基于安定分析和概率密度演化理論的桿系結(jié)構(gòu)整體可靠度分析

祖云飛，李正良，2，范文亮，2，劉蜀宇

（1. 重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶400045；2. 重慶大學(xué)山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400045；3. 順泰鐵塔制造有限公司，重慶400000）

由于工程結(jié)構(gòu)自身及其所處環(huán)境存在各種不確定性，可靠度分析成為結(jié)構(gòu)安全性評估的重要方法[1]，其中經(jīng)典的體系可靠度是重要組成部分.不同于構(gòu)件可靠度，經(jīng)典的體系可靠度主要研究理想彈塑性或彈脆性桿系結(jié)構(gòu)在靜力荷載作用下的不倒概率，即結(jié)構(gòu)整體不發(fā)生倒塌的概率.歷經(jīng)半個多世紀(jì)的發(fā)展，研究者提出了PNET 法、分支約界法、優(yōu)化準(zhǔn)則法、最小荷載增量法等分析方法[2-5].仔細(xì)考察不難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)典體系可靠度僅涉及時不變的靜力荷載，即量值保持不變的靜力荷載；然而，實(shí)際工程中結(jié)構(gòu)亦可能會遭遇另一類靜力荷載——量值隨時間變化的時變靜力荷載.例如，輸電導(dǎo)線的覆冰荷載，由于結(jié)冰、融冰過程的緩變特性，以及可能出現(xiàn)的凍融循環(huán)，屬于典型的變值靜力荷載；又如儲油罐對其支撐剛架的作用亦屬于變值靜力荷載.

桿系結(jié)構(gòu)在變值靜力荷載作用下可能的最終破壞狀態(tài)包括增量塑性破壞、交互塑性破壞、瞬時塑性倒塌破壞[6]，若仍采用經(jīng)典的體系可靠度方法研究結(jié)構(gòu)安全，實(shí)質(zhì)上僅考慮結(jié)構(gòu)的不倒概率，忽略了結(jié)構(gòu)可能的最終破壞狀態(tài)中的交互塑性破壞. 當(dāng)發(fā)生交互塑性破壞時，結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)斷裂桿件，不同于桿件進(jìn)入塑性，桿件的斷裂使桿件完全退出承載，隨之產(chǎn)生的內(nèi)力重分布引發(fā)多米諾效應(yīng)可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體倒塌.即使桿件斷裂后結(jié)構(gòu)依然能保持不倒，斷裂桿件的更換仍會影響結(jié)構(gòu)正常服役.因此，采用經(jīng)典的體系可靠度研究變值靜力荷載下桿系結(jié)構(gòu)的安全性是不合理的，低估了結(jié)構(gòu)面臨的風(fēng)險.

幸運(yùn)的是，安定理論[6-8]為研究變值荷載作用下結(jié)構(gòu)行為提供了有效工具.近年來，研究者對基于經(jīng)典安定理論的結(jié)構(gòu)可靠度分析開展了一系列研究，亦取得了一定的進(jìn)展[9-14]，然而現(xiàn)有成果存在較大的局限性：一方面，由于與FORM[10，12-14]、SORM[12]及響應(yīng)面法[11]等基于驗(yàn)算點(diǎn)的可靠度方法相結(jié)合，對于體系可靠度中出現(xiàn)的多驗(yàn)算點(diǎn)問題無能為力；另一方面，現(xiàn)有研究通常針對已知的失效模式進(jìn)行安定分析，但失效模式識別恰恰是復(fù)雜桿系結(jié)構(gòu)體系可靠度分析的最大困難，因此，現(xiàn)有研究多局限于平板結(jié)構(gòu)[10，14]、壓力容器[11，13，14]、管道結(jié)構(gòu)[10，12-14]以及非常簡單的桿系結(jié)構(gòu)[11，13，14]等，實(shí)用性不強(qiáng).

鑒于此，本文以安定狀態(tài)作為桿系結(jié)構(gòu)在變值靜力荷載作用下的極限狀態(tài)，并定義與之對應(yīng)的整體可靠度概念，建議了具有單一功能函數(shù)的極限狀態(tài)方程，并引入實(shí)用安定分析方法計(jì)算隱式功能函數(shù)；進(jìn)而，根據(jù)概率密度演化理論，推導(dǎo)了功能函數(shù)的廣義密度演化方程的近似解；最后，經(jīng)由一維積分給出結(jié)構(gòu)整體可靠度.本文將安定分析與概率密度演化理論[15]相結(jié)合，提出了桿系結(jié)構(gòu)在變值靜力荷載作用下整體可靠度的實(shí)用、高效分析方法.尤其值得指出的是，經(jīng)典體系可靠度所涉及的時不變的靜力荷載僅為變值靜力荷載中的一種特殊情況，顯然，本文建議方法同樣可解決經(jīng)典的體系可靠度問題.因此，發(fā)展基于安定理論的結(jié)構(gòu)整體安全性分析既是解決變值靜力荷載作用下理想彈塑性桿系結(jié)構(gòu)整體可靠度的合理途徑，亦是經(jīng)典體系可靠度的有益拓展.

1 桿系結(jié)構(gòu)的安定極限狀態(tài)及確定性安定分析

1.1 變值荷載作用下結(jié)構(gòu)的臨界極限狀態(tài)

根據(jù)安定理論，桿系結(jié)構(gòu)在變值荷載作用下可能進(jìn)入五種不同的狀態(tài)[6]：1）純彈性狀態(tài)；2）安定狀態(tài)；3）增量塑性破壞；4）交互塑性破壞；5）瞬時塑性倒塌.由于增量塑性破壞和瞬時塑性倒塌將引起結(jié)構(gòu)的整體倒塌，而發(fā)生交互塑性破壞時，盡管結(jié)構(gòu)可能維持不倒，但斷裂桿件的更換會迫使結(jié)構(gòu)退出正常工作.因此，世界各國近年來出版的強(qiáng)度設(shè)計(jì)與安全設(shè)計(jì)評定規(guī)范（如美國ASME 和API 規(guī)范、英國BSI標(biāo)準(zhǔn)、法國RCC-MR 標(biāo)準(zhǔn)等），越來越多地采用安定載荷為控制界限的塑性失效準(zhǔn)則.因此，本文定義增量塑性破壞、交互塑性破壞和瞬時塑性倒塌為結(jié)構(gòu)的三種最終破壞狀態(tài)，定義結(jié)構(gòu)在變值荷載作用下不進(jìn)入上述破壞狀態(tài)的概率為整體可靠度. 又因上述破壞狀態(tài)均以安定狀態(tài)為臨界過渡狀態(tài)，所以安定狀態(tài)可作為桿系結(jié)構(gòu)在變值荷載作用下失效分析的臨界極限狀態(tài).

1.2 結(jié)構(gòu)確定性安定分析

1.2.1 安定極限狀態(tài)方程

若定義λ 為外荷載的比例系數(shù)，安定狀態(tài)的臨界荷載系數(shù)λp為恰使結(jié)構(gòu)維持安定狀態(tài)的λ 值，安定狀態(tài)的極限狀態(tài)方程可表示為

式中：G 為結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的值，當(dāng)G ＞0 時，λp＞1，意味著結(jié)構(gòu)達(dá)到安定狀態(tài)所能承受的荷載大于實(shí)際外荷載，結(jié)構(gòu)安全；反之，結(jié)構(gòu)失效.因此，λp的確定是判斷結(jié)構(gòu)狀態(tài)的核心.

1.2.2 λp的確定

根據(jù)安定下限定理，λp可由如下優(yōu)化問題確定

式中：ρ 表示與時間無關(guān)的自平衡殘余應(yīng)力場，S（t）表示將結(jié)構(gòu)假定為純彈性后的應(yīng)力場，f（·）表示材料屈服條件；CT為結(jié)構(gòu)總平衡矩陣，在小變形假設(shè)下，僅取決于結(jié)構(gòu)體系的幾何關(guān)系[16-17]，CTρ=0 表示殘余力系自平衡方程.

由于屈服約束條件（fρ+λS（t））≤σ 包含時變的S（t），式（2）所示優(yōu)化問題不便于直接求解.文獻(xiàn)[18-21]指出，若結(jié)構(gòu)的荷載變化域?yàn)橥褂?，且在變化域的所有頂點(diǎn)上結(jié)構(gòu)均保持安定狀態(tài)，則結(jié)構(gòu)在該荷載變化域內(nèi)任一變值荷載作用下亦能保持安定狀態(tài)，于是式（2）可改寫為

式中：Pk表示荷載變化域的第k 個頂點(diǎn)，Nl為頂點(diǎn)的總數(shù)，S（Pk）表示結(jié)構(gòu)在Pk所對應(yīng)的時不變荷載下的應(yīng)力場，顯然式（3）為時不變的優(yōu)化問題.

若假設(shè)結(jié)構(gòu)承受d 個相互獨(dú)立的變值荷載，且第i 個變值荷載的上、下界值分別為ai，bi（i=1，…，d），則這些荷載變化的凸域包含Nl=2d個頂點(diǎn)，且有

圖1 給出了僅有兩個變值荷載時的凸域及頂點(diǎn)示意圖.根據(jù)線性疊加原理，可有

式中：S（Fei）表示結(jié)構(gòu)在與第i 個變值荷載作用位置和正方向相同的單位力Fei作用下的應(yīng)力場.顯然，僅需得到各變值荷載對應(yīng)單位力下的應(yīng)力場S（Fei），（i=1，2，...，d），S（Pk）可根據(jù)式（6）由代數(shù)運(yùn)算直接得到，因此，盡管存在2d個頂點(diǎn)，求解S（Pk）所需的線彈性結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析次數(shù)僅為d 次.

圖1 荷載變化域及其頂點(diǎn)Pk（d=2）Fig.1 The load variation domain and vertices Pk（d=2）

得到S（Pk）后，求解式（3）所示優(yōu)化問題還需確定CT的具體參數(shù).在經(jīng)典安定分析中CT常根據(jù)結(jié)構(gòu)的失效模式由運(yùn)動機(jī)構(gòu)分析法得到[6].顯然上述方法僅適用于運(yùn)動機(jī)構(gòu)（失效模式）已知的簡單情況.近年來，有限單元法由于其適用性強(qiáng)，便于計(jì)算機(jī)進(jìn)一步分析等優(yōu)點(diǎn)，成為確定CT的主流方法[9-14]，由有限單元法建立CT與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)總剛矩陣的建立過程類似，首先根據(jù)單元類型以及單元基本內(nèi)力參數(shù)在局部坐標(biāo)系下建立單元平衡矩陣，對于本文研究的桿系結(jié)構(gòu)，其單元平衡矩陣建立過程可參考文獻(xiàn)[16，17]，然后考慮各單元之間的幾何連接關(guān)系以及邊界條件，按結(jié)構(gòu)矩陣分析理論在全局坐標(biāo)系下組裝各單位平衡矩陣即可得到總平衡矩陣CT.

上述確定CT的方法通常需通過自編程實(shí)現(xiàn)，較為繁瑣. 對于常見的桁架結(jié)構(gòu)和平面抗彎剛架結(jié)構(gòu)等兩類桿系結(jié)構(gòu)，可基于虛力法建立與式（3）等價但更易于實(shí)現(xiàn)的優(yōu)化問題.

對于M 桿的理想彈塑性空間桁架，根據(jù)虛力法，式（3）可改寫為[21]：

式（7）表示桁架的拉壓屈服條件，即為式（3）中材料屈服條件f（·）在此情況下的具體形式，其中ρm是第m 桿的殘余軸向應(yīng)力，Smaxm，Sminm分別表示假定結(jié)構(gòu)為純彈性后考慮所有可能荷載時程組合條件下第m 桿的最大純彈性拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，其可由式（9）計(jì)算得到，Sm（Pk）為頂點(diǎn)Pk所對應(yīng)條件下第m 桿的純彈性軸向應(yīng)力，其可由式（6）所示線性疊加得到.σm、σm′是第m 桿的全塑性抗拉強(qiáng)度和全塑性抗壓強(qiáng)度.式（8）為由虛力法得到的CTρ=0 的等價虛功方程組，其中l(wèi)m表示第m 桿的長度，Svmj表示由第j 個虛力所引起的第m 桿內(nèi)的軸向應(yīng)力，Em表示第m 桿的彈性模量，lmSvmj/Em表示第m 桿的虛位移，等于其在第j個虛力下對應(yīng)的彈性變形，式（8）中虛力為對應(yīng)于某個節(jié)點(diǎn)位移自由度方向的單位力，其總數(shù)Ns等于節(jié)點(diǎn)位移自由度總數(shù)，因此，式（8）中各參數(shù)的確定需Ns次結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析.

對于由理想彈塑性材料構(gòu)成的平面抗彎剛架，根據(jù)虛力法，式（3）可改寫為[22，23]：

式（10）表示剛架的受彎屈服條件，同樣為式（3）中材料屈服條件f（·）在此情況下的具體形式，其中ρm為第m 個塑性鉸的殘余彎矩，Mmaxm，Mminm分別表示假定結(jié)構(gòu)為純彈性后，考慮所有可能荷載時程組合條件下第m 個塑性鉸的最大純彈性彎矩和最小純彈性彎矩，其由式（12）計(jì)算得到，Sm（Pk）為頂點(diǎn)Pk所對應(yīng)條件下第m 個塑性鉸的彎矩，其同樣可由式（6）所示線性疊加得到.Mpm是第m 個塑性鉸的全塑性極限彎矩，Mym是第m 個塑性鉸僅截面外邊緣屈服的彈性極限彎矩.式（11）為由虛力法得到的CTρ=0 的等價虛功方程組，amj為對應(yīng)于在第j 個虛力作用下第m 個塑性鉸的系數(shù)，其取值方法詳見文獻(xiàn)[22]，Nf為預(yù)定義的可能塑性鉸的總數(shù).Ns為對應(yīng)剛架全部基本變形的所有虛力的總數(shù)，其與結(jié)構(gòu)自由度正相關(guān)，Ns和各虛力的施加方式由文獻(xiàn)[22]給出的三個準(zhǔn)則確定，因此，式（11）中各參數(shù)的確定需Ns次結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析.

綜上所述，λp可由式（3）所示優(yōu)化分析得到，而式（3）中的殘余力系自平衡方程CTρ=0，可由有限單元法得到或虛力法建立其等價虛功方程組. 虛力法可以避免有限單元法自編程建模型的繁瑣過程，但將引入額外的結(jié)構(gòu)分析.因此，選擇虛力法或是有限單元法應(yīng)根據(jù)分析結(jié)構(gòu)的自由度總數(shù)進(jìn)行權(quán)衡，在結(jié)構(gòu)自由度總數(shù)較高時，宜選擇有限單元法.

1.3 λp 的求解步驟

根據(jù)1.2 節(jié)的分析，桿系結(jié)構(gòu)λp可按下述步驟求解：

①對各變值荷載對應(yīng)的單位力Fei作用下的結(jié)構(gòu)進(jìn)行受力分析，得到應(yīng)力場S（Fei），（i=1，2，...，d）.將S（Fei）代入式（6）由代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)構(gòu)在各頂點(diǎn)Pk對應(yīng)的時不變荷載條件下的響應(yīng)應(yīng)力場S（Pk），本步驟所需線彈性結(jié)構(gòu)受力分析次數(shù)為d 次.

②建立殘余力系自平衡方程.若直接基于CTρ=0，則需通過自編程序確定C 矩陣；若采用虛力法，則可引入有限次附加結(jié)構(gòu)分析得到CTρ=0 的等價虛功方程組式（8）或式（11）.

③采用MATLAB 優(yōu)化求解工具箱求解相應(yīng)的優(yōu)化問題，得到臨界安定荷載系數(shù)λp.

2 基于概率密度演化理論的桿系結(jié)構(gòu)整體可靠度分析

2.1 考慮隨機(jī)性的安定極限狀態(tài)方程

在安定分析中，盡管結(jié)構(gòu)承受時變荷載，但由式（3）可知，λp僅取決于結(jié)構(gòu)參數(shù)、時不變荷載以及時變荷載的時不變參數(shù).顯然，當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)及外荷載具有隨機(jī)性時，λp可表示為隨機(jī)量的函數(shù)，即

式中：隨機(jī)向量Θ=（Θs，ΘLO），Θs=（Θ1，Θ2，…，Θs1）表示隨機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)，ΘLO=（Θs1+1，Θs1+2，…，Θs1+s2）表示時不變的隨機(jī)荷載；Pk為變值荷載域的隨機(jī)頂點(diǎn)，取決于描述變值荷載上下界的時不變隨機(jī)參數(shù)ΘLR，即

將式（13）和式（14）代入式（1）可得考慮隨機(jī)性的安定極限狀態(tài)方程為

由于僅涉及一個極限狀態(tài)方程，經(jīng)典體系可靠度分析中存在的失效模式相關(guān)性問題迎刃而解.進(jìn)而，結(jié)構(gòu)整體可靠度為

式中：pG（g）指隨機(jī)變量G=G（Θ，Pk（ΘLR））的概率密度函數(shù).顯然，可靠度R 對應(yīng)的失效概率為1-R.

2.2 整體可靠度的概率密度演化分析

概率密度演化理論為獲得pG（g）的數(shù)值解提供了可行的途徑.

首先，構(gòu)造虛擬隨機(jī)過程Z（τ）

類似于隨機(jī)動力系統(tǒng)的廣義密度演化方程的推導(dǎo)[15]，（Z（τ），Θ，ΘLR）聯(lián)合密度函數(shù)PZΘΘLR（z，θ，θLR，τ）服從如下方程

其初始條件為

式中：δ（·）為狄拉克函數(shù)，PΘ（θ）是Θ 的概率密度函數(shù)，PΘLR（θLR）為ΘLR的概率密度函數(shù).引入特征線法[24]可導(dǎo)出式（18）和式（19）的形式解析解[25]為

結(jié)合式（17）可知

式中：ΩΘ為Θ 的分布域，ΩΘLR為ΘLR的分布域.為避免廣義函數(shù)δ（·）的直接積分，可以δ 序列替代δ（·）獲得pG（g）近似解為[25]

式中：φmax=max {φ（θ，θLR，τ）|τ=1}=max {G（θ，Pk（θLR））}，α 為一適當(dāng)小的常量. 進(jìn)一步可給出其數(shù)值解為

式中：代表點(diǎn)集（θq，θLR，q）（q=1，…，Nsel）可由數(shù)論選點(diǎn)策略[26]得到，同時給出其賦得概率為Uq，其中Nsel為代表點(diǎn)的數(shù)量.

2.3 桿系結(jié)構(gòu)整體可靠度的數(shù)值實(shí)現(xiàn)

綜上所述，基于安定理論的結(jié)構(gòu)整體可靠度數(shù)值求解步驟如下：

①由數(shù)論選點(diǎn)策略[26]在多維聯(lián)合變量空間（Θ，ΘLR）中選取代表點(diǎn)集（θq，θLR，q）（q=1，…，Nsel），并得到各代表點(diǎn)的賦得概率Uq.當(dāng)（Θ，ΘLR）為相關(guān)向量且僅已知各變量的邊緣概率密度函數(shù)和相關(guān)系數(shù)矩陣時，可以引入Nataf 逆變換[27]進(jìn)行處理.

②對于給定代表點(diǎn)（θq，θLR，q），由2.3 節(jié)所述步驟確定λp，進(jìn)而確定功能函數(shù)值G（θq，Pk（θLR，q）），重復(fù)以上步驟，求得所有代表點(diǎn)的功能函數(shù)值.

③將上述所有G（θq，Pk（θLR，q））（q=1，…，Nsel）及Uq代入式（23），得到pG（g）的數(shù)值解.

④將pG（g）的解代入式（16），由一維數(shù)值積分即可得到結(jié)構(gòu)整體可靠度R.

3 算例分析

本節(jié)由三個算例驗(yàn)證建議方法的有效性.算例1為一涉及六桿桁架結(jié)構(gòu)的經(jīng)典體系可靠度問題，通過建議方法結(jié)果與已有結(jié)果的對比驗(yàn)證建議方法的準(zhǔn)確性和效率；算例2 以單層兩跨平面抗彎剛架結(jié)構(gòu)為對象，比較了時不變靜力荷載下的經(jīng)典體系可靠度與時變靜力荷載下的整體可靠度的差異，驗(yàn)證了建議方法的必要性；算例3 采用建議方法分析了相對較為復(fù)雜的空間二十五桿桁架，體現(xiàn)了建議方法的普遍適用性.

3.1 算例1

某六桿桁架如圖2 所示，其1、2、5、6 桿的截面積為1.33×10-4m2，3、4 桿的截面積為1.49×10-4m2.各桿由理想彈塑性材料組成，其初始彈性模量為2.06× 105MPa；F 為隨機(jī)時不變荷載，σm（m=1，2，…，6）為第m 桿的隨機(jī)屈服強(qiáng)度，隨機(jī)變量的概率信息如表1 所示，且假設(shè)各變量均相互獨(dú)立.對該桁架的不倒概率進(jìn)行分析.

圖2 6 桿桁架Fig.2 A 6-bar truss

表1 算例1 中隨機(jī)變量的概率信息Tab.1 The statistical information of random variables involved in example 1

顯然，該問題屬于經(jīng)典的體系可靠度問題，但亦可用建議方法求解.

首先，利用數(shù)論選點(diǎn)策略在F 和σm組成的七維隨機(jī)向量空間中選取1 752 個代表點(diǎn)，并得到各代表點(diǎn)的賦得概率Uq（q=1，2，…，1 752）.然后，對于任一代表點(diǎn)，均可由前述的確定性安定分析得到對應(yīng)的功能函數(shù)值G（θq，Pk（θLR，q））.不難發(fā)現(xiàn)，確定性安定分析的屈服約束條件僅由結(jié)構(gòu)的線性分析確定，而對于此結(jié)構(gòu)1 752 個代表點(diǎn)對應(yīng)著相同的線性結(jié)構(gòu)，換言之，僅需1 次線性結(jié)構(gòu)分析即可確定所有代表點(diǎn)的屈服約束條件. 若采用虛力法以避免殘余力系自平衡方程CTρ=0 的建立，尚需補(bǔ)充4 次線性結(jié)構(gòu)分析. 由于采用虛力法總共僅需5 次線性結(jié)構(gòu)分析，較直接建立CTρ=0 更為簡便，因此，此處采用虛力法.獲得所有樣本點(diǎn)的功能函數(shù)值后，可由式（23）得到功能函數(shù)概率密度函數(shù)的數(shù)值解pG（g），其中參數(shù)α 由文獻(xiàn)[25]中所述方法確定，其值為0.005 5，求得的pG（g）如圖3 所示.最后，由式（16）得到結(jié)構(gòu)的經(jīng)典體系可靠度，其對應(yīng)失效概率為5.64×10-4.此外，文獻(xiàn)[28]給出了近似解為5.92×10-4，文獻(xiàn)[29]給出的失效概率上下界限為[5.02×10-4，7.16×10-4].顯然，建議方法所得結(jié)果是合理、有效的.由于涉及很少的線性結(jié)構(gòu)分析和非常成熟高效的線性優(yōu)化問題的求解，建議方法的高效性是顯而易見的.

圖3 6 桿桁架的概率密度分布pG（g）Fig.3 Probability density function of G for the 6-bar truss

3.2 算例2

某一承受F1，F(xiàn)2和F3三個外荷載的理想彈塑性材料組成的單層兩跨平面抗彎剛架如圖4 所示，其中，各桿截面相同，Mp為截面全塑性極限彎矩，而截面彈性極限彎矩為0.8Mp，結(jié)構(gòu)可能的塑性鉸總數(shù)為11.F2和F3為隨機(jī)時不變荷載，根據(jù)F1特性的不同，分為以下2 種情況.

圖4 單層兩跨平面剛架Fig.4 A 1-story and 2-bay plane frame

情形1：F1為隨機(jī)變值靜力荷載

假定a1和b1分別為F1的下界和上界，隨機(jī)變量的概率信息如表2 所示，且假設(shè)各變量相互獨(dú)立.分析結(jié)構(gòu)在變值荷載作用下的整體可靠度.

按建議方法選取分析968 個代表點(diǎn)，并確定參數(shù)α=0.002 2，得到近似概率密度分布pG（g）如圖5所示，對其積分得到結(jié)構(gòu)整體可靠度對應(yīng)的失效概率為8.16×10-4.同樣，上述過程中所有代表點(diǎn)的確定性安定分析屈服約束條件由3 次線性結(jié)構(gòu)分析確定，而CTρ=0 的等價虛功方程組由虛力法補(bǔ)充2 次線性結(jié)構(gòu)分析得到.此外，將簡單蒙特卡羅法與確定性安定分析結(jié)合，對106個樣本點(diǎn)分析后得到失效概率為8.47×10-4. 上述兩結(jié)果的相對差異為（8.47-8.16）/8.47=3.66%，顯然，建議方法的高效性和準(zhǔn)確性再次得到驗(yàn)證.

表2 算例2 中隨機(jī)變量的概率信息Tab.2 The statistical information of random variables involved in example 2

圖5 情形1 中平面剛架的概率密度分布pG（g）Fig.5 Probability density function of G for the plane frame in case 1

情形2：F1為隨機(jī)時不變靜力荷載

在本情形中，F(xiàn)1假定為隨機(jī)時不變靜力荷載，其統(tǒng)計(jì)信息與情形1 的上界值b1相同. 其余條件與情形1 相同.分析結(jié)構(gòu)的不倒概率.

在本情形中，按建議方法選取分析641 個代表點(diǎn)，并確定參數(shù)α=0.002 0，得到pG（g）的概率密度分布如圖6 所示，對其積分得到結(jié)構(gòu)整體可靠度對應(yīng)的失效概率為4.73×10-4.

另外，采用抽樣數(shù)為106 的蒙特卡羅法可得到結(jié)構(gòu)失效概率為4.89×10-4.上述兩結(jié)果高度吻合.

比較情形1 和情形2 的計(jì)算結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)在變值荷載作用下的整體可靠度并不等于其在時不變靜荷載（取變值荷載的上界）作用下的不倒概率，甚至較后者更低.因此，建議方法所得整體可靠度能更合理地評估變值靜力荷載作用下結(jié)構(gòu)的安全性.

圖6 情形2 中平面剛架的概率密度分布pG（g）Fig.6 Probability density function of G for the plane frame in case 2

3.3 算例3

某25 桿理想彈塑性空間桁架結(jié)構(gòu)如圖7 所示，材料初始彈性模量為2.06×105MPa，各桿屬性如表3所示. 外荷載包括水平節(jié)點(diǎn)荷載F1和豎向節(jié)點(diǎn)荷載F2，其中F1為隨機(jī)時不變荷載，F(xiàn)2為隨機(jī)變值靜力荷載；且假定F2的上界為b2，下界為X·b2，X 為一定值.σ 為材料的抗拉屈服強(qiáng)度，抗壓屈服強(qiáng)度假定為0.9·σ.隨機(jī)變量的概率信息如表4 所示，且假設(shè)各變量均相互獨(dú)立.分析結(jié)構(gòu)在變值荷載作用下的整體可靠度.

圖7 25 桿空間桁架Fig.7 A 25-bar space truss

表3 25 桁架桿件屬性表Tab.3 The attribute of all components for the 25-bar truss

表4 算例3 中隨機(jī)變量的概率信息Tab.4 The statistical information of random variables involved in example 3

X 的不同取值對應(yīng)于不同的變值靜力荷載情形.特別地，當(dāng)X=1 時F2退化為時不變靜力荷載.

選取685 個代表點(diǎn)，采用建議方法分別對不同X 值的情形進(jìn)行分析，得到近似概率密度分布pG（g）和結(jié)構(gòu)失效概率如圖8 和圖9 所示（參數(shù)α 均為0.004 5）.上述過程中確定性安定分析的屈服約束條件由2 次線性結(jié)構(gòu)分析得到，并由虛力法補(bǔ)充18 次線性結(jié)構(gòu)分析得到CTρ=0 的等價虛功方程組.

圖8 不同X 取值時空間桁架的概率分布pG（g）Fig.8 Probability density function of G for the space truss with different X

圖9 不同X 取值時空間桁架的失效概率Fig.9 The tendency of failure probability for the space truss with different X

由圖9 可見，結(jié)構(gòu)失效概率隨著X 值增大而單調(diào)遞減.換言之，若變值靜力荷載上界保持不變，其變化范圍越大，結(jié)構(gòu)失效概率越大.

此外，對X=0 的情況，將簡單蒙特卡洛法與確定性安定分析結(jié)合，當(dāng)選取106 個樣本點(diǎn)可得到結(jié)構(gòu)失效概率為6.29×10-4，與建議方法結(jié)果的相對差異為（6.62-6.29）/6.29=5.2%，再次驗(yàn)證了建議方法的準(zhǔn)確性.

4 結(jié)論

本文結(jié)合安定分析和概率密度演化理論，推導(dǎo)了以安定狀態(tài)為極限狀態(tài)的功能函數(shù)值G（Θ，Pk（ΘLR））的概率密度演化方程，并給出了其概率密度的數(shù)值求解方法.以此為基礎(chǔ)，提出了一種可合理評估桿系結(jié)構(gòu)在變值靜力荷載作用下安全性的可靠度分析方法.并通過多個結(jié)構(gòu)算例，驗(yàn)證了建議方法的精度和有效性，分析結(jié)果表明，建議方法無需進(jìn)行失效模式的識別，從而避免了失效模式的組合爆炸問題；并且由于經(jīng)典體系可靠度所涉及的時不變的靜力荷載僅為變值靜力荷載中的一種特殊情況，建議方法可直接應(yīng)用于經(jīng)典體系可靠度問題的分析；此外，建議方法所涉及計(jì)算大部分為線性優(yōu)化求解，而線性優(yōu)化求解的研究較成熟，大量已有的高效線性優(yōu)化算法為建議方法的計(jì)算效率提供了堅(jiān)實(shí)保障.值得指出的是，結(jié)構(gòu)在變值荷載作用下的整體可靠度不同于其在時不變靜荷載（取變值荷載的上界）作用下的不倒概率，因此應(yīng)按建議方法評估變值靜力荷載作用下結(jié)構(gòu)的安全性.