“四疑四創(chuàng)”式數(shù)學(xué)思維課堂的探究與實踐

施浩妹

【摘要】“數(shù)學(xué)是思維的體操”，而“疑”是思維的火花，在落實立德育人，發(fā)展核心素養(yǎng)的當(dāng)下，作為教師，應(yīng)該如何有效開展課堂教學(xué)？如何勾起學(xué)生的求知欲望并使其產(chǎn)生疑惑？如何一環(huán)一環(huán)地引導(dǎo)其解決疑惑進而培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣，提升學(xué)習(xí)能力？筆者從精心設(shè)疑、引導(dǎo)解疑、鼓勵質(zhì)疑、適當(dāng)留疑這四方面展開探究、思考.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)課堂，設(shè)疑解疑，引導(dǎo)反思

數(shù)學(xué)是一門什么樣的學(xué)科？它自身的育人任務(wù)是什么？在我們的教學(xué)中為何會有諸如此類的問題：學(xué)生在課堂上聽懂了，課下卻忘了，教師覺得簡單的，學(xué)生卻覺得難，教師講清楚了，學(xué)生卻沒有聽懂，教師滔滔不絕，學(xué)生卻掌握甚少.筆者認為根源是這樣的課堂沒有讓學(xué)生產(chǎn)生探究解惑的欲望，學(xué)生的思維之門沒有被打開，他們體會太少，感悟太少，反思太少，又哪來提升學(xué)習(xí)能力、思維品質(zhì)和核心素養(yǎng)一說呢？那么作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師，到底需要創(chuàng)設(shè)怎樣的數(shù)學(xué)課堂，怎樣去設(shè)疑、引疑、留疑，去勾起學(xué)生質(zhì)疑，引發(fā)學(xué)生開啟創(chuàng)新思維之門的鑰匙呢？

一、精心設(shè)疑，創(chuàng)設(shè)問題情境

（一）聚焦數(shù)學(xué)概念，聯(lián)系生活實際來設(shè)疑、創(chuàng)設(shè)

高中數(shù)學(xué)概念課是每一章的第一節(jié)課，學(xué)生對新授知識充滿神秘感，同時也伴隨著陌生和畏懼.如果教師“輕概念，重練習(xí)”，急功近利地授予新知的概念，大容量地訓(xùn)練題目，就會導(dǎo)致學(xué)生對概念的感悟不足、認識不足、思辨不足，自然也就難以理解概念，再多的訓(xùn)練也只能停留在機械記憶與模仿的思維層次.缺少感悟和思辨的課堂，出現(xiàn)“無根”“低空飛行”的現(xiàn)象也就難免了，那么數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升也就無從談起.我們知道問題可以激勵思維，沒有問題就沒有思維，故筆者設(shè)計了情境和問題串的方式來進行教學(xué)，提高學(xué)生的思辨和抽象能力.

如，在“集合”概念課的教學(xué)中設(shè)計了以下四個問題.

問題1：（1）請仿照下列敘述，向大家介紹一下自己，我家有爸爸、媽媽和我，我來自朝暉中學(xué).（2）將班里的同學(xué)按性別成A、B兩組，你屬于哪一組？（3）把畢業(yè)于同一個初中的同學(xué)分在一個組，編上編號，你屬于哪一組？這樣的問題貼近生活，容易感知.

問題2：剛剛這些問題中的“家庭”“學(xué)?！薄澳猩薄芭薄爱厴I(yè)于朝暉中學(xué)的同學(xué)”有什么共同特征？引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生用自己的語言表述，在學(xué)生表述的基礎(chǔ)上自然而然地抽象生成“集合”的描述性概念.

概念出來后，緊接著提出問題3：指出下列對象是否構(gòu)成集合，如果是，指出該集合的元素.（1）我國的直轄市，（2）我們教室里的桌子，（3）我們班的高個子男生，（4）大于100的數(shù).這樣的問題引導(dǎo)學(xué)生在思辨中進一步理解概念，如，（3）中的高個子男生，何為高，這算確定的對象嗎？放手讓學(xué)生自己去品味，自己去感悟.又如，（4）大于100的數(shù)確定嗎？無窮地列舉下去，列得完嗎？怎么辦？

列舉不完，沖突產(chǎn)生，剛好由此引到集合的表示方法，提出問題4：怎樣用符號來表示集合呢？這樣的問題串方式一環(huán)扣一環(huán)，層層遞進，讓學(xué)生的認識由感性到理性，也把集合概念由文字的描述性表達提升到了數(shù)學(xué)符號{x|p（x）}的抽象表達.

以問促思，以問促辨，在數(shù)學(xué)概念課的探究新知中，不僅激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生經(jīng)歷從“疑惑”到“思疑”再到“發(fā)現(xiàn)”的過程，更提升了學(xué)生的思維品質(zhì)，提升了學(xué)生的辨析能力和抽象概括能力.

（二）聚焦相似問題，利用形同質(zhì)異來設(shè)疑、創(chuàng)設(shè)

數(shù)學(xué)課堂自然離不開例題的精選，好的例題可以事半功倍地提升學(xué)生的思維品質(zhì).在例題教學(xué)過程中，教師既要研究“形不同而質(zhì)同”也就是通性通法，達到鞏固基礎(chǔ)知識與基本技能的目的，也要讓學(xué)生看到另一面“形同而質(zhì)不同”，利用相似相近問題，培養(yǎng)學(xué)生差異性思維，提升學(xué)生的類比和分析能力.

筆者的教學(xué)課堂中，對題目的挑選，都是仔細研究對比后才給出的，不是單純地為做題而做題.比如，有這樣三道題：① 已知不等式mx2-2x-m+1≤0，此不等式對任意x∈12，2恒成立，求m的取值范圍.② 已知不等式mx2-2x-m+1≤0，此不等式對任意x∈12，2恒成立，求x的取值范圍.③ 已知不等式mx2-2x-m+1≤0，若存在x∈12，2使不等式成立，求m的取值范圍.“m”變“x”，“任意”變“存在”幾字之差，如此相似的問題，到底有何差異，好奇心會引發(fā)學(xué)生仔細掂量，認真剖析.又如，有這樣兩道題：① 在等比數(shù)列{an}中，a3，a9是方程3x2-11x+9=0的根，則a6的值為.② 在等比數(shù)列{an}中，a4，a8是方程3x2-11x+9=0的兩根，則a6的值為.對這兩道題，大部分學(xué)生的答案會是一樣的均為±3，但結(jié)果為一對一錯，這也是十分神奇的，為何會這樣？答案無疑會極大地激發(fā)學(xué)生的探究欲望，打開學(xué)生的思維閘門.

設(shè)置這樣相似度極高的題組，目的是有意培養(yǎng)學(xué)生思考問題不能太狹隘，而要仔細品味題目的差異，要從不同角度、不同側(cè)面去研究問題，有利于提升他們類比分析問題的能力.這樣相似問題的創(chuàng)設(shè)也容易勾起學(xué)生的探究欲望，變被動思維為主動自覺思維，讓每一名學(xué)生主動參與、自主探究，形成“趣學(xué)”“樂學(xué)”的氛圍，從而讓學(xué)生的類比分析能力得到切實、有效的發(fā)展，對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)大有裨益！

二、引導(dǎo)解疑，創(chuàng)造思維空間

當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)中“重結(jié)果，輕過程，輕能力”的現(xiàn)象嚴重，造成“教師教得累，學(xué)生學(xué)得苦”.在課堂上，教師不能一味地順著自己的解題思路一講到底，要廣泛聽取學(xué)生的想法，讓學(xué)生自主探究，將思維拓展開來，哪怕是錯誤的、不完整的思維，要相信學(xué)生的潛能，勇于放手，要讓課堂成為開放的課堂，要讓自己成為一個真正的點撥者、引導(dǎo)者，這樣可以衍生出更多精彩.筆者在一次導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)課中，出現(xiàn)了意外情況，就干脆讓它變成了一節(jié)開放課堂.

（一）筆者原始設(shè)計

題目 已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1）x+1，若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍.

筆者的預(yù)設(shè)是希望學(xué)生能利用“導(dǎo)函數(shù)的符號與原函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系”將此問題轉(zhuǎn)化為一個不等式恒成立問題，最終用“參變分離”及“基本不等式的應(yīng)用”求出參數(shù)的取值范圍.

（二）實際課堂呈現(xiàn)

事實上，很多學(xué)生做到“x2+2x-2ax+1≥0恒成立即可”時，想不到參變分離，都想到二次函數(shù)去了，想從二次函數(shù)的角度去解決它.學(xué)生1：“只要Δ=a2-2a≤0就可以了.”學(xué)生2附和說：“對，這個方法好！快！”（隨之其他學(xué)生也開始頻頻點頭，覺得很有道理）

筆者并不否定學(xué)生的想法，切斷學(xué)生的思維，而是提問到：“真的是這樣的嗎？二次函數(shù)我們可是很熟悉的啊，初中就學(xué)了，高中它也占據(jù)著一個很重要的位置，你們都同意1同學(xué)嗎？沒別的想法了？”

學(xué)生2開始反駁：“知道了，這個Δ≤0的條件太苛刻了，這里只要x∈（0，+∞）就可以了.都對x∈R恒成立了.”（其他學(xué)生也開始感悟到，的確如此）筆者似懂非懂地點評：“嗯，的確如此，那應(yīng)該如何繼續(xù)呢？這要考查你們對二次函數(shù)學(xué)得扎不扎實了.”筆者順其自然，讓他們繼續(xù)討論爭論下去，最終答案出來了，然而探究并沒有結(jié)束.筆者繼續(xù)提問：兩種方法哪種好呢？

此時，學(xué)生齊刷刷回答第一種方法參變分離好，因為無須分類討論.

筆者立刻給出變式：“那如果真的是x2+2x-2ax+1≥0對x∈R恒成立呢？”

學(xué)生經(jīng)過自己的探究、討論后發(fā)現(xiàn)此題也可以用之前的兩種思路，明白了方法不是永遠某一種好，要因題而異.

（三）教學(xué)總結(jié)反思

這節(jié)課違背了教師的原始計劃，打破了時間的限制和約束，成為開放的課堂，把話語權(quán)交給學(xué)生，給學(xué)生創(chuàng)造足夠“寬”的思維空間，讓學(xué)生自主探究，自己去發(fā)揮、去推理.學(xué)生的思維充分暴露，筆者只需圍繞學(xué)生的思維進行開放教學(xué)，不斷提出問題，引導(dǎo)學(xué)生解疑，一波剛落，一波又起，達到了很好的教與學(xué)的效果.我們需要這樣的開放課堂，來激活學(xué)生的思維閘門，最大限度地培養(yǎng)學(xué)生自主獲取知識的能力，

三、鼓勵質(zhì)疑，創(chuàng)新思維培養(yǎng)

科學(xué)發(fā)明與創(chuàng)造往往是從質(zhì)疑開始的，教材不是權(quán)威，教師也不是權(quán)威，所謂“長江后浪推前浪”，學(xué)生可以掌握教師還沒有掌握的知識，學(xué)生也可以超越教師，教師要鼓勵學(xué)生敢于挑戰(zhàn)和質(zhì)疑，這樣可以讓學(xué)生樹立信心，使學(xué)生的主體意識覺醒，不斷地富有創(chuàng)新性，不斷地超越自身.所以在平時的教學(xué)中，教師可以聚焦質(zhì)疑型問題，聚焦錯題、錯法，引導(dǎo)學(xué)生辨析、質(zhì)疑，有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和批判精神.

（一）質(zhì)疑同學(xué)，互相切磋

比如，在基本不等式的應(yīng)用中有這樣一道題：已知x>0，求4x+9x2的最小值.筆者收羅學(xué)生的兩種解法呈現(xiàn)在黑板上：

學(xué)生1：因為4x+9x2=x+3x+9x2≥33x·3x·9x2=9，所以4x+9x2的最小值為9.

學(xué)生2：因為4x+9x2=2x+2x+9x2≥332x·2x·9x2=3336，所以4x+9x2的最小值為3336.

兩種解法的結(jié)果不同，到底哪名同學(xué)正確？部分附和學(xué)生1，部分附和學(xué)生2，但都說不出另一種解法為何錯？在質(zhì)疑、批判中，引導(dǎo)學(xué)生辨析、討論.

終于有學(xué)生做出評判了：學(xué)生1一定錯，如果可以拆成“x”與“3x”，那一定也可以拆成“0.5x”與“2.5x”，這樣的話，答案太多了，一定是只能拆成一樣的“2x”與“2x”.

其他同學(xué)開始點頭同意，答案是出來了，那本質(zhì)原因是什么呢？繼續(xù)探究思考，最終想到基本不等式有個極易忽視的東西“等號成立的條件——當(dāng)且僅當(dāng)”.

（二）質(zhì)疑教師，增強自信

在一次考試中有這樣一道題：若函數(shù)f（sinx）=cosx+π3，求fcosπ3的值.資料給出的答案是“0”，筆者在自己的解答過程中也沒有意識到它是道錯題，做出的答案也是“0”，然而在試卷講評中，有學(xué)生質(zhì)疑了筆者，同時也質(zhì)疑了參考資料的答案，該生說他用兩種解法，解出來的答案是不一樣的：

法1：fcosπ3=fsinπ6=cosπ6+π3=0.

法2：fcosπ3=fsin5π6=cos5π6+π3=-32.

展示后，所有同學(xué)都說：“對，對，對，應(yīng)該是兩解.”然而提出疑惑的學(xué)生說：“我總覺得哪里不對，雖然fsinπ6，fsin5π6 形式不一樣，但實質(zhì)上都是f12，是‘一個值啊，怎么會出來‘兩個不一樣的結(jié)果呢？”因為筆者自己做題時也欠考慮了，做出了和參考答案一樣的答案，所以在學(xué)生討論、爭論的時候思維也沒有停止，腦子飛速轉(zhuǎn)動，正是因為這個“一個”“兩個”的點醒，筆者意識到題目本身出錯了，它根本就稱不上“函數(shù)”二字，它不符合“函數(shù)”概念中的“任意”“唯一”，于是順勢誘導(dǎo)：“對啊，怎么會一對二呢？”個別程度好的學(xué)生立馬條件反射：“一對二？函數(shù)怎么會一對二，它根本不是函數(shù)，題目本身就是一道錯題！”

在教學(xué)過程中，會遇到“錯誤題目”，教師本身也會犯錯，作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生不迷信權(quán)威，敢于去質(zhì)疑、去批判，找到問題所在、原因所在，錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造.作為教師，也可以制造這樣的質(zhì)疑機會，創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生來挑戰(zhàn)你、質(zhì)疑你，聚焦錯題錯法，引導(dǎo)學(xué)生面對權(quán)威，敢于批判質(zhì)疑，最終將“錯點”變?yōu)椤傲咙c”，培養(yǎng)學(xué)生的批判精神和思維的嚴密性，提升學(xué)生的論證能力與創(chuàng)新思維能力，增強他們的自信心.

四、適當(dāng)留疑，創(chuàng)造能力提升

羅增儒教授說過：“問題一旦獲解，就立刻產(chǎn)生感情上的滿足，忽視解題后的再思考，恰好也就錯過了提高的機會.”反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力，對一位教師而言，更要成為學(xué)生反思的引領(lǐng)者，不能就題講題，不能課上完就結(jié)束了.筆者喜歡在習(xí)題講評時，留有疑問，針對問題展開討論探究，深入思考，去挖掘題目背后更多的東西，喜歡在上完課后給學(xué)生留有一定空白，考查學(xué)生課堂有沒有領(lǐng)悟透，讓學(xué)生在留有的問題中反思，在反思中進一步提升創(chuàng)造能力.

（一）題后留疑拓展，提升思維廣度和深度

在一次作業(yè)講評時，有“已知向量a=（2，λ），b=（3，-4），且a·b的夾角為鈍角，求λ的取值范圍”這樣一道填空題，不少學(xué)生都做出答案λ>32來了，但是答案對，未必思維就嚴密.所以筆者讓一名答案對的學(xué)生講了他的思路，果然該學(xué)生只考慮了一頭，忽略了cosθ>-1這個條件.但由于這道題目中向量a與b不會出現(xiàn)反向共線的情況，所以學(xué)生們漏掉這一頭還是做出來了正確答案.但當(dāng)時筆者并沒有指出該學(xué)生錯在何處，而是在黑板上寫下了變式：那如果a=（-2，λ），b=（3，-4），答案又如何？好多學(xué)生覺得一樣，都沒有動筆的意愿.直到學(xué)生1：“做出來了，答案是λ>-32.”學(xué)生2：“我也是這個答案.”筆者不動聲色，在黑板上寫下答案為λ>-32且λ≠83為止，大家才覺得詫異，勾起了好奇心，開始探究討論，發(fā)現(xiàn)其實應(yīng)該滿足-1-16-4λ54+λ2>-1（3λ+8）2>0λ≠-83，答案總算做出來了，有更好的解法嗎？最后學(xué)生想到其實挖掉cosθ=-1即可.但筆者并沒有結(jié)束，而是讓學(xué)生思考，為何作業(yè)本上的題目你們漏考慮了，依然會對呢？繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，如果夾角變?yōu)殇J角又如何？筆者希望通過這樣的講題方式，讓學(xué)生養(yǎng)成對題目進行再思考的習(xí)慣，在思維的深度和廣度上有更大的發(fā)展.

（二）課后留疑反思，提升創(chuàng)造能力

再看錯題：若函數(shù)f（sinx）=cosx+π3，求fcosπ3 的值.雖然當(dāng)時程度好的學(xué)生明白它不符合函數(shù)概念，但是由于函數(shù)這個概念比較抽象，在初接觸時，很多學(xué)生就覺得難，既然此處出現(xiàn)了，就該鞏固加深一下，但是已經(jīng)下課，所以筆者就布置了任務(wù)：“個別同學(xué)已經(jīng)看到這是一道錯題，但很多同學(xué)還很迷茫，今天的作業(yè)之一就是繼續(xù)去思考這道題目，把它徹底想清楚弄明白，不可以模棱兩可.”筆者自己回去也重新整理了思路.其實本質(zhì)上，利用換元法，令sinx=t，則y=cosarcsint+π3，可以看到這不是一個函數(shù)，但由于學(xué)生并沒有學(xué)過反三角函數(shù)，所以筆者在學(xué)生可以理解的范圍內(nèi)，出了一道類似題：若函數(shù)f（sinx）=cosx，求f（cosx）.類比上次的解法，根據(jù)“形”去演變：

法1：f（cosx）=fsinπ2-x=cosπ2-x=sinx.

法2：f（cosx）=fsinπ2+x=cosπ2+x=-sinx.

但如果從“數(shù)”去研究，換元法解法如下：令sinx=t，則cosx=±1-t2，所以對應(yīng)關(guān)系是f（t）=±1-t2，它沒有滿足對任意的t，有唯一的元素和它對應(yīng)，所以它不是函數(shù)，這是一道錯題.為了學(xué)生能更清楚地理解此題，筆者還舉了以下簡單化的例子：

例1 若映射f：|x|→x+1，求f（|2|），f（|-2|）的值.

例2 若函數(shù)f（|x|）=|x|+1，求f（|2|），f（|-2|），f（2）的值.

在例1中，單純從“形”來看，|2|與|-2|是不同的元素，而f（2）也毫無意義，而在例2中，f（|2|），f（|-2|），f（2）三個值是一樣的.為了檢測效果，筆者還留了兩道作業(yè)題：

題1：若函數(shù)f（sinx）=cos2x，求f（cosx）.

題2：若函數(shù)f（sinx+cosx）=sinxcosx，求f（cos30°）.

對試卷中的一道題目，筆者為何要花大力氣去備課、去講解，一方面，是這個知識點導(dǎo)致的，函數(shù)本身是難點，依據(jù)螺旋式上升的教學(xué)理念，要好好把握這個機會，另一方面，讓學(xué)生知道原來課下教師還在仔細研究這道題，希望通過自己的言傳身教，告訴學(xué)生，不能課堂一結(jié)束，自己的探究就結(jié)束，要不斷反思總結(jié)，只要自己還有疑點，那就要有一探到底、一究到底的精神.教師要為學(xué)生養(yǎng)成反思品質(zhì)做好榜樣，要讓反思成為課堂的一種文化，在潛移默化中讓學(xué)生養(yǎng)成分析總結(jié)、反思問題、反思課堂的習(xí)慣，從而在反思中獲得成長，提高學(xué)生的歸納整合能力，從而讓學(xué)生再創(chuàng)造.

數(shù)學(xué)是“思維”學(xué)科，學(xué)科有其特色，教學(xué)必然也有其特色，育人目標必然是把學(xué)生培養(yǎng)成具有學(xué)習(xí)能力的人，從而達到學(xué)生自身的全面發(fā)展.而對教師而言，需要更新自己的教學(xué)理念，審視自己的教學(xué)課堂，思考如何抓住數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，如何更好地開展課堂教學(xué)，更好地以數(shù)學(xué)本身的魅力去吸引學(xué)生、培養(yǎng)學(xué)生.教師要讓數(shù)學(xué)課堂不僅是知識傳授的場所，更是改善學(xué)生思維品質(zhì)、提升學(xué)習(xí)能力的樂園，讓學(xué)生從中感受到數(shù)學(xué)之美！

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