(diǎn)P位于BA的延長線上時(shí)，線段PB取最大值，導(dǎo)致后面的問題無法解決.問題2中隨著D點(diǎn)的運(yùn)動，變化的線段很多，學(xué)生眼花繚亂、辨識不清.問題3中學(xué)生很難想到通過求線段OD來推導(dǎo)線段AO.

類比點(diǎn) 這一組問題的“同質(zhì)”之處是借助三角形三邊關(guān)系對圖形的理解，如圖6所示，隨著∠B的變化，△ABC分別經(jīng)歷了銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，雖然三角形不同，但都滿足三角形兩邊之和大于第三邊，因此，能夠理解當(dāng)它不構(gòu)成三角形，即A，B，C在同一條直線上時(shí)，有最大值a+b.

教學(xué)小結(jié) 布魯納曾指出，比較在幫助學(xué)生直觀理解和發(fā)展抽象水平方面的作用極大.這組問題，看似復(fù)雜圖形的不同變化，但其最根本的、突破的關(guān)鍵是如圖6所示的基本圖形.這個(gè)本源圖形的確定就是逐漸排除無關(guān)屬性，突出關(guān)鍵屬性的過程.從學(xué)生的答題情況來看，學(xué)生缺乏對基本圖形即對運(yùn)動變化中線段長度的理解.由于學(xué)生的心理發(fā)展水平不夠，教師就需要引領(lǐng)指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識更多細(xì)節(jié)、本質(zhì)的內(nèi)涵，只有通過多角度研究和分析獲得的理解，才最有可能遷移到其他事例上去.

三、以強(qiáng)化技能為核心的比較

問題1 若一元二次方程3x2-4x-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，求x1+x2.

問題2 已知點(diǎn)A（x1，6），B（x2，6）是函數(shù)y=x2-2x+4上兩點(diǎn)，則當(dāng)x=x1+x2時(shí)，函數(shù)值y為多少？

問題3 已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)（-3，0），（1，0），求ba.

解 問題1：x1+x2=43，問題2：x1+x22=1，則x=x1+x2=2，∴y=4，問題3：x1+x2=-ba=-2，∴ba=2.

學(xué)生的解答情況 學(xué)生對公式的運(yùn)用有很大的“歸屬感”，一元二次方程的問題用韋達(dá)定理，拋物線涉及a，b的問題，用對稱軸公式，例如問題3用拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)解決，即-b2a=-3+12.

類比點(diǎn)分析 這一組問題的“同質(zhì)”之處是根與系數(shù)的關(guān)系.問題1是根與系數(shù)關(guān)系的顯性表征.問題2是由一元二次方程過渡到拋物線情境的半顯性表征，問題3是內(nèi)顯表征，其較前兩問的層次體現(xiàn)在：（1）由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系得，拋物線與x軸的交點(diǎn)即函數(shù)值y為0的情況，（2）從3x2-4x-4=0到ax2+bx+c=0的數(shù)字到字母的抽象，（3）由公式的順推到公式的逆推.

教學(xué)小結(jié) 從一個(gè)示例遷移問題解決技能于新的問題，需要學(xué)生從該示例中構(gòu)建起此類問題的圖式，并且將它用于新的情境中.只用一個(gè)示例往往會使學(xué)生側(cè)重于過程的模仿，而忽略問題的結(jié)構(gòu)特征，使學(xué)生無法解決變換的其他問題或不能把此方法遷移到其他問題.通過這組問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生把方程知識、函數(shù)知識有機(jī)地聯(lián)系起來，形成合理的知識組塊.當(dāng)遇到相關(guān)問題時(shí)，學(xué)生能夠通過這些知識的合理轉(zhuǎn)換，形成清晰明了簡潔的解決方案.

四、以形成能力為核心的比較

問題1 一件工作，小明做10天可以完成，小紅做15天可以完成，問兩人合作幾天可以完成？設(shè)兩人合作x天可以完成，則可列方程為.

問題2 《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作，其中有一題：“今有鳧起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海.今鳧雁俱起，問何日相逢？”（鳧：野鴨）現(xiàn)假設(shè)鳧與雁從南海和北海同時(shí)起飛，經(jīng)過x天相遇，則可列方程為.

學(xué)生解答情況 在這組問題中，教師先展示問題2，大部分學(xué)生從速度這個(gè)角度來思考問題，無法列出方程，然后教師展示問題1，由問題1的類比很多學(xué)生立即想到了解題方案，最后教師鼓勵學(xué)生舉出不重復(fù)的例子，深入理解.

解 問題1：110+115x=1，問題2：17+19x=1.

類比點(diǎn) 這組問題的“同質(zhì)”之處是“工程問題”中的“1”，完成整項(xiàng)工作、飛完整段路程都是“1”，由具體的“1”到抽象的“1”是學(xué)生思維深刻性的提升.

教學(xué)小結(jié) 類比的依據(jù)是兩個(gè)不同事物的相同屬性，顯性的屬性容易察覺，但是本質(zhì)、深層次的屬性需要一定的挖掘能力.第三學(xué)段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是具體形象思維向經(jīng)驗(yàn)型抽象思維的培養(yǎng)階段，此組比較，是學(xué)生從具體的事例，過渡到典型事例，再抽象出本質(zhì)的活動，是學(xué)生認(rèn)知行為的訓(xùn)練.

綜上所述，學(xué)生解決問題時(shí)往往局限于具體情境，就事論事，不會從整體上把握和分析，難以實(shí)現(xiàn)向相似情境的遷移.基于問題解決的類比案例，從溝通聯(lián)系的角度出發(fā)，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，提出恰當(dāng)?shù)?、對學(xué)生有啟發(fā)的案例，對相關(guān)問題進(jìn)行探討，是學(xué)生加強(qiáng)理解、提高技能、發(fā)展能力、培養(yǎng)態(tài)度的有效途徑.

【參考文獻(xiàn)】

[1]戴維·H·喬納森.學(xué)會解決問題[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2017.

[2]劉初喜.數(shù)學(xué)問題解決與課程教學(xué)[M].上海：華東理工大學(xué)出版社，2016.

[3]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2018.