探索表達式規(guī)律巧解兩類數(shù)學題

謝莉

摘?要：我們換一個新的視角考察表達式kα+β（k為任意整數(shù)，α，β為常數(shù)），定義β為初始值，k的系數(shù)α稱為周期值，可以發(fā)現(xiàn)xx=kα+β，k∈Z表示的是以β為起點，其余各個x的值每隔α出現(xiàn)一次，且與β相差α的整數(shù)倍的實數(shù)集.從初始值和周期值的角度理解此表達式，可以巧妙地解決一類集合關(guān)系、三角函數(shù)任意角等問題.

關(guān)鍵詞：初始值;周期值;集合關(guān)系;任意角

高中數(shù)學課程中，在學習集合和三角函數(shù)時，會經(jīng)常接觸到表達式kα+β，其中k為任意整數(shù)，α，β為常數(shù).如x=k4+12，k∈Z.當我們?nèi)=-3，-2，-1，0，1，2，3，…時，可得x=-14，0，14，12，34，1，54，….經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)每兩個數(shù)之間均相差14，x的值以12為起點，每個x的值與12均相差14的整數(shù)倍.因此，對于一般的表達式x=kα+β，k∈Z，可以定義β為初始值，它是一個固定值，定義k的系數(shù)α為周期值， kα即表示與初始值β相差k個周期.從“周期”的角度理解此表達式，可以簡單快捷地解決以下兩類數(shù)學題.

1?“打點法”解集合關(guān)系問題

集合的關(guān)系問題是集合內(nèi)容的一個重要知識點，在高考和平時練習中均有這種類型的習題.

例1?（2002年廣東卷）設(shè)集合M={x|x=k2+14，k∈Z};N={x|x=k4+12，k∈Z}，則（?）.

A.M=NB.MNC.MND.M∩N=

通常有兩種方法：分類討論和列舉法. 但這兩種方法各有其缺點.分類討論比較抽象，部分學生難以理解為什么這樣分類;列舉法涉及到計算，容易出錯并且需要花費不少時間.下面介紹一種新方法——打點法，它能有效避免以上兩個問題.

1.1?確定初始值和周期值

對集合xx=kα+β，k∈Z，k為整數(shù)，k的系數(shù)α稱為周期值;β為初始值，它與周期無關(guān).

1.2?確定數(shù)軸的最小刻度

已知兩個集合A=xx=α1k+β1，k∈Z;B=xx=α2k+β2，k∈Z，取α1，β1，α2，β2四者的最小值（0除外）為數(shù)軸的最小刻度.

1.3?在數(shù)軸上列舉出集合的一些點

如對集合A=xx=α1k+β1，k∈Z，先在數(shù)軸上標出初始值β1，再在β1兩側(cè)每隔α1個周期打一個點.如此，在數(shù)軸上便標記有集合A的若干個點.同理，用不同的符號在同一數(shù)軸上標記集合B=xx=α2k+β2，k∈Z的若干個點.通過在數(shù)軸上打的點對比，就能分辨集合A，B的關(guān)系.

例如采用“打點法”解決上述高考題.

解?集合M的初始值為14，周期值為12;

集合N的初始值為12，周期值為14.

因此取14為數(shù)軸的最小刻度，并在數(shù)軸上用“”表示集合M的點：先在數(shù)軸上標記出初始值為14，然后每隔12打一點“”;同理，用“△”在同一數(shù)軸上標記出集合N的點，如圖1.

從圖中顯然可見MN.

例2?（1984年全國）數(shù)集X={（2n+1）π，n∈Z}與數(shù)集Y={（4k±1）π，k∈Z}之間的關(guān)系是（?）.

A.XYB.XYC.X=YD.X≠Y

解?集合X的初始值為π，周期值為2π;

集合Y的初始值為π和-π，周期值為4π.

因此取π為數(shù)軸的最小刻度，并在數(shù)軸上用“”表示集合X的點：先在數(shù)軸上標記出初始值π，然后每隔2π打一點“”;集合Y有兩個初值，先用“”表示初始值π，并在π的兩側(cè)每隔4π打一點“”;用“△”標志初值-π，并在-π的兩側(cè)每隔4π打一點“△”，如圖2.

從圖中顯然可見X=Y.

打點法的本質(zhì)是列舉法，由于其結(jié)合了數(shù)形結(jié)合思想，所以可避免繁復的運算和抽象的分類.實踐證明，這是一種被大部分不同基礎(chǔ)的學生所接受的辦法.

2?任意角的象限問題

從“周期”的角度，可由給出的角的集合輕松作出角的終邊，或者由給定的終邊寫出角的表達式.

例3?已知α是第二象限角，則α2是第象限角.

解?由于α是第二象限角，所以π2+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z.所以π4+kπ<α2<π2+kπ，k∈Z.

先把π4+kπ的終邊作出.在坐標系中先畫出π4的終邊，該終邊逆時針旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)過π時畫一條射線，可以發(fā)現(xiàn)，π4+kπ表示一、三象限的角平分線（圖3）.同理可作出π2+kπ的終邊.于是α2表示終邊在圖中陰影部分的角（圖4）.因此α2是第一或第三象限角.

例4?終邊在直線y=±x上的角的集合是.

解?終邊在y=x上且在第一象限的角為π4，令它作為初始值β，觀察發(fā)現(xiàn)每隔π2出現(xiàn)一個終邊，故周期值α為π2，代入表達式kα+β，故終邊在直線y=±x上的角的集合是{x|x=kπ2+π4，k∈Z}.

{x|x=kα+β，k∈Z}的本質(zhì)是以β為初始值，α為周期的數(shù)集.在這個視角下，后續(xù)課程中出現(xiàn)的三角函數(shù)周期、誘導公式、復數(shù)的根式方程的根的個數(shù)等問題就變得簡單易懂了.

參考文獻：

[1]歐陽光中，陳傳璋，等.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，2008.

（收稿日期：2019-12-15）