豎向非均質(zhì)飽和地基中埋置扭轉(zhuǎn)荷載的動力響應

鄒新軍，賀瓊，覃玉蘭

（湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙410082）

彈性半空間的動力響應問題在巖土工程中具有舉足輕重的地位，該問題在土-結(jié)構(gòu)物的動力相互作用、地震工程、基礎振動等領域均引起了國內(nèi)外學者的關注. 隨著我國經(jīng)濟發(fā)展，近海工程建設如火如荼，如跨海大橋、海上風力發(fā)電機以及海上平臺等，這些結(jié)構(gòu)物受力較復雜，不僅要承受自然環(huán)境產(chǎn)生的風力、波浪力以及地震荷載，還要承受使用過程中的運轉(zhuǎn)荷載，其不可避免地會受到扭轉(zhuǎn)荷載的影響.同時，實際工程中基礎大多具有一定埋深，基礎承受扭轉(zhuǎn)動荷載時，周圍土體亦會承受基礎所傳遞的埋置扭轉(zhuǎn)動荷載，因此研究彈性半空間中埋置扭轉(zhuǎn)荷載的動力響應問題，有助于進一步掌握地基基礎的承載變形特性.

Lamb[1]最先對彈性半空間的動力學問題進行研究，其分別考慮了半空間表面作用和內(nèi)部埋置的法向線荷載與點荷載等四種典型荷載.Chao[2]研究了彈性半空間表面受水平、豎向荷載時的動力響應問題.王貽蓀[3]研究了豎向集中簡諧荷載作用于彈性半空間表面的問題，采用拉普拉斯變換方法獲得了特定條件下半空間表面位移的精確解.Reissner 和Sagoci[4]首次研究了彈性半空間表面基礎受扭轉(zhuǎn)荷載作用下的響應問題.Rahman[5]在Reissner 的理論基礎上進一步對彈性半空間內(nèi)部埋置剛性板的扭轉(zhuǎn)振動問題進行了研究.自Biot[6]提出飽和多孔介質(zhì)波的傳播理論，并推導出土體的多維固結(jié)方程以來，不少學者開始在此理論基礎上研究飽和半空間的動力學問題.Philippacopoulos[7]考慮多孔彈性半空間中埋置點源荷載，利用傅立葉變換與漢克爾變換方法求解地基土的位移.陳勝立等[8]對飽和地基中埋置簡諧豎向集中荷載下的動力響應問題進行研究，分析了飽和地基土表面豎向位移的變化規(guī)律.Chen 等[9]研究飽和地基中埋置任意荷載的三維動力響應問題，求解了彈性半空間中的應力、位移分量.張智卿等[10]研究了均質(zhì)非飽和滯回阻尼土層中彈性支撐樁的扭轉(zhuǎn)振動.陳剛等[11]對半空間飽和土體中埋置扭轉(zhuǎn)簡諧荷載的穩(wěn)態(tài)響應問題進行研究，分析了土體參數(shù)對響應的影響規(guī)律.

以上研究均視地基為各向同性彈性半空間，但實際上地基土在沉積過程中會受到各個方向有效應力的影響，具有一定的各向異性，主要有徑向非均質(zhì)性和豎向非均質(zhì)性兩種情況.Naggar[12]研究了徑向非均勻地基中土體的豎向、扭轉(zhuǎn)動力響應.Zhang 等[13]考慮地基土的徑向非均勻性（將樁周土沿徑向分為n圈層，每個圈層為剪切模量不同的均質(zhì)各向同性彈性體），研究彈性半空間中單樁的扭轉(zhuǎn)振動響應問題.Awojobi 等[14]考慮彈性半空間的豎向非均質(zhì)性，假定土體剪切模量隨深度線性變化，對半空間的平面應變與軸對稱問題進行了研究.鄒新軍等[15]基于樁側(cè)土雙折線模型，探討了地基土分層時單樁的受扭性狀.王國才等[16]對層狀地基中單樁的扭轉(zhuǎn)振動問題進行研究，采用積分變換及Muki 虛擬樁的方法求解并分析了樁土參數(shù)對動力響應的影響.Wroth[17]等認為土壤沉積時的地質(zhì)環(huán)境和荷載歷史隨著時間而發(fā)生變化，故假定土體剪切模量隨深度呈非線性分布更符合實際.Rajapakse[18]假定土體剪切模量隨深度分別呈冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)非線性分布，采用經(jīng)典變分定理的方法來分析荷載傳遞問題.鄒新軍等[19]考慮地基土的剪切模量隨深度非線性分布，對單樁靜力受扭問題進行了彈塑性分析，但相應的動力扭轉(zhuǎn)分析仍屬鮮見.

天然地基土通常在豎向呈現(xiàn)非均勻性，其剪切模量、滲透系數(shù)及孔隙率等均隨深度發(fā)生變化，為簡化問題，本文主要考慮剪切模量隨深度的非線性變化，即假定地基土的剪切模量隨深度呈指數(shù)函數(shù)非線性分布，基于Biot 固結(jié)理論與彈性動力學原理，建立飽和地基土中作用簡諧扭轉(zhuǎn)荷載下的動力微分方程，引入邊界條件并利用Hankel 變換與逆變換求解獲得飽和地基土中的剪應力與切向位移解答，據(jù)此基于Mathematica 編制出相應的計算程序，進一步進行參數(shù)分析并討論土體參數(shù)對地基土中埋置簡諧扭轉(zhuǎn)荷載動力響應的影響規(guī)律.

1 基本扭轉(zhuǎn)動力微分方程的建立

彈性半空間中埋置簡諧扭轉(zhuǎn)荷載問題可在柱坐標系下建立簡化分析計算模型，如圖1 所示，其中：彈性半空間地基內(nèi)部z = h 處作用埋置簡諧扭矩T0eiωt（ω 為頻率，i=（-1）1/2），荷載作用范圍是半徑為a 的圓形區(qū)域.

許多學者在研究扭轉(zhuǎn)問題時，為進一步簡化問題均做出一定假定，如張智卿[10]、Naggar[12]、Rajapakse[18]等，為建立問題的基本方程，本文參照已有文獻特做出如下假定：

1）視地基為彈性半空間，其表面為自由面.

2）假定地基土的剪切模量Gs隨深度呈指數(shù)函數(shù)非線性分布：

式中：μ 為地表處土體剪切模量（Pa），可按μ=ρsvs2計算，其中vs為地表處土體剪切波速（m/s），ρs為土骨架密度（kg/m3）；α 為非均勻系數(shù)，可按文獻[18]取值.

圖1 飽和地基中埋置簡諧扭轉(zhuǎn)荷載簡化分析模型Fig.1 Simplified analysis model of buried torsional load in non-homogeneous saturated soil

3）地基土的扭轉(zhuǎn)振動為小變形，只考慮土骨架切向位移uθ（r，z，t）eiωt和孔隙水相對于土骨架的切向位移wθ（r，z，t）eiωt，為書寫方便下文省略簡諧因子eiωt.

4）假定簡諧扭轉(zhuǎn)荷載作用范圍內(nèi)，扭轉(zhuǎn)剪應力F（r）與半徑成正比例關系，則荷載作用面處扭轉(zhuǎn)剪應力分布函數(shù)為：

式中：k 為比例系數(shù).

基于上述假定，根據(jù)Biot 固結(jié)理論可建立埋置簡諧扭轉(zhuǎn)荷載作用下飽和地基土的基本扭轉(zhuǎn)動力微分方程：

式中：ρ= （1+n）ρs+nρw，其中ρw為孔隙水的密度（kg/m3），n 為孔隙率.

軸對稱問題中流體（孔隙水）的運動方程為：

式中：kd為地基土的動力滲透系數(shù)（m/s）；g 為重力加速度（m/s2）.

根據(jù)土骨架的剪應力-位移關系，可得地基土的剪應力表達式為：

式中：τzθ、τrθ分別為地基土的剪切應力（Pa）.

引入如下無量綱參數(shù)與變量：r=r/a、z=z/a、μθ=μθ/a、τ=τ/μ、h=h/a、ρw=ρw/ρ、Gs=Gs/μ、f=aω（ρ/μ）1/2，其中f 表示無量綱頻率，則飽和地基基本扭轉(zhuǎn)動力微分方程式（3）與流體運動方程式（4）可分別化為：

而地基土的剪應力-位移關系式（5）同樣經(jīng)無量綱化后可變?yōu)椋?/p>

為便于求解上述飽和地基中埋置簡諧扭轉(zhuǎn)荷載作用下的基本扭轉(zhuǎn)動力微分方程，對式（6）與式（7）分別進行Hankel 變換并整理可得：

同樣，地基土的剪應力-位移關系式（8）經(jīng)Han－

kel 變換后變?yōu)椋菏街校害觶θ1為τzθ的一階Hankle 變換式，τrθ2為τrθ的二階Hankle 變換式.

2 基本扭轉(zhuǎn)動力微分方程的求解

為求解剪切模量呈指數(shù)函數(shù)非線性分布的地基土扭轉(zhuǎn)動力響應，將剪切模量分布式（1）代入飽和地基土的基本扭轉(zhuǎn)動力微分方程式（9）中并化簡：

為求解微分方程式（11），構(gòu)造兩個輔助函數(shù)：

并將其代入微分方程式（11）中化簡得：

進而可求得：

式中：Jv（x）、Yv（x）分別為v 階第一、二類貝塞爾函數(shù)，其中v=（1+4s2/α2）1/2；A、B 是與s 相關的待定系數(shù)，可引入相應的邊界條件后計算確定.

將式（15）代入式（12）與式（13）中可得土體基本扭轉(zhuǎn)動力微分方程式（11）的解為：

根據(jù)地基土的剪應力-位移關系式（10）可獲得土體的剪應力分布：

3 邊界條件與待定系數(shù)求解

為了求解所得解答式（16）與式（17）中的待定系數(shù)A、B，首先需要確定相應的邊界條件.由圖1 所示彈性半空間中埋置簡諧扭轉(zhuǎn)荷載的簡化計算分析模型可知，荷載作用面將半空間分為區(qū)域（1）與區(qū)域（2）兩部分，根據(jù)基本扭轉(zhuǎn)動力微分方程的解式（16）以及土體的剪應力分布式（17）可得區(qū)域（1）、（2）的切向位移、剪應力表達式分別為：

區(qū)域1：0 ≤z ≤h，即（2δe-αh/2）/α≤x≤2δ/α

由彈性半空間介質(zhì)中扭轉(zhuǎn)波的輻射條件可知：區(qū)域（2）中剪應力、切向位移解答中待定系數(shù)B2=0.

彈性半空間飽和地基表面為自由面，則地表處的剪切應力為零：

飽和地基中埋置簡諧扭轉(zhuǎn)荷載作用面處應滿足位移連續(xù)性條件與應力間斷性條件：

式中：F（1s）為荷載作用面處剪應力分布函數(shù)的一階Hankel 變換式：

式中：F（r）為荷載作用面處扭轉(zhuǎn)剪應力F（r）的無量綱形式：

將邊界條件式（20）與式（21）代入式（18）與式（19）中，可求得待定系數(shù)B1、A1、A2分別為：

式中：x1=2δ/α，x2=（2δe-αh)/α，η=δ{Jv（x2）[（v+1）Yv（x2）-x2Yv+1（x2）]-Yv（x2）[（v+1）Jv（x2）-x2Jv+1（x2）]}.

將待定系數(shù)表達式（24）代入到飽和地基土的切向位移式（18）與剪應力式（19）中可獲得Hankel 變化域內(nèi)的剪應力、切向位移解答，并將該解答進行Hanke 逆變換即可得到飽和地基土的應力位移.

根據(jù)上述獲得的地基土應力位移解答，采用Mathematica 編制出Hankel 逆變換的數(shù)值積分程序，用以計算埋置簡諧扭轉(zhuǎn)荷載作用下豎向非均質(zhì)飽和地基中的最終剪應力與切向位移.

4 結(jié)果驗證與參數(shù)分析

4.1 結(jié)果驗證

為驗證本文推導結(jié)果的正確性，令α→0，則土體剪切模量Gs不隨深度z 變化，此時問題退化為均質(zhì)飽和半空間中埋置扭轉(zhuǎn)荷載作用的動力響應問題，與陳剛等[11]的理論解進行對比（如圖2），計算參數(shù)為：地表處剪切模量μ=9.4×106Pa，孔隙率n=0.4，土顆粒密度ρs=2 650 kg/m3，水的密度ρw=1 000 kg/m3，土體動力滲透系數(shù)kd=10-7m/s，扭轉(zhuǎn)荷載頻率f=1、埋深h=8，計算深度z=8.8.從圖2 可看出，本文退化結(jié)果與已有理論解吻合較好，從而驗證了本文解的正確性.

圖2 本文結(jié)果與文獻[11]解答對比Fig.2 Comparison of the results by the present solution with the available solutions of reference[11]

4.2 參數(shù)分析

為了分析影響飽和地基扭轉(zhuǎn)動力響應的主要參數(shù)及其規(guī)律，下面分別探討簡諧扭轉(zhuǎn)荷載的頻率與埋深、土體剪切模量非均勻系數(shù)及地基土的動力滲透系數(shù)等參數(shù)對地基扭轉(zhuǎn)動力響應的影響.

以飽和黏性土地基為例[11]，其物理力學參數(shù)為：地表處剪切模量μ=9.4×106Pa，孔隙率n=0.4，土顆粒密度ρs=2 650 kg/m3，水的密度ρw=1 000 kg/m3.算例中計算得到的應力、位移皆取幅值并除以k 即τzθ/k、uθ/k 以消除比例系數(shù)對結(jié)果的影響.

4.2.1 簡諧扭轉(zhuǎn)荷載無量綱頻率f 的影響

為探討簡諧扭轉(zhuǎn)荷載無量綱頻率f 的影響，分別 取 f 為 1.00、1.25、1.50、1.75、2.00、2.25、2.50 及2.75，荷載作用半徑a=1 m，埋深h=1，土體剪切模量非均勻系數(shù)α=1，土體動力滲透系數(shù)kd=10-7m/s，根據(jù)編制的計算程序分別計算深度z1=0.5 與z2=1.5 處土體的剪應力以及切向位移，獲得如圖3、圖4所示的土體切向位移、剪應力隨無量綱半徑的變化曲線.

圖3 簡諧扭轉(zhuǎn)荷載頻率對飽和地基切向位移的影響Fig.3 Effect of loading frequency on tangential displacement of saturated soil

圖4 簡諧扭轉(zhuǎn)荷載頻率對飽和地基應力的影響Fig.4 Effect of loading frequency on stress of saturated soil

由圖3、圖4 可看出：飽和地基土的剪應力與切向位移沿徑向呈現(xiàn)出明顯的波動變化規(guī)律，隨著簡諧扭轉(zhuǎn)荷載無量綱頻率f 的增大，曲線波動頻率逐漸增大. 地基土的切向位移幅值隨荷載頻率的增大先增后減，即存在某一臨界荷載頻率，使得切向位移幅值最大，與共振理論相一致.總體趨勢上，地基土的應力幅值隨荷載頻率的增大而增大. 在同一深度處，當r ＞a 時，地基土的應力、位移幅值隨著到荷載中心距離的增大而減小，與地基中應力波傳播時能量逐漸降低的規(guī)律一致.

4.2.2 簡諧扭轉(zhuǎn)荷載埋深h 的影響

為探討簡諧扭轉(zhuǎn)荷載埋深的影響，分別取h 為0.5、1.0、2.0 及4.0，荷載頻率f=1，其余參數(shù)同上，根據(jù)所編制的計算程序分別計算r ＞a 處土體不同深度處的剪應力和切向位移，獲得如圖5、圖6 所示的地基土切向位移、剪應力隨深度變化曲線.

由圖5、圖6 可看出：荷載作用面以上，土的剪應力、切向位移隨荷載埋深h 的增大而增大，荷載作用面以下，土體的剪應力與切向位移隨荷載埋深h 的增大而減小，荷載作用面土體的剪應力發(fā)生突變，切向位移達到峰值.當≥2a 時，土體的剪應力、切向位移近似為零，說明埋置荷載主要影響其作用面上、下各兩倍荷載作用半徑（2a）區(qū)域.

圖5 h 對飽和地基切向位移的影響Fig.5 Effect of h on tangential displacement of saturated soil

圖6 h 對飽和地基應力的影響Fig.6 Effect of h on stress of saturated soil

根據(jù)所編制的程序分別計算荷載頻率f 為0.1、0.5、1.0 及1.5 時，土體不同深度處的剪應力與切向位移，獲得如圖7 所示的土體最大切向位移與荷載埋深h 之間的關系曲線.

圖7 h 對飽和地基最大切向位移的影響Fig.7 Effect of h on the largest tangential displacement of saturated soil

由圖7 可看出：土的最大切向位移隨荷載埋深h的增大而減小，荷載埋深小于兩倍荷載作用半徑（2a）時，曲線急劇下降，h=a 時最大切向位移下降75%，h=2a 時最大切向位移下降90%，h ＞4a 時，飽和地基土的最大切向位移近似為零.

4.2.3 剪切模量非均勻系數(shù)α 的影響

為探討地基土剪切模量分布形式的影響，分別取剪切模量指數(shù)函數(shù)式（1）中的非均勻系數(shù)α 為0.1、0.5、1.0 及1.5，荷載頻率f = 1，埋深h = 1，其余參數(shù)同上，計算獲得如圖8、圖9 所示深度z1=0.5 處地基土的剪應力、切向位移隨半徑的分布曲線.

圖8 α 對飽和地基切向位移的影響Fig.8 Effect of α on tangential displacement of saturated soil

圖9 α 對飽和地基應力的影響Fig.9 Effect of α on stress of saturated soil

由圖8、圖9 可看出：隨地基土剪切模量非均勻系數(shù)α 的增大，土中剪應力、切向位移逐漸減小，系數(shù)α 每增加0.5 個單位，剪應力峰值下降約23%，切向位移峰值下降約40%，這是因為系數(shù)α 越小，地基土越接近均質(zhì)狀態(tài)，其變形越大，說明相同荷載條件下，剪切模量隨深度呈指數(shù)函數(shù)分布的非均質(zhì)地基比均質(zhì)地基變形小.

4.2.4 地基土動力滲透系數(shù)kd的影響

為探討飽和地基土動力滲透系數(shù)的影響，分別取kd為10-2m/s、10-5m/s 及10-7m/s，α=1，荷載頻率f=1，埋深h=1，其余參數(shù)同上，計算z1=0.5 處土體的切向位移，獲得如圖10 所示地基土切向位移與無量綱半徑的變化曲線.

圖10 kd 對飽和地基切向位移的影響Fig.10 Effect of kd on the tangential displacement of saturated soil

由圖10 可看出：土體動力滲透系數(shù)kd的變化對地基土的切向位移幾乎沒有影響.

5 結(jié) 論

假定土體剪切模量隨深度呈指數(shù)函數(shù)非線性分布，基于Biot 固結(jié)理論與動力學原理，建立豎向非均質(zhì)飽和地基內(nèi)部作用簡諧扭轉(zhuǎn)荷載時的動力微分方程，通過Hankel 變換與逆變換求得土體的剪應力與切向位移解答，據(jù)此基于Mathematica 編制出相應計算程序，通過參數(shù)分析獲得土體參數(shù)對地基扭轉(zhuǎn)動力響應的影響規(guī)律，主要結(jié)論如下：

1）埋置簡諧扭轉(zhuǎn)荷載作用下，土體的剪應力、切向位移均沿徑向呈現(xiàn)出明顯波動規(guī)律，波動頻率隨荷載頻率的增大而增大，切向位移幅值隨荷載頻率的增大先增后減，即存在某一臨界荷載頻率，使得切向位移幅值最大.

2）對比分析表明，隨著土體剪切模量指數(shù)分布函數(shù)中非均勻系數(shù)α 增大，土體的剪應力、切向位移逐漸減小，系數(shù)α 每增大0.5 個單位，剪應力峰值下降約23%，切向位移峰值下降約40%，說明相同荷載條件下，剪切模量隨深度呈指數(shù)函數(shù)分布的非均質(zhì)地基比均質(zhì)地基變形小.

3）埋置簡諧扭轉(zhuǎn)荷載作用下，土體的切向位移自地面開始沿深度表現(xiàn)為先增加后減小的變化趨勢，荷載作用面處，土的切向位移最大，剪應力發(fā)生突變，荷載主要影響范圍為其作用面上、下各兩倍荷載作用半徑（2a），且隨荷載埋深h 的增大，土體最大切向位移逐漸減小，h = a 時最大切向位移值下降75%，h = 2a 時最大切向位移值下降約90%，h ＞4a時最大切向位移值近似為零.

4）地基土動力滲透系數(shù)kd的變化對土體應力以及切向位移幾乎沒有影響.

誠然，上述解答暫僅針對豎向非均質(zhì)（土體剪切模量隨深度呈指數(shù)函數(shù)非線性分布）飽和地基中埋置簡諧扭轉(zhuǎn)荷載的動力響應問題，對于地基為非飽和、雙向非均質(zhì)或分層等更為復雜的情況，有待進一步的深入研究.