基于灰色—馬爾科夫模型的高邊坡變形預(yù)測應(yīng)用

莫 文 濤

(鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州 451100)

0 引言

高邊坡穩(wěn)定性和路面設(shè)施、行人、行車的安全性具有密切關(guān)系，邊坡安全監(jiān)測能夠?qū)⒈槐O(jiān)測區(qū)域在不同時間的情況及時反映出來，以此為邊坡現(xiàn)狀分析和狀態(tài)預(yù)測提供根據(jù)。目前，在高邊坡位移變形預(yù)測過程中的方法包括回歸預(yù)測與人工預(yù)測模型，此預(yù)測方法會陷入到局部極值，并且需要大量樣本對預(yù)測精度保證[1]。為了降低預(yù)測誤差，本文和具體工程預(yù)測數(shù)據(jù)結(jié)合，使用灰色—馬爾科夫模型實現(xiàn)高邊坡變形的預(yù)測。

1 灰色—馬爾科夫模型分析

1.1 灰色GM(1,1)的模型

灰色量為位移監(jiān)測數(shù)據(jù)，能夠得出灰色序列，使用一階微分方程GM(1,1)模型，通過實際數(shù)據(jù)生成的GM(1,1)模型白化響應(yīng)公式為：

其中，a為發(fā)展系數(shù)；b為灰作用量。

根據(jù)原本的樣本規(guī)律能夠產(chǎn)生灰色GM(1,1)模型預(yù)測值，實際預(yù)測值并不會受到原本樣本影響。以此，在實現(xiàn)動態(tài)預(yù)測過程中添加狀態(tài)步數(shù)與轉(zhuǎn)移，使用馬爾科夫預(yù)測模型使灰色模型不足進(jìn)行彌補(bǔ)[2]。

1.2 馬爾科夫預(yù)測方法

馬爾科夫為根據(jù)目前事件狀態(tài)對未來時間段狀態(tài)預(yù)測的模型，涉及到狀態(tài)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移與相應(yīng)馬爾科夫過程相應(yīng)的概念?；疑R爾科夫模型的創(chuàng)建步驟為：

1)狀態(tài)劃分。根據(jù)灰色GM(1,1)模型對預(yù)測值和實測值相對誤差序列進(jìn)行計算，以此劃分h個狀態(tài)區(qū)間：

Ei=[Ai,Bi](i=1,2,…,i)。

2)通過狀態(tài)Ei經(jīng)過k步到狀態(tài)Ej轉(zhuǎn)移的次數(shù)為nij(k)，出現(xiàn)狀態(tài)次數(shù)為ni，那么狀態(tài)Ei通過k步到狀態(tài)Ej中轉(zhuǎn)移的概率為：

此模型轉(zhuǎn)移概率和初始狀態(tài)沒有關(guān)系，n×n階狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

3)h步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為第一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣h次方，也就是：

以此，灰色—馬爾科夫模型中的GM(1,1)模型沒有考慮動態(tài)轉(zhuǎn)移因素，步數(shù)調(diào)整、狀態(tài)轉(zhuǎn)移使模型預(yù)測過程滿足邊坡位移真實情況，從而彌補(bǔ)灰色GM(1,1)的模型問題，降低模型固有誤差，使長期預(yù)測精度得到提高，增加了有效預(yù)測時間[3]。

2 工程實例

貴州省某高速公路工程的高邊坡，此段邊坡長度為551 m，通過人工開挖高邊坡設(shè)計線路，最大開挖高度設(shè)計為155.43 m，屬于十級邊坡，每級高度為15 m。1級～3級坡比為1∶0.3,4級～10級坡比為1∶0.5，每級平臺的寬度設(shè)置為2 m，7級和4級設(shè)置5 m寬度平臺，開挖全坡面實現(xiàn)錨桿掛網(wǎng)噴射混凝土的防護(hù)設(shè)置，錨桿長度為9 m，間距設(shè)置為2 m，破碎1.5 m。在邊坡開挖支護(hù)施工過程中，邊坡臨空面增加，坡體坡面破碎帶，溶洞發(fā)育、隱伏裂隙，并且在開挖局部坡面之后會出現(xiàn)拉裂變形、塌方掉塊的情況，坡面巖體的結(jié)構(gòu)變化差異比較大。邊坡一共設(shè)置5個測量基準(zhǔn)點(diǎn)與32個監(jiān)測點(diǎn)，一共監(jiān)測63次，每周2次[4]。圖1為高邊坡橫斷面。

3 預(yù)測結(jié)果

3.1 灰色模型預(yù)測的結(jié)果

以工程坡頂水平的位移實際測量數(shù)據(jù)，在坡頂設(shè)置兩個點(diǎn)，表1為GM(1,1)預(yù)測值和相對誤差，基于GM(1,1)模型實現(xiàn)水平位移變形預(yù)測，白化響應(yīng)式解圍：

x1(t+1)=104.126 3e0.047 5t-102.126 3。

x0(t+1)=x1(t+1)-x1(t)。

通過累減還原之后得到預(yù)測數(shù)列：

x0(t+1)=4.830 4e0.047 5t(t≥1)。

表1 GM(1,1)預(yù)測值和相對誤差

通過表1表示，GM預(yù)測值與邊坡實測位移值的最大和最小誤差分別為23.5%,0.5%，平均精度為95.5%。由于前期存在明顯的開挖擾動，所以其相對誤差比較大。表示GM(1,1)模型能夠利用原始離散數(shù)據(jù)對系統(tǒng)未來的發(fā)展精準(zhǔn)預(yù)測，提高整體的預(yù)測精度[5]。

3.2 灰色—馬爾科夫模型的預(yù)測結(jié)果

灰色—馬爾科夫模型充分考慮概率問題的未來發(fā)生情況，將灰色理論作為基礎(chǔ)提出了修正系數(shù)。以灰色理論時間序列結(jié)果，能夠得出邊坡位移的監(jiān)測預(yù)測值：

x0(t+1)=β4.830 4e0.047 5t。

β=1+θ。

其中，β為修正系數(shù)；θ為預(yù)測狀態(tài)區(qū)間中值。以灰色—馬爾科夫模型的劃分原則，使誤差值劃分成為[-24,-5],(-5,0],(0,3],(3,6]，表2為各狀態(tài)下的β值。

表2 各狀態(tài)下的β值

基于灰色理論預(yù)測值、實測值和精度分別為10.33 mm,9.9 mm,95.7%，灰色—馬爾科夫轉(zhuǎn)移模型預(yù)測值和精度分別為10.07 mm，98.3%，以此得到表3的預(yù)測值和相對誤差。

表3 預(yù)測值和相對誤差

通過表3表示，GM-MC模型在高邊坡變形監(jiān)測過程中的使用誤差最大為5.7%，平均精度在98.1%以上。數(shù)據(jù)離散型在邊坡監(jiān)測前期較大，開挖擾動還會對其造成影響，灰色理論預(yù)測結(jié)果的精度低，預(yù)測的結(jié)果和實測值相互接近。結(jié)果表示，灰色—馬爾科夫模型應(yīng)用到高邊坡變形預(yù)測中具有良好的效果[6]。

4 結(jié)語

邊坡開挖屬于動態(tài)化過程，由于施工前期具有較大的擾動，邊坡現(xiàn)場監(jiān)測的水平位移離散性比較大?；疑R爾科夫模型充分考慮動態(tài)轉(zhuǎn)移概率，所以能夠應(yīng)用到開挖變形預(yù)測中。通過本文研究表示，本文所設(shè)計灰色—馬爾科夫模型的預(yù)測精度較高。