(2+1)維廣義柱Kadomtsev-Petviashvilli方程的Painlevé分析及精確解

唐曉苓 劉漢澤

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 聊城 252059)

0 引言

目前,研究非線性偏微分方程可積性的方法已經(jīng)有很多種.其中, 在1983年由Weiss,Tabor和Carnevale(WTC)發(fā)展的Painlevé分析[1]法是最有效的方法之一, Painlevé分析法通常被稱作WTC方法,將WTC方法應(yīng)用到非線性偏微分方程組[2，3]中,不僅可以得到可積和不可積模型的嚴(yán)格解,還可以得到諸如Painlevé性質(zhì)[4],Lax對,雙線性型,B?cklund變換[5-8]等性質(zhì).在求解常系數(shù)非線性發(fā)展方程過程中,這種方法用得比較多.而在研究變系數(shù)非線性發(fā)展方程過程中,這種方法的研究使用比較少見,因此變系數(shù)的非線性發(fā)展方程在近年來受到越來越多的關(guān)注[9-12].

下面研究被數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家普遍感興趣的方程之一(2+1)維廣義柱Kadomtsev- Petviashvilli(KP) 方程[13,14]

(ut+6a(t)uux+b(t)uxxx)x+c(t)ux+d(t)uyy=0,

(1)

(2)

(3)

數(shù)學(xué)物理中有很多模型是通過變系數(shù)偏微分方程來描述的,因此用Painlevé分析法求它們的精確解具有非常重要的意義.

1 (2+1)維變系數(shù)Kadomtsev-Petviashvilli方程的Painlevé分析

Painlevé分析法最初用于常微分方程(組)的解及其研究,是由Painlevé(法國數(shù)學(xué)家)及其學(xué)派提出的.Painlevé分析的WTC方法就是將Painlevé的判別方法推廣到非線性偏微分方程的求解中.具體情況如下,如果用WTC方法考慮一個給定的非線性偏微分方程

N(u(z1,z2,…，zn))=0.

(4)

設(shè)該非線性偏微分方程的解具有如下展開式形式

(5)

其中φ是一個解析函數(shù),ρ是一個整數(shù),uj則通過Painlevé展開式代入原方程,比較同次冪,并另其系數(shù)等于零,從而求得uj(j=0,1,2,…)的值,尋找共振點,檢驗相容性條件.

對于(2+1)維廣義柱變系數(shù)Kadomtsev-Petviashvilli方程

(ut+6a(t)uux+b(t)uxxx)x+c(t)ux+d(t)uyy=0,

(6)

其中取c(t)=1,d(t)=1.則方程變?yōu)?/p>

(ut+6a(t)uux+b(t)uxxx)x+ux+uyy=0.

(7)

假設(shè)方程(7)有如下形式的解

(8)

其中q是正整數(shù),uj,φ為x,y,t的函數(shù)形式(j=1,2,…).

為了確定常數(shù)q,我們假設(shè)

u≈u0φ-q.

(9)

再對u≈u0φ-q中的x,y,t求偏導(dǎo),可以得到

ut=-qv0φ-q-1φt,ux=-qu0φ-q-1φx,

(10)

(11)

(12)

(13)

將(10)-(13)代入方程組(7)可以得到

(14)

比較φ的最低次冪可以推出

q=2,

(15)

將(15)代入(14)可以得到

(16)

u=uoφ-2+u1φ-1+u2+u3φ+…+vj-3φj-4+…+vjφj-2+…

uxxxx=u0xxxxφ-2+u1xxxxφ-1+u2xxxx+…+ujxxxxφj-2+…+4[-2u0xxxφ-3-u1xxxφ-2+…

+4[-2u0xxφ-3+u1xxφ-2+…+(j-2)ujxxφj-3+…]φxx+4[-2u0xφ-3+u1xφ-2+…

+(j-2)ujxφj-3+…]φxxx+[120u0φ-6-24u1φ-5+…+(j-2)(j-3)(j-4)(j-5)ujφj-6

+(j-2)(j-3)ujxφj-4+…]φxφxxx+[-2u0φ-3+u1φ-2+…+(j-2)ujφj-3+…]φxxxx.

(17)

為了計算共振點,將(17)代入(7),通過比較φ的各次冪系數(shù)可以得到

(18)

(19)

將(16)式代入(19)式,可以計算出

(20)

(21)

(16)式和(20)式代入(21)式,可以計算出

(22)

(23)

顯然,u3可以由(16),(20)和(22)求出

(24)

但是用類似的計算方法卻無法求出u4,u5,u6原因是

φj-6:=[(j-2)(j-3)(j-4)(j-5)u(j-2)t]φtx+6[(j-2)(j-3)(j-4)(j-5)u(j-3)x]φx

+[(j-2)(j-3)(j-4)(j-5)u(j-3)xx]φxx+[(j-2)(j-3)(j-4)(j-5)u(j-3)x]φxxx

+b(t)u(j-4)yy+2b(t)[(j-2)(j-3)(j-4)(j-5)(j-6)u(j-3)]φy

=0.

(25)

在上式中uj的系數(shù)可以寫成

(j+1)(j-4)(j-5)(j-6)uj=F(u0,u1,u2,…,uj-1,φx,φt,φtx,φyy,…),

(26)

并且(26)式中的右端只與低于uj的u0,u1,u2,…,uj-1,及φx,φt,φtx,φyy,…有關(guān),當(dāng)j=-1,4,5,6時uj的系數(shù)為零,因此j=-1,4,5,6為方程的(7)的共振點,所以j=-1,4,5,6無法求出,其他的uj可以通過(26)式求出.

若取u4=u5=u6=0,則從(26)知u7=u8=…=0,此時(8)式是有限項,即

u=u0φ-2+u1φ-1+u2+u3φ，

(27)

其中u0,u1,u2,u3由(16),(20),(22)和(24)確定.

2 (2+1)維變系數(shù)Kadomtsev-Petviashvilli方程的精確解及其解圖像

通過上述計算可知(2+1)維廣義圓柱變系數(shù)Kadomtsev-Petviashvilli方程的精確解u=u0φ-2+u1φ-1+u2+u3φ,其中我們還要確定函φ,因為u0,u1,u2,u3由(16),(20),(22)和(24)確定,我們假設(shè)φ可以表示為指數(shù)函數(shù)形式

(28)

其中η(y,t)是關(guān)于y,t的待定函數(shù),ω(t)是關(guān)于t的待定函數(shù),將φ代入(16),(20),(22)和(24)中,可以得到關(guān)于η(y,t)的一個特解

η(y,t)=f1(t)y+f2(t),

(29)

其中f1(t),f2(t)都是關(guān)于t的函數(shù).

將(29)代入(28)可以得到

(30)

再將(29)和(30)式代入(24)式中,可以得到

(31)

將(16),(20),(22),(24),(30)和(31)代入u=u0φ-2+u1φ-1+u2+u3φ中,即得到(7)的精確解

(32)

其中ω(t)由(31)式?jīng)Q定.上述解是一個新解,還未被其他文獻(xiàn)描述過.圖1(a)刻畫了最終解的一個結(jié)構(gòu)圖,其中a(t)=sin(t),b(t)=cos(t),f1(t)=t,f2(t)=t+1,k=0,ω(t)=sin(t)cos(t).

f1(t),f2(t)為光滑函數(shù),在這一部分當(dāng)中,我們用Maple將(16),(20),(22),(24),(30),(31)和(32)代入u=u0φ-2+u1φ-1+u2+u3φ中,方程(7)成立,其解滿足方程.

3 總結(jié)

首先,這篇文章對(2+1)維變系數(shù)Kadomtsev-Petviashvilli方程進(jìn)行了Painlevé分析,其次,用Painlevé分析的WTC方法得到了(2+1)維廣義柱Kadomtsev-Petviashvilli方程新的精確解,并用Maple對其解的正確性進(jìn)行了驗證,其中f1(t),f2(t)為光滑函數(shù),這會使得到的空間結(jié)構(gòu)圖更加豐富,若取不同的參數(shù)值,便會得到不同的圖形.