連接彈簧的連接體分離問題的再剖析

劉大明 江秀梅

摘?要：連接彈簧的連接體分離問題是一個典型的物理問題，也是困擾師生的疑難問題.對分離條件、分離位置及其之間的關(guān)系進行深度剖析，有利于彰顯這一問題的物理本質(zhì)，有利于從根源上避免在這類試題命制和解答過程中犯科學(xué)性錯誤.

關(guān)鍵詞：連接體;分離問題;分離條件;分離位置

1?提出問題

連接彈簧的連接體是高中物理試題中常見的情景模型.文獻[1]指出“命制或解答此類試題要避免犯科學(xué)性錯誤，先根據(jù)臨界條件確定分離位置，再由分離位置確證前提條件，是一條必經(jīng)之路”（下文簡稱“必經(jīng)之路”）.通過此思路確實能夠很好地規(guī)避部分科學(xué)性錯誤.但是，此思路所揭示的物理本質(zhì)還不夠透徹，并且文獻[1]還犯了另一個更隱蔽的科學(xué)性錯誤.為了從根源上徹底解決疑難，特撰此文把近期的深入反思與同仁分享交流，以期拋磚引玉，更上一層樓.為方便討論，先把問題展示如下：

問題?如圖1所示，質(zhì)量分別為mA、mB的A、B兩物體疊放在豎直輕質(zhì)彈簧上并保持靜止，A物體與彈簧焊接，彈簧下端固定.用豎直向上的恒力F拉B向上運動.恒力F多大時兩物體會分離，分離位置在何處，分離位置和恒力F具有什么關(guān)系？

2?分離問題再剖析

文獻[1]指出的“必經(jīng)之路”思維程序是正確的，但其揭示的內(nèi)涵尚有不足.再剖析時將彌補這一缺憾.

21?根據(jù)臨界條件確定分離條件與分離位置的關(guān)系

分離時的兩個臨界條件是F彈=0，aA=aB.設(shè)兩物體能夠分離應(yīng)提供的豎直向上恒力為F，分離時彈簧的壓縮量為x，兩物體共同加速度為a，彈簧的勁度系數(shù)為k.根據(jù)臨界條件，有：

mAg-kx=mAa①

mBg-F=mBa②

聯(lián)立兩式，可得

F=mBmAkx③

另外，設(shè)初態(tài)靜止時彈簧的壓縮量為x0，則有：

mAg+mBg=kx0④

不難理解，③式中x

22?根據(jù)前提條件確定分離條件

分離時連接體應(yīng)當(dāng)具有向上的速度，即分離時連接體的動能應(yīng)當(dāng)大于0.否則兩物體不分離，而是做簡諧運動.這就是所謂的分離與否的前提條件，由此得

Ek=[F-（mAg+mBg）]（x0-x）+12k（x20-x2）>0.⑤

由于x0-x>0，⑤式可寫為：

F-（mAg+mBg）+12k（x0+x）>0⑥

③、④式代入⑥式，可得

F>mB（mA+mB）2mB+mAg⑦

可見，只有所給恒力滿足⑦式時，兩物體才可能分離，這正是連接體的分離條件.注意到：臨界分離條件F0=mB（mA+mB）2mB+mAg，僅與兩物體的質(zhì)量有關(guān)，而與彈簧的勁度系數(shù)無關(guān).

23?分離條件與分離位置的函數(shù)圖象

由③、④式反代入⑦式，還可以得到

x>mA2mB+mAx0⑧

根據(jù)分離條件與分離位置的函數(shù)關(guān)系，分離位置在一個特定的范圍內(nèi)，即mA2mB+mAx0

24?特殊情況討論

（1）當(dāng)mA≠0，mB→0時

在這種情況下，只要恒定拉力F>0，在初始位置x0處即可分離.

（2）當(dāng)mB≠0，mA→0時

在這種情況下，當(dāng)恒定拉力F>12mBg時，均會在彈簧恢復(fù)原長位置x=0處發(fā)生分離.

3?“必經(jīng)之路”的誤區(qū)分析

在文獻[1]中，討論的是mA=mB=m的情況.根據(jù)“必經(jīng)之路”的指導(dǎo)，把條件F=12mg代入第③式，得到一個分離位置x=mg2k，然后再把F=12mg和x=mg2k代入⑤式得到Ek<0，從而指出在恒力F=12mg作用時，兩物體不可能發(fā)生分離，因此糾正了一道模擬試題命制中所犯的科學(xué)性錯誤.很遺憾，文獻[1]中又把x=mg2k代入⑤式得到“只有F>34mg時兩物體才會分離”的錯誤結(jié)論.根據(jù)前文分析可知，F(xiàn)>23mg時，兩物體就會發(fā)生分離，且分離位置的范圍為2mg3k

綜上反思可知：把一個恒力F代入臨界條件去確定分離位置，再由此分離位置代入前提條件，可以成功確證該恒力F是否導(dǎo)致兩物體分離，這正是“必經(jīng)之路”的價值所在.但是，在運用“必經(jīng)之路”時忽視了“分離條件”和“分離位置”之間的函數(shù)關(guān)系，又不可避免要陷入更加隱蔽的誤區(qū)之中，也阻礙了對分離問題的本質(zhì)理解.

4?小結(jié)

討論連接體分離問題時， 應(yīng)抓住分離時兩物體之間的彈力為零這一關(guān)鍵點.并且，若兩物體原來是共同運動的，在分離的瞬間兩物體的加速度仍相同，這是分離的物理本質(zhì)[2].文獻[1]中突破了文獻[2]的思維局限——重視分離臨界條件的同時，不能忽視分離前提條件.本文進一步突破“必經(jīng)之路”的局限性而指出：分離之“臨界條件”和“前提條件”互相呼應(yīng)，互相呼應(yīng)的關(guān)鍵在于分離條件與分離位置存在“一一對應(yīng)”的函數(shù)關(guān)系，這是分離問題的根源性物理本質(zhì).深刻理解這一根源性物理本質(zhì)，在命制和解答此類試題時才能得心應(yīng)手，不易犯科學(xué)性錯誤.

參考文獻：

[1]江秀梅，劉大明.連接彈簧的連接體分離條件的深度剖析——以一道模擬試題剖析為例[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2006，45（23）：33-34.

[2]徐凌峰，胡生青.與彈簧相連的聯(lián)接體的分離條件[J].中學(xué)物理，2009，27（11）：58-59.

（收稿日期：2020-01-02）