基于等效靜態(tài)載荷法的平衡吊臂架結(jié)構(gòu)優(yōu)化

劉 宇，朱成章，尹 劍，馬付建，楊大鵬，沙智華，張生芳

（大連交通大學機械工程學院，遼寧大連116028）

平衡吊是一種新型的高效節(jié)能的輕型起重設(shè)備，其運動主體為臂架構(gòu)件。對于這種在動態(tài)系統(tǒng)中的結(jié)構(gòu)部件而言，基于線性靜態(tài)響應(yīng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果往往無法滿足實際工況的需求。20世紀90年代，Chol等［1-2］提出的等效靜態(tài)載荷理論突破了以往動態(tài)優(yōu)化領(lǐng)域局限于簡單結(jié)構(gòu)單自由度系統(tǒng)的不足，將動態(tài)系統(tǒng)所受載荷合理轉(zhuǎn)化為等效的靜態(tài)載荷，為平衡吊動態(tài)拓撲優(yōu)化提供了理論基礎(chǔ)。學者們成功地將該方法應(yīng)用于高速機構(gòu)的動態(tài)優(yōu)化中，證明了該方法的有效性［3］。本文針對平衡吊動力學系統(tǒng)中臂架系統(tǒng)的外形結(jié)構(gòu)，建立了平衡吊動態(tài)剛?cè)狁詈夏Ｐ?，?yīng)用變密度方法，提出一種基于等效靜態(tài)載荷法的系統(tǒng)級結(jié)構(gòu)動態(tài)輕量化設(shè)計方法。

1 等效靜態(tài)載荷原理

在線性靜態(tài)分析中總存在某種載荷，可以替代運動結(jié)構(gòu)所受動態(tài)載荷以產(chǎn)生與之相同的系統(tǒng)響應(yīng)場。在動態(tài)載荷的作用下，結(jié)構(gòu)表現(xiàn)最明顯的一個特征就是動態(tài)載荷造成的位移。因此，可引入一個靜態(tài)載荷，使物體在受該靜態(tài)載荷作用下變形，形成的位移場與結(jié)構(gòu)在承受某一動態(tài)載荷時的位移場相同，形成位移場等效，如圖1所示。

圖1 靜態(tài)載荷等效過程Fig.1 Static load equivalent process

圖1示意了靜態(tài)載荷的等效過程。在規(guī)定的動力學分析中，總的計算時間步為n+1步，在等效時將每個計算時間步等效為靜態(tài)分析的一個工況，并且要求由第Si個等效靜態(tài)載荷計算得到的系統(tǒng)位移響應(yīng)等價于對應(yīng)時間節(jié)點的動態(tài)位移響應(yīng)。因此，動力學分析中的總時間步數(shù)等于線性靜態(tài)分析中的總工況數(shù)。在不考慮阻尼的情況下，動態(tài)載荷作用下物體結(jié)構(gòu)的運動微分方程為

式中：M（b）為動態(tài)質(zhì)量矩陣；K（b）為動態(tài)剛度矩陣；d（t）為位移矢量；f（t）為外部動態(tài)載荷向量。

根據(jù)有限元理論，在結(jié)構(gòu)線性靜態(tài)分析中存在如下表達式：

式中：feq為外部靜態(tài)載荷向量；d為靜態(tài)位移矢量。

根據(jù)位移場等效原理，在任意時刻t，等效靜態(tài)載荷將使物體產(chǎn)生與受到動態(tài)載荷作用相同的位移場，即

式中：KL（b）為在線性靜態(tài)分析中物體結(jié)構(gòu)剛度矩陣。在任一時刻，對于任意一個動態(tài)載荷都存在一個與之相對應(yīng)的等效靜態(tài)載荷。即t=ti等價于s=si，對應(yīng)得到n組等效靜態(tài)載荷。

由式（2）和式（3）可知，通過結(jié)構(gòu)線性靜態(tài)分析，得到的靜態(tài)位移矢量等于其對應(yīng)時刻節(jié)點非線性動態(tài)位移矢量。即當?shù)刃ъo態(tài)載荷作為外力施加于結(jié)構(gòu)線性靜態(tài)優(yōu)化中時，靜態(tài)線性的位移場響應(yīng)與動態(tài)非線性的位移場響應(yīng)相同。且據(jù)有限元理論，應(yīng)力通過節(jié)點位移計算得到，因此，相同的位移場也會產(chǎn)生相同的應(yīng)力場。

2 結(jié)構(gòu)動態(tài)拓撲優(yōu)化技術(shù)及設(shè)計過程

2.1 拓撲優(yōu)化方法

源于均勻化方法的變密度法是目前在連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化領(lǐng)域應(yīng)用最廣、影響最深的一種優(yōu)化方法［4］。通過人為設(shè)定材料宏觀物理參數(shù)，變密度法把連續(xù)體結(jié)構(gòu)離散成有限元模型，并將每個單元的密度定義為設(shè)計變量，可在0（無實體的空集）和1（實固體）之間變化，其本質(zhì)是為了找尋最佳的材料分布。

由于產(chǎn)生中間密度而導致優(yōu)化結(jié)果出現(xiàn)的棋盤格現(xiàn)象，將使優(yōu)化結(jié)果不盡人意。因此，必須引入某種懲罰因子，盡可能消除中間密度區(qū)域并迫使最終的設(shè)計變量值為 0或1［5］：

2.2 動態(tài)拓撲優(yōu)化流程

對平衡吊臂架系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進行動態(tài)拓撲優(yōu)化設(shè)計，需要以動力學模型為基礎(chǔ)。在優(yōu)化過程中，可將通過分析得到的動態(tài)載荷作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型的載荷邊界條件。其結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化設(shè)計步驟如下：

步驟1設(shè)置動態(tài)載荷工況，對平衡吊臂架系統(tǒng)模型進行動力學仿真。

步驟2根據(jù)式（1）計算仿真時間段內(nèi)所有時間間隔內(nèi)的位移場，再利用位移場等效原理，根據(jù)式（2）分別計算對應(yīng)時間間隔內(nèi)的等效靜態(tài)載荷。

步驟3按照時間步將等效靜態(tài)載荷（Equivalent Static Loads，ESL）轉(zhuǎn)變?yōu)槎喙r外部載荷，將ESL作為多重載荷條件應(yīng)用于優(yōu)化過程。

步驟4求解靜態(tài)線性響應(yīng)問題，不斷重復這個過程直到滿足收斂條件‖ ‖bk-bk-1≤ε，ε為收斂誤差范圍參數(shù)。

其中，步驟4求解線性響應(yīng)方程如下：

式中：k為循環(huán)系數(shù)；gj為優(yōu)化問題的約束函數(shù)。

3 平衡吊臂架系統(tǒng)動態(tài)優(yōu)化

3.1 仿真模型建立

研究對象為平衡吊臂架系統(tǒng)，主要包括大橫臂、小橫臂、吊重臂、連桿、滾輪、臺架等部件，主要結(jié)構(gòu)如圖2所示。本文針對平衡吊四連桿臂架系統(tǒng)進行優(yōu)化，其余部件僅用于傳遞載荷及導向。平衡吊設(shè)計為可吊起1 000 kg的重物，在此針對平衡吊兩個典型工況分別進行分析［6］。當?shù)蹉^處掛起1 000 kg重物后：①垂直運動，固定滾輪C，在驅(qū)動桿上（即ABD桿的A端）施加豎直方向勻速驅(qū)動，模擬吊鉤上提重物過程；②水平運動，驅(qū)動桿固定，在F點處施加水平方向勻速驅(qū)動，模擬手推吊鉤迫使C點的滾輪沿槽水平運動。

圖2 平衡吊結(jié)構(gòu)原理圖Fig.2 Schematic diagram of balanced crane structure

其余部分關(guān)鍵部件運動關(guān)節(jié)設(shè)置如表1所示。

表1 剛?cè)狁詈夏Ｐ椭懈鞑考g的約束關(guān)系Tab.1 Constraints between components in a rigidflexible coupling model

用計算機工程應(yīng)用軟件Creo建立平衡吊系統(tǒng)三維模型，并導入Hypermesh中進行有限元前處理，臂架系統(tǒng)均采用四面體網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，去除原模型中不影響分析的細小結(jié)構(gòu)以便于有限元網(wǎng)格劃分。四連桿臂架系統(tǒng)材質(zhì)選用Q345B結(jié)構(gòu)鋼，其抗拉強度σb≤490 MPa，條件屈服強度σ0.2≤345 MPa，彈性模量E=2.06×1011N/m2，泊松比 0.25，密度 ρ=7 850 kg/m3。在有限元分析基礎(chǔ)上，采用CMS模態(tài)綜合技術(shù)將大橫臂、小橫臂、吊重臂、連桿轉(zhuǎn)化為多體動力學中的柔性體，并保留前20階非剛體模態(tài)，其余部件作為剛性體處理，前處理后平衡吊動力學模型如圖3所示。

圖3 平衡吊有限元模型Fig.3 Balanced crane finite element model

圖4 骨架系統(tǒng)應(yīng)力云圖Fig.4 Skeleton system stress cloud diagram

3.2 動力學仿真結(jié)構(gòu)

通過對平衡吊系統(tǒng)在兩種工況下的運動仿真，可得到各個連接部件之間作用的動態(tài)載荷以及在載荷作用下結(jié)構(gòu)的動態(tài)應(yīng)力。平衡吊從初始位置抬起到最高點用時20 s，從作業(yè)范圍最外側(cè)移動到最內(nèi)側(cè)用時20 s。設(shè)定兩種工況仿真計算時間為20 s，步長0.1 s。取5，10，15和20 s時間節(jié)點等效應(yīng)力，如圖4所示，兩種工況下最大動態(tài)應(yīng)力均出現(xiàn)在ABD桿上。平衡吊臂架系統(tǒng)在垂直仿真時段內(nèi)最大動態(tài)應(yīng)力出現(xiàn)在0.20～0.25 s之間的峰值處，該值為246.3 MPa，如圖5（a）所示；在水平運動仿真時段內(nèi)最大動態(tài)應(yīng)力出現(xiàn)在0.20～0.25 s之間的峰值處，該值為215.1 MPa，如圖5（b）所示。

圖5 臂架系統(tǒng)最大應(yīng)力曲線Fig.5 Maximum stress curve of boom system

3.3 動態(tài)優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學模型

應(yīng)變能是以應(yīng)變和應(yīng)力的形式貯存在物體中的勢能。在有限元理論中，單元應(yīng)變能公式為

式中：B為應(yīng)變矩陣；D為彈性矩陣；｛δi｝為單元位移矩陣。

由于單元矩陣

所以單元應(yīng)變能公式又可以這樣表述：

式中：K為剛度矩陣；U為單元節(jié)點位移矩陣。

因此，可以將應(yīng)變能作為結(jié)構(gòu)剛度的評價指標，應(yīng)變能越小剛度越大。結(jié)構(gòu)應(yīng)變能最小的拓撲優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型建立如下：

式中：P為變密度法定義的單元相對密度矢量；Δ為質(zhì)量分數(shù)最大值；ρmin為單元相對密度最小值。

在變密度法中，材料密度處于［0，1］分布，由于ρi=0時，代表單元無材料，對應(yīng)單元剛度矩陣為0，將導致結(jié)構(gòu)剛度矩陣奇異，難以求解。因此，引入ρmin代替ρ≤ρmin的單元，代表該單元處沒有材料，而這些單元剛度值極小，代替后對整體運算精度影響不大。

3.4 結(jié)構(gòu)動態(tài)拓撲優(yōu)化結(jié)果及分析

為了滿足平衡吊動態(tài)特性，以平衡吊機構(gòu)最大應(yīng)變能最小為目標函數(shù)，以機構(gòu)質(zhì)量為約束條件，建立優(yōu)化區(qū)域動態(tài)優(yōu)化設(shè)計模型，即在機構(gòu)應(yīng)力變化不超過允許值的情況下，對平衡吊四連桿臂架系統(tǒng)同時進行動態(tài)優(yōu)化，避免單獨優(yōu)化各桿件時相互間承受載荷的變化對優(yōu)化結(jié)果的干擾。在優(yōu)化設(shè)計時采用的質(zhì)量約束僅運用到包含設(shè)計空間的模型部分，以此來控制其優(yōu)化結(jié)果的材料保留量。質(zhì)量約束為0.8（優(yōu)化結(jié)果保留材料不超過原材料的80%）時，兩種工況下平衡吊臂架系統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果如圖6所示。

分析結(jié)構(gòu)動態(tài)拓撲優(yōu)化結(jié)果，平衡吊垂直運動與水平運動條件下，得到的桿件優(yōu)化構(gòu)型具有相似性。究其本質(zhì)，是因為在動力學仿真時，兩種工況下的臂架系統(tǒng)最大應(yīng)力曲線有相似的走勢，此時根據(jù)等效靜態(tài)載荷原理，得到的臂架系統(tǒng)等效靜態(tài)載荷也具有相似的變化趨勢，而作為動態(tài)優(yōu)化的邊界條件，等效靜態(tài)載荷將對優(yōu)化結(jié)果起到至關(guān)重要的影響。從結(jié)果中可以看出：ABD桿外部左右兩側(cè)在厚度方向上被去除了部分材料，且主要變化區(qū)域為桿件底側(cè)，頂側(cè)由于需要承載大部分拉應(yīng)力而得到保留；BC桿作為與滾輪相連的結(jié)構(gòu)桿件，其大體形狀被保留，最外圍輪廓部分材料由于對結(jié)構(gòu)承載貢獻不大而被去除；CE桿在平衡吊工作時主要承載壓應(yīng)力，其優(yōu)化結(jié)果的外輪廓更趨近于圓柱體；DEF桿內(nèi)部在桿件長度方向形成通孔，外輪廓類似于ABD桿在左右兩側(cè)被去除了少部分材料。垂直運動、水平運動工況下平衡吊優(yōu)化前后臂架系統(tǒng)各桿件參數(shù)對比分別如表2和表3所示。

圖6 結(jié)構(gòu)動態(tài)拓撲優(yōu)化結(jié)果Fig.6 Structural dynamic topology optimization results

表2 垂直運動工況下的結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Results of dynamic optimization of structuresunder vertical motion conditions

表3 水平運動工況下的結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Results of dynamic optimization of structuresunder horizontal motion conditions

從表2和表3中的數(shù)據(jù)對比可以得出：在平衡吊垂直運動與水平運動兩種工況中，優(yōu)化后的臂架系統(tǒng)各桿質(zhì)量均有一定程度的減小。垂直運動工況中，ABD桿質(zhì)量減少了20.38%，BC桿質(zhì)量減少了25.24%，CE桿質(zhì)量減少了22.57%，DEF桿質(zhì)量減少了21.55%；水平運動工況中，ABD桿質(zhì)量減少了23.68%，BC桿質(zhì)量減少了23.27%，CE桿質(zhì)量減少了30.33%，DEF桿質(zhì)量減少了26.41%。優(yōu)化后的最大應(yīng)力與優(yōu)化前相比均稍有增大，這是因為在優(yōu)化過程中，由于存在質(zhì)量分數(shù)的約束限制，臂架系統(tǒng)各桿件均因去除部分材料而降低了剛度，即便如此，平衡吊臂架系統(tǒng)優(yōu)化后的各桿應(yīng)力最大值均遠小于材料屈服強度345 MPa。

4 平衡吊臂架系統(tǒng)輕量化設(shè)計

4.1 動態(tài)優(yōu)化結(jié)果重構(gòu)

結(jié)合兩種工況下平衡吊動態(tài)拓撲優(yōu)化的結(jié)果，給出一種平衡吊臂架系統(tǒng)的重構(gòu)方案。平衡吊各桿件重構(gòu)模型如圖7所示，該方案加強了各桿件在關(guān)鍵傳力部位的結(jié)構(gòu)，基本繼承了動態(tài)拓撲優(yōu)化的結(jié)果構(gòu)型，并考慮的各桿件在工程中的實際可制造性。

圖7 平衡吊重構(gòu)模型Fig.7 Reconstruction model of balance crane

對重構(gòu)模型進行動態(tài)應(yīng)力分析，網(wǎng)格劃分采用四面體結(jié)構(gòu)，設(shè)定基本參數(shù)、仿真時間、步長與原結(jié)構(gòu)動力學仿真一致，得到平衡吊臂架系統(tǒng)優(yōu)化后最大應(yīng)力變化曲線，此時最大應(yīng)力仍出現(xiàn)在ABD桿上，如圖8所示。

圖8 優(yōu)化后臂架系統(tǒng)最大應(yīng)力曲線Fig.8 Optimize the maximum stress curve of the rear boom system

兩種工況下的重構(gòu)結(jié)構(gòu)分析結(jié)果對比如表4所示。

表4 水平運動工況下的結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化結(jié)果Tab.4 Structural dynamic optimization results under horizontal motion conditions

重構(gòu)后的臂架系統(tǒng)各桿件質(zhì)量均有一定程度的減?。篈BD桿質(zhì)量減少了26.90%，BC桿質(zhì)量減少了28.57%，CE桿質(zhì)量減少了17.62%，DEF桿質(zhì)量減少了38.67%。重構(gòu)后的最大應(yīng)力與優(yōu)化前相比均稍有增大，但各桿應(yīng)力最大值均遠小于材料屈服強度345 MPa，滿足平衡吊設(shè)計要求。

5 結(jié)論

本文針對平衡吊動力學系統(tǒng)中臂架系統(tǒng)的外形結(jié)構(gòu)，建立了平衡吊動態(tài)剛?cè)狁詈夏Ｐ?，并?yīng)用等效移動載荷法，提出一種基于等效靜態(tài)載荷法的系統(tǒng)級結(jié)構(gòu)動態(tài)輕量化設(shè)計方法，所得結(jié)論如下：①通過等效靜態(tài)載荷法將非線性多體動力學分析與線性靜態(tài)結(jié)構(gòu)優(yōu)化相結(jié)合，可以實現(xiàn)大型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)級動態(tài)拓撲優(yōu)化；②采用等效靜態(tài)載荷法對平衡吊臂架系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進行輕量化設(shè)計，需綜合考慮多個工況下的動力學分析結(jié)果。本文根據(jù)不同工況下平衡吊臂架系統(tǒng)的承載規(guī)律以及不同工況下的動態(tài)優(yōu)化結(jié)果，給出了一種平衡吊臂架系統(tǒng)構(gòu)型方案。該方案在滿足各桿結(jié)構(gòu)強度的前提下，各桿質(zhì)量均有較大幅度減小，為平衡吊臂架系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了參考。