基于Dirac函數(shù)原理的箱型梁剪力滯效應(yīng)分析

周月娥，楊綠峰，李紅豫

(1.廣西民族大學(xué) 建筑工程學(xué)院，廣西 南寧 530006；2.工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧 530004；3.桂林理工大學(xué) 土木與建筑工程學(xué)院，廣西 桂林 541004)

0 引言

剪力滯效應(yīng)是箱型截面普遍存在的一種受力現(xiàn)象，忽略剪力滯效應(yīng)會(huì)使得箱梁結(jié)構(gòu)發(fā)生失穩(wěn)和局部破壞[1]。目前有較多針對(duì)剪力滯效應(yīng)分析的研究方法，其中能量變分法是一種應(yīng)用比較廣泛的解析理論方法。運(yùn)用能量變分法需要定義箱梁縱向位移函數(shù)，現(xiàn)有的方法主要有通過剪力滯函數(shù)[2-8]或附加撓度[9-11]來建立箱梁橫截面的縱向位移表達(dá)式。后者相對(duì)來講是一種比較新的方法，克服了前者在形函數(shù)選取和邊界條件處理方面存在的困難。但是，這2種方法研究多針對(duì)均布荷載作用情況，對(duì)集中彎矩作用下求解方法的研究比較少。研究表明除了箱梁截面形式、約束條件之外，荷載類型也影響剪力滯效應(yīng)。本文提出一種基于狄拉克函數(shù)[12]建立集中彎矩作用下箱型梁的總勢(shì)能泛函方法。采用由狄拉克函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)[13]來關(guān)聯(lián)得到集中彎矩作用下與均布荷載作用下相近的表達(dá)式。

本文所提方法需要求解箱梁附加撓度的域內(nèi)控制微分方程。由于外荷載是在梁上不連續(xù)分布的集中彎矩，在荷載作用處需補(bǔ)充一個(gè)邊界條件控制微分方程才可以求解[14]。因控制微分方程中含有狄拉克函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，一般的傳統(tǒng)求解方法難以處理。本文采用常數(shù)變易法[15]，將處理狄拉克函數(shù)的問題變成處理其一階導(dǎo)數(shù)的問題，其中對(duì)于狄拉克函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)積分的做法采用文獻(xiàn)[16]的方法，從而得到了附加撓度的相關(guān)表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)得到反映箱梁剪力滯效應(yīng)的附加撓度的一般表達(dá)式和剪力滯系數(shù)。針對(duì)文獻(xiàn)[5]中的箱型梁算例，進(jìn)行了應(yīng)力方面的計(jì)算，和文獻(xiàn)中的方法進(jìn)行了比較，然后對(duì)剪力滯系數(shù)進(jìn)行了計(jì)算，并與基于傳統(tǒng)能量變分法得到的剪力滯系數(shù)進(jìn)行比較。結(jié)果表明本文所提方法可靠有效并且精度更高，能夠有效處理箱型梁集中彎矩作用截面處引起的剪力滯系數(shù)突變，更能真實(shí)地反映箱梁截面的受力狀態(tài)。

1 狄拉克函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)性質(zhì)

狄拉克函數(shù)表示在集中的短時(shí)間內(nèi)作用的物理量，有些物理現(xiàn)象需要用這樣的函數(shù)來描述，如力學(xué)中瞬間作用的沖擊力。狄拉克函數(shù)在數(shù)學(xué)中的定義是

(1)

階梯函數(shù)h(x-ξ)是δ(x-ξ)的一個(gè)原函數(shù)，有h′(x-ξ)=δ(x-ξ)。定義為

(2)

δ′(x-ξ)表示狄拉克函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，其中狄拉克函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)積分為

(3)

式中：f(x)是(-∞,+∞)內(nèi)的任意一個(gè)函數(shù)。

2 箱型梁的控制微分方程

集中彎矩T作用下的箱型梁及其截面如圖1和圖2所示。圖1中，ξ代表集中彎矩T作用點(diǎn)的位置。圖2中，h表示翼緣與截面中性軸(與y軸重合)之間的距離，對(duì)應(yīng)于上、下翼板分別取hu和hb，b1、b2和b3分別表示兩腹板之間的上、下翼板寬度之半及懸出翼板的寬度，tu、tb分別表示上、下翼板的厚度，tw表示腹板的厚度，ht表示整個(gè)截面的高度。

箱梁的縱向位移函數(shù)可以定義為

(4)

圖1 箱型梁承受集中彎矩Fig.1 Box girder under concentrated bending moment

圖2 箱型梁橫截面尺寸Fig.2 Dimension of cross section

在集中彎矩T作用下，文獻(xiàn)[13]中把集中彎矩等效成分布荷載的處理方式如下：

qM=-Tδ′(x-ξ)，

(5)

在此基礎(chǔ)上，根據(jù)文獻(xiàn)[9-10]中的方法得到集中彎矩作用下箱梁的總勢(shì)能泛函：

(6)

根據(jù)最小勢(shì)能原理，對(duì)式(6)求一階變分，得到箱梁附加撓度和撓度的四階常微分方程：

(7)

(8)

式中：參數(shù)k、n的物理意義見文獻(xiàn)[10]，且有

(9)

3 箱型梁的邊界條件

式(6)所給出的勢(shì)能泛函的表達(dá)式與文獻(xiàn)[9-10]中的泛函表達(dá)式近似，區(qū)別在于式(6)中的外荷載勢(shì)能項(xiàng)，邊界條件沒有發(fā)生改變，具體的表達(dá)式如下：

(10)

(11)

(12)

(13)

當(dāng)外荷載作用是集中彎矩時(shí)，雖然從數(shù)學(xué)的角度可以等效成均布荷載來處理，但是實(shí)際上荷載是不連續(xù)分布的。根據(jù)集中彎矩作用處邊界條件處理的方法，補(bǔ)充集中彎矩作用點(diǎn)位置x=ξ處的變分條件[14]，有

δwa1(ξ)=δwa2(ξ)=δwa(ξ)，

(14)

δw′a1(ξ)=δw′a2(ξ)=δw′a(ξ)。

(15)

4 求解控制微分方程

將式(5)代入式(7)，得到附加撓度的四階常微分方程的表達(dá)式：

(16)

一般形式的微分方程的形式如下：

y″+py′+qy=f(x)。

(17)

根據(jù)p2-4q>0,p2-4q=0,p2-4q<0三種情況是要考慮方程(17)對(duì)應(yīng)的齊次方程特征方程根的虛實(shí)性。對(duì)比方程(16)和(17)可知：p=0，q=-k2，因此有p2-4q=4k2>0，所以直接參考了文獻(xiàn)[15]中求解方程(17)的做法來求解方程(16)。

式(17)對(duì)應(yīng)的齊次方程的2個(gè)基本解為

(18)

式(17)的通解為y=y1(x)C1(x)+y2(x)C2(x)，利用常數(shù)變易法[15]有

(19)

將f(x)=αδ′(x-ξ)代入式(19)得

(20)

(21)

對(duì)以上2個(gè)式子分別積分可以求得C1(x)和C2(x)的積分表達(dá)式，其中對(duì)于狄拉克函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)積分的做法利用式(3)來處理。

得到C1(x)和C2(x)的積分表達(dá)式后，繼而可以得到式(17)的通解表達(dá)式為

(22)

(23)

根據(jù)式(2)h(x-ξ)的性質(zhì)，上式變?yōu)?/p>

當(dāng)x<ξ時(shí)，

w″a1(x)=C1ekx+C2e-kx=B1shkx+B2chkx，

(24)

當(dāng)x≥ξ時(shí)，

(25)

對(duì)式(24)和(25)進(jìn)行積分和求導(dǎo)處理，可得

當(dāng)x<ξ時(shí)，

(26)

(27)

w?a1(x)=B1kchkx+B2kshkx，

(28)

當(dāng)x≥ξ時(shí)，

(29)

(30)

(31)

5 簡(jiǎn)支箱型梁剪力滯效應(yīng)分析

5.1 邊界條件及系數(shù)確定

簡(jiǎn)支箱型梁wa(x)的4個(gè)邊界條件為

(32)

聯(lián)立式(27)、(30)、(24)、(25)、(14)、(15)求解可得待定系數(shù)B1、B2、B3、B4、D1、D2、D3、D4如下：

(33)

5.2 附加撓度及撓度

根據(jù)Euler梁理論可以單獨(dú)確定集中彎矩作用下經(jīng)典梁撓度wc(x)。其中：

當(dāng)x<ξ時(shí)，

(34)

當(dāng)x≥ξ時(shí)，

(35)

將式(33)中的系數(shù)代入式(27)和(30)可以得到附加撓度wa(x)：

當(dāng)x<ξ時(shí)，

(36)

當(dāng)x≥ξ時(shí)，

(37)

最終確定箱梁撓度w(x)=wc(x)+wa(x)。

5.3 應(yīng)力及剪力滯系數(shù)

集中彎矩作用下，箱梁的應(yīng)力由下式確定：

(38)

剪力滯系數(shù)：

(39)

左右簡(jiǎn)支端，得到撓度和附加撓度的一階導(dǎo)數(shù)后，由下式求剪力滯系數(shù)：

(40)

6 算例分析

采用文獻(xiàn)[5]中的算例，橫截面尺寸有：tu=tb=6 mm，tw=8 mm，ht=80 mm，b1=b2=b3=96 mm，跨長(zhǎng)l=80 cm，彈性模量E=3 000 MPa，泊松比μ=0.385，承受集中彎矩M=1000 N·mm。

圖3 x=20 cm處集中彎矩作用下沿梁長(zhǎng)分布的縱向應(yīng)力Fig.3 Longitudinal stress along the girder length under the concentrated bending moment at the x=20 cm span

當(dāng)彎矩作用在x=20 cm處時(shí)，計(jì)算翼板與腹板交界處的正應(yīng)力，比較本文基于撓度計(jì)算應(yīng)力的方法和文獻(xiàn)[5]的計(jì)算方法所得結(jié)果，如圖3所示。從圖中可以看出，2種方法計(jì)算的應(yīng)力值吻合較好，而文獻(xiàn)中的方法已經(jīng)與初等梁理論計(jì)算結(jié)果和有限元數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了算法的計(jì)算精度。因此，可以間接地驗(yàn)證本文方法有以下特點(diǎn)：①利用狄拉克函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)將集中彎矩等效成分布荷載是可行的，從而為箱梁在各種外荷載作用下總勢(shì)能泛函的建立提供了便利；②從附加撓度的角度出發(fā)建立的箱型梁縱向位移函數(shù)，依此推導(dǎo)出來的集中彎矩作用下箱型梁應(yīng)力計(jì)算公式是可靠有效的。此外，本文方法依然保持了利用外荷載建立總勢(shì)能泛函中外力勢(shì)能所具有的優(yōu)勢(shì)[10]。

當(dāng)彎矩作用在x=40 cm處時(shí)，沿著跨長(zhǎng)計(jì)算不同截面處的剪力滯系數(shù)，比較本文基于撓度定義的計(jì)算方法和文獻(xiàn)[5]中基于應(yīng)力定義的計(jì)算方法，結(jié)果如圖4所示。從圖中可以看出，在彎矩作用處左端和右端，基于應(yīng)力定義的剪力滯系數(shù)λσ和基于撓度定義的剪力滯系數(shù)λw沿著跨長(zhǎng)分別呈現(xiàn)上升和下降的趨勢(shì)。在彎矩作用處，由于彎矩會(huì)發(fā)生突變，所以文獻(xiàn)[5]方法計(jì)算的λσ發(fā)生突變，即在x<ξ和x≥ξ情況下推導(dǎo)計(jì)算所得到的λσ并不相等。在x=35 cm和x=45 cm處，λσ=2.158 1，開始有發(fā)生突變的趨勢(shì)。而本文方法在彎矩作用處推導(dǎo)計(jì)算所得到的剪力滯系數(shù)λw的值是比較相近的，沒有突變趨勢(shì)。

圖4 彎矩作用在x=40 cm處的剪力滯系數(shù)Fig.4 Shear lag coefficient when load act on x=40 cm

當(dāng)彎矩作用在x=60 cm處時(shí)，計(jì)算沿跨長(zhǎng)不同截面處的剪力滯系數(shù)，比較本文基于撓度定義的計(jì)算方法和文獻(xiàn)[5]中基于應(yīng)力定義的計(jì)算方法，計(jì)算結(jié)果如圖5所示。從圖中可以看出，在x=57.5 cm和x=62.5 cm處，λσ開始有趨于突變的趨勢(shì)。而本文基于撓度定義的剪力滯系數(shù)在x=60 cm左右兩端沒有突變，x<ξ和x≥ξ情況下推導(dǎo)計(jì)算所得到的剪力滯系數(shù)λw在彎矩作用處近似相等。

圖5 荷載作用在x=60 cm處的剪力滯系數(shù)Fig.5 Shear lag coefficient when load act on x=60 cm

7 結(jié)論

本文提出基于狄拉克函數(shù)建立集中彎矩作用下箱型梁的總勢(shì)能泛函方法，利用狄拉克函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)積分的性質(zhì)推導(dǎo)了附加撓度的一般表達(dá)式和剪力滯系數(shù)解，獲得以下結(jié)論：

① 采用狄拉克函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)將集中彎矩等效成分布荷載，從而有效地建立了箱梁的總勢(shì)能泛函，使得泛函的表達(dá)式只是跟分布荷載有關(guān)的表達(dá)式。對(duì)泛函求一階變分得到了附加撓度的常微分方程。采用常數(shù)變易法求解含有狄拉克函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的微分方程，關(guān)鍵步驟是要處理好狄拉克函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和函數(shù)乘積的積分。

② 通過算例對(duì)比分析表明，基于附加撓度定義的應(yīng)力計(jì)算方法與傳統(tǒng)的應(yīng)力計(jì)算方法所得結(jié)果差別不大，驗(yàn)證了本文基于狄拉克函數(shù)的性質(zhì)得到的剪力滯效應(yīng)計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。在接近彎矩作用截面處，相較于傳統(tǒng)基于應(yīng)力定義的剪力滯系數(shù)有趨于突變?cè)龃蟮内厔?shì)，本文所提方法能夠有效處理箱型梁集中彎矩作用截面處引起的剪力滯系數(shù)突變，更能真實(shí)地反映箱梁截面的受力狀態(tài)。