由簡單生成復(fù)雜
——哲學(xué)視角下的微積分

焦 華，謝朝東

(1.貴州商學(xué)院，貴陽 550014； 2.貴州民族大學(xué)，貴陽 550025)

1 引言

中國古代哲學(xué)的五行理論認(rèn)為：金木水火土是構(gòu)成物質(zhì)世界的五種基本元素。計算機(jī)中五筆字型漢字錄入法共有130個字根，由這些字根可生成所有漢字。其中金木水火土是鍵盤上五個鍵的首字根，其漢字編碼依次為：金——qqqq、木——ssss、水——iiii、火——oooo、土——ffff。26個英文字母的排列組合可生成所有英文單詞，這種特征使得英文錄入簡單易行。從文字差異可推測文化及思維差異：國人善于將簡單問題復(fù)雜化？英美人善于將復(fù)雜問題簡單化？世界豐富多彩的顏色是由紅色、綠色、藍(lán)色(RGB)這三種基本色生成，稱之為色彩學(xué)中的“三色理論”。順序結(jié)構(gòu)、分支結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、函數(shù)調(diào)用回返結(jié)構(gòu)是計算機(jī)程序設(shè)計中的四種基本結(jié)構(gòu)，由它們有限次的排列組合、有限次的相互嵌套可生成任何復(fù)雜的程序代碼[1]。

總之，自然與社會的發(fā)展都是從低級到高級、從簡單到復(fù)雜的運動過程。由此哲學(xué)觀點出發(fā)，考察微積分中由簡單生成復(fù)雜的相關(guān)內(nèi)容[2]。

2 “點生成圖”——函數(shù)圖形由點構(gòu)成

函數(shù)圖形建立在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，或者說函數(shù)圖形依賴于具體的坐標(biāo)系[3]。比如隱函數(shù)x2+y2=1在直角坐標(biāo)系下的圖形是一個圓，在斜坐標(biāo)系下的圖形就不是一個圓，在坐標(biāo)軸度量單位不相等的直角坐標(biāo)系下的圖形也不是一個圓。

為什么一些公眾人物充滿爭議？其實很多時候是“坐標(biāo)系”不同引起的[4]。坐標(biāo)系其實是一種建立了“數(shù)”與“點”聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，自然具有多樣性?！包c生成圖”的含義是指平面或空間的圖形是由點構(gòu)成的，比如平面上的曲線、空間中的曲面等均由點生成，“點”是圖形最基本的元素。Matlab中的 Plot函數(shù)就是據(jù)此原理由足夠多的“點”采用“描點法”繪制圖形[5]。電腦或手機(jī)的分辨率是清晰度的一個指標(biāo)，反映的是“像素點”的多或少，而點陣圖(位圖)是由“像素點”生成的。

3 由基本初等函數(shù)生成初等函數(shù)

微積分中有六類基本初等函數(shù)：常數(shù)函數(shù)y=c、冪函數(shù)y=xα、指數(shù)函數(shù)y=ax、對數(shù)函數(shù)y=logax、三角函數(shù)系列、反三角函數(shù)系列[6]。

初等函數(shù)是指將六類基本初等函數(shù)作有限次的加減乘除四則運算以及有限次的函數(shù)復(fù)合運算所得到的函數(shù)?？梢哉f是“無聊”或“無奈”，也可以說是“有趣”，微積分大部分內(nèi)容是對豐富多彩的、各種各樣的初等函數(shù)求導(dǎo)、求微分、求不定積分、求定積分。計算一階導(dǎo)數(shù)不夠，還要計算2階導(dǎo)數(shù)……n階導(dǎo)數(shù)；計算一重積分(定積分)不夠，還要計算2重積分……n重積分；對顯函數(shù)求導(dǎo)不夠，還要對隱函數(shù)求導(dǎo)[4]。

4 有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f(x)可由簡單冪函數(shù)x0,x1,x2…xn…生成

微積分也稱為數(shù)學(xué)分析，分析方法就是把整體的研究對象剖分為各個局部部分，然后加以考察和認(rèn)識。因此很多時候即使函數(shù)f(x)有廣闊的定義域，也是以考察x0的一個小鄰域U(x0)作為出發(fā)點。泰勒中值定理(也稱為泰勒公式)就是這樣做的，要求函數(shù)f(x)在小鄰域U(x0)內(nèi)具有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，結(jié)論是對任一x∈U(x0)，有[6]：

也可以寫成f(x)=Pn(x)+Rn(x).其中：

探尋泰勒公式過程的思想亮點是針對x0的鄰域構(gòu)造多項式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n，而后用待定系數(shù)法求出多項式所有系數(shù)[5]。

泰勒公式的本質(zhì)是在x0的一個小鄰域U(x0)內(nèi)用n階(次)泰勒多項式Pn(x)逼近原有函數(shù)f(x)，這種近似有誤差，誤差為Rn(x)。容易看出Pn(x)是由f(x)生成的，這是因為Pn(x)可用f(x)在x0點的函數(shù)值及各階導(dǎo)數(shù)值構(gòu)造，即由f(x)可構(gòu)造(或生產(chǎn))Pn(x)，Pn(x)因f(x)改變而改變，它們是有“血緣關(guān)系”的。形象地說：f(x)生個兒子Pn(x)很像自己，不太像的有誤差的地方為Rn(x)。Rn(x)可表示為：Rn(x)=o[(x-x0)n].這是皮亞諾型余項形式。

將代數(shù)表示與幾何直觀建立關(guān)聯(lián)：函數(shù)f(x)在小鄰域U(x0)內(nèi)的曲線足夠光滑，當(dāng)n=0時，泰勒中值定理變成了拉格朗日中值定理f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x-x0)，因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，幾何意義是“以點代線”。

取x0=0，得到的泰勒公式稱為麥克勞林公式，帶有皮亞諾型余項的麥克勞林公式為：

常見的初等函數(shù)的麥克勞林公式如下：

寫出這些常見的麥克勞林公式是為了觀察比較：左邊函數(shù)千差萬別，右邊主體部分卻是由冪函數(shù)x0,x1,x2…xn…生成的多項式。

歸納總結(jié)：泰勒公式的內(nèi)容簡言之即函數(shù)的多項式逼近，而多項式是由最簡單的冪函數(shù)生成。

(余項或誤差項趨于0)。

取x0=0，得到的泰勒級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù)，這時f(x)展開成了關(guān)于x的冪級數(shù)：

微積分中已證明f(x)若能展開成關(guān)于x的冪級數(shù)，那么展開式一定是唯一的，一定是麥克勞林級數(shù)。觀察上式：左邊一項可分解成右邊無窮多項；右邊無窮多項可合并成左邊一項。左邊函數(shù)f(x)的任意性可千差萬別，右邊卻是由非負(fù)整數(shù)次方冪函數(shù)x0,x1,x2…xn…的線性組合生成。不同的函數(shù)只是線性組合的方式(系數(shù))不同而已。比如：

結(jié)論：非負(fù)整數(shù)次方冪函數(shù)x0,x1,x2…xn…是構(gòu)成任何有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的基本元素，由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間上有任意階導(dǎo)數(shù)，因此任何初等函數(shù)均可由x0,x1,x2…xn…的線性組合生成。如同可利用一堆積木塊搭建城堡、大橋、火車等，x0,x1,x2…xn…類似于積木塊，可根據(jù)實際需要利用它們搭建生成各種各樣的初等函數(shù)。

5 從“線積累生成面”到“面積累生成體”

其實曲邊梯形面積只是定積分概念導(dǎo)入的一個引例，其過程具體化為：將曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形，每個小曲邊梯形用一個小矩形來近似，注意這里若用小直邊梯形近似小曲邊梯形，直觀上誤差將更小、效果更好，為什么沒有這樣做？這是為了保證定積分的廣泛應(yīng)用性，因為定積分從現(xiàn)實原型抽象出來，除了曲邊梯形面積外，還有變速直線運動的路程、變力沿直線做功等。再有就是為了保證計算的簡便性。每個小曲邊梯形用一個小矩形近似有誤差，n個小曲邊梯形之和用n個對應(yīng)小矩形之和近似是誤差的n次積累，但是微積分的鮮明特色之一是“取極限可消除一切誤差(偏差)”，因此當(dāng)最大區(qū)間長度趨于0時，不再有誤差，一切迎刃而解！最大區(qū)間長度λ(Δ)→0將導(dǎo)致所有的Δxi→0(i=1,2…n)，這表明所有的小矩形的底邊趨于0，小矩形變成了“線”，因此定積分(一重積分)的幾何解釋就是“線積累生成面”。因為“線”的面積為0，因此定積分(一重積分)的思想是先化整為零，再積零為整。

二重積分的定義與定積分(一重積分)類似，當(dāng)被積函數(shù)f(x,y)≥0時，幾何意義是曲頂柱體的體積。其過程具體化為：將曲頂柱體任意分割成n個小曲頂柱體，每個小曲頂柱體用一個小平頂柱體來近似。二重積分的計算是將二重積分化為二次積分，比如在直角坐標(biāo)系下積分區(qū)域D為X—型時可得[7]：

6 結(jié)語

“由簡單生成復(fù)雜”是宇宙的基本法則，在微積分中得到了充分的體現(xiàn)。微積分幾乎是所有本科大學(xué)生必學(xué)的重要基礎(chǔ)課，通常開設(shè)兩個學(xué)期，同時也是高職高專必學(xué)的數(shù)學(xué)課，通常開設(shè)一個學(xué)期(只講授一元函數(shù)微積分學(xué))。因此，對微積分教育教學(xué)的研究是非常必要的[8]。用工具論的觀點定位微積分教育教學(xué)過于狹隘，將微積分視為可部分解讀世界的哲學(xué)更為合理。恩格斯贊譽微積分是人類精神最偉大的成果，足以可見微積分在那個時代對哲學(xué)的深刻影響[9]。

在實際教學(xué)中，微積分的抽象性與復(fù)雜性會讓很多大學(xué)生感覺在讀“天書”，枯燥無味、難以理解、沒有興趣。張景中院士多次強(qiáng)調(diào)：“優(yōu)秀教師應(yīng)向同學(xué)展示數(shù)學(xué)思維的美”，因此對于教師來說，高屋建瓴、深入淺出，引領(lǐng)學(xué)生深刻理解微積分的思想方法，體驗微積分與哲學(xué)結(jié)合產(chǎn)生的震撼的美是必要且必須的[10]。