基于數(shù)學(xué)建模理論的問題研究與分析

葉雯

摘 ?要： 數(shù)學(xué)模型是架于數(shù)學(xué)與實(shí)際問題之間的橋梁，在數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中無時(shí)無刻不留下數(shù)學(xué)模型的印記。數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)的思維方法，用數(shù)學(xué)語言和方法來抽象簡化實(shí)際問題，以便于實(shí)際問題的解決。數(shù)學(xué)建模不僅是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的重要工具，而且是揭示基本自然規(guī)律，產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)思想和方法的重要途經(jīng)。文章用實(shí)例介紹了數(shù)學(xué)建模理論及其應(yīng)用。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué); 模型; 數(shù)學(xué)建模

中圖分類號(hào)：TP3-05 ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1006-8288（2020）03-16-04

Researching and analyzing with mathematical modeling theory

Ye Wen

（Network and Information Center， Nanjing Institute of Technology， Nanjing， Jiangsu 211167， China）

Abstract： Mathematical modeling is a bridge between mathematics and practical problems， which leaves marks all the time in the process of mathematical development. Mathematical modeling is a kind of mathematical thinking method， which uses mathematical language and methods to abstract and simplify practical problems， so as to solve the practical problems. Mathematical modeling is not only a significant tool to solve practical problems， but also an important way to reveal basic laws of nature and generate new mathematical ideas and methods. In this paper， mathematical modeling theory and the application in solving practical problems are introduced with examples.

Key words： mathematics; model; mathematical modeling

0 引言

數(shù)學(xué)是各門自然科學(xué)、工程科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)的基礎(chǔ)，是技術(shù)進(jìn)步、經(jīng)濟(jì)建設(shè)和社會(huì)發(fā)展的重要工具[1-2]。數(shù)學(xué)一直與其他學(xué)科的發(fā)展密切相關(guān)，且對(duì)其他學(xué)科的發(fā)展也起到了促進(jìn)作用[3]。一直以來數(shù)學(xué)作為一種實(shí)用的技術(shù)，是人類處理生活中及社會(huì)活動(dòng)中遇到的各種實(shí)際問題的一把金鑰匙。計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)，如今數(shù)學(xué)的應(yīng)用以空前的影響力向工程技術(shù)、管理、金融、自然科學(xué)、醫(yī)學(xué)等眾多領(lǐng)域滲透。

1 數(shù)學(xué)建模

1.1 數(shù)學(xué)建模理論與應(yīng)用

模型是人們基于一定的目的對(duì)原型的抽象。數(shù)學(xué)建模就是根據(jù)實(shí)際問題來建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問題[4]，它把錯(cuò)綜復(fù)雜的問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁，是數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的工具。應(yīng)用數(shù)學(xué)方法去解決各類實(shí)際問題時(shí)，建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時(shí)也是很困難的一步[3]。

當(dāng)需要從定量的角度分析和研究信息科學(xué)、生活生產(chǎn)、消費(fèi)休閑等實(shí)際問題時(shí)，人們就要在深入觀察和研究問題對(duì)象的固有特征、了解和收集問題對(duì)象的信息資料、作出反映實(shí)際問題數(shù)量關(guān)系的抽象和簡化假設(shè)、分析對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)之上，引入一些相關(guān)的數(shù)學(xué)符號(hào)、變量和參數(shù)，從而用數(shù)學(xué)語言和方法建立其變量參數(shù)間的內(nèi)在關(guān)系，得出一個(gè)可以近似刻畫實(shí)際問題的模型，進(jìn)而對(duì)其進(jìn)行分析、求解、檢驗(yàn)和推廣[5]，最終實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題的解決。

數(shù)學(xué)建模和人們的日常生活、工作和社會(huì)活動(dòng)是緊密相連的。文獻(xiàn)[6]列舉了氣象工作站利用通過氣象衛(wèi)星大量收集到一定時(shí)間內(nèi)的氣壓、降水、風(fēng)速和云層等各種狀態(tài)的數(shù)據(jù)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，可準(zhǔn)確有效地模擬實(shí)時(shí)的天氣變化。生理學(xué)專家利用人體體內(nèi)的藥物濃度和時(shí)間來建立數(shù)學(xué)模型從而有效的指導(dǎo)藥物在臨床中的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)建模的過程一般分為模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析、模型檢驗(yàn)、模型應(yīng)用與推廣等多個(gè)階段[4]。建模要點(diǎn)是：要明確研究目標(biāo)，力圖從實(shí)際問題中歸納出所采用的假設(shè)和解題線索;用假設(shè)簡化問題，在實(shí)際與數(shù)學(xué)簡化之間選擇恰當(dāng)?shù)钠胶恻c(diǎn)，這是建模成功與否的關(guān)鍵，體現(xiàn)了建模工作的想象力和創(chuàng)造力;做正確的推理，在無法進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)時(shí)， 可以使用“不嚴(yán)格”的數(shù)學(xué)，代之以對(duì)問題的分析、歸納、類比、猜測、嘗試，事后檢驗(yàn);最后盡可能使用實(shí)際資料檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)果，并用恰當(dāng)?shù)膶W(xué)科語言表達(dá)數(shù)學(xué)結(jié)果，圖1是建模過程的流程圖。

1.2 建模實(shí)例

本篇通過引入一個(gè)實(shí)際的生活問題和一個(gè)實(shí)際的數(shù)學(xué)問題，建立了相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

1.2.1 實(shí)例一

針對(duì)雨中如何行走可以少淋到雨這個(gè)問題，我們從模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)和模型計(jì)算等方面來解決問題。

1.2.1.1 模型準(zhǔn)備

首先模型準(zhǔn)備階段，在接下來的模型建立過程中需要用到的變量：

h 人的身高，

w 人的寬度，

d 人的厚度，

C 淋雨總量，

I 降雨大小，即降雨強(qiáng)度，

vf 風(fēng)速，

vr 人的速度，

D 人跑完的全程的長度，

ρ 雨滴的密度，

r 雨速。

1.2.1.2 模型假設(shè)

⑴ 把人體視為長方體，身高h(yuǎn)（m），寬度w（m），厚度d（m）。淋雨總量用C升來記;

⑵ 降雨大小用降雨強(qiáng)度I（cm/h）來描述，降雨強(qiáng)度指單位時(shí)間平面上降下水的厚度。這里可視為一個(gè)常量;

⑶ 風(fēng)速vf（m/s）保持不變;

⑷ 人以一定速度vr（m/s）跑完全程D（m）。

1.2.1.3 模型計(jì)算

人行走對(duì)的方向順風(fēng)且雨與地面的夾角至少為α>0，數(shù)學(xué)模型如圖2所示。

設(shè)雨速為r（m/s），雨滴的密度為ρ（kg/m3），I表示在一定時(shí)刻在單位體積的空間內(nèi)，雨滴所占的空間的比例數(shù)，即降雨強(qiáng)度系數(shù)。所以，I=r。

由于順風(fēng)而行，考慮降雨方向，淋濕的部位只有頂部和背部，則分兩部分計(jì)算降雨量：

因此，一般情況下，當(dāng)v=rcosα?xí)r總淋雨量最少，人應(yīng)以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相對(duì)于人是垂直下落的。

當(dāng)α=90?時(shí)，cosα=0，sinα=1，即C=w（d-hv）即人應(yīng)以最快的速度行走，使總淋雨量最少，并且傘柄應(yīng)垂直于地面來使落在人身體上的雨盡可能少。

當(dāng)90?<α<180?時(shí)，cosα<0，總淋雨量C=w（dsinα+h（rcosα-v）），故人應(yīng)以最快的速度行走且傘柄應(yīng)與地面成（180-α）?來使落在人身體上的雨盡可能少，這樣總淋雨量最少。

針對(duì)這個(gè)問題，通過模型假設(shè)和模型計(jì)算與分析，最終的結(jié)論是：如果行人行走的方向是順風(fēng)，且雨與地面的夾角至少為α>0 ，則應(yīng)以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相對(duì)于行人是垂直下落的;其他情況下，都應(yīng)以最快的速度行走。若有把傘，若有把傘，當(dāng)0?<α<90?時(shí)，人應(yīng)以雨速水平分量的速度行走，使雨相對(duì)于人使垂直下落的，故傘柄應(yīng)垂直于地面來使落在人身體上的雨盡可能少。當(dāng)α=90?，人應(yīng)以最快的速度行走，使總淋雨量最少，傘柄應(yīng)垂直于地面來使落在人身體上的雨盡可能少。當(dāng)90?<α<180?，人應(yīng)以最快的速度行走且傘柄應(yīng)與地面成（180-α）?來使落在人身體上的雨盡可能少。

1.2.2 實(shí)例二

接下來是一個(gè)幾何數(shù)學(xué)問題，一條直線最多將平面劃分成兩部分，二條直線最多將平面劃分成四部分，這里需要計(jì)算出n條直線最多將平面劃分成多少部分。

1.2.2.1 模型準(zhǔn)備

變量說明：

n ? 直線的條數(shù);

pn-1 ?之前的所有直線將平面劃分得到部分的總數(shù)目;

pn ?新增加的第n條直線劃分平面后得到的劃分總數(shù)目。

1.2.2.2 模型假設(shè)

在此，①我們將平面假定為一個(gè)矩形;②假設(shè)當(dāng)將平面劃分得到的部分最多時(shí)，所有直線相交的交點(diǎn)都在該給定的矩形區(qū)域內(nèi)。

1.2.2.3 模型分析

一條直線最多將平面劃分成兩部分，兩條直線最多將平面劃分成4部分，表1演示了新增加的第n條直線劃分平面后得到的劃分總數(shù)目。

一條直線將平面劃分成兩部分，兩條直線最多能將平面劃分成4部分。即

我們知道，在同一具有延展性的平面內(nèi)，兩條直線不是平行就是相交。每增加一條直線，如果想要?jiǎng)澐值玫降牟糠肿疃?，那么新增的直線就必須與之前所有的直線相交。因?yàn)槿缛裘看涡略龅闹本€與之前的直線平行，則新增加的第n條直線劃分平面后得到的劃分總數(shù)目為

這樣必然比不平行直線分割得到的部分少，因?yàn)樾略龅闹本€每與一條直線相交，就會(huì)與該直線相交并在平面上得到新的劃分部分。

如圖3所示，每增加一條直線，就與之前所有的直線都相交，則增加（n-1）個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)n=4時(shí)，增加三個(gè)交點(diǎn)（4，5，6），并且新增的直線會(huì)與已知平面的兩條邊界相交，則新增的直線在已知平面上共有n+1個(gè)交點(diǎn)，即圖3中的（7，4，5，6，8）五個(gè)交點(diǎn)，其中每兩個(gè)相鄰的交點(diǎn)會(huì)與在增加第n條直線之前所產(chǎn)生的交點(diǎn)中的一個(gè)或多個(gè)交點(diǎn)再次組成一個(gè)新的劃分部分。如圖3所示，五個(gè)交點(diǎn)中的第二個(gè)交點(diǎn)（交點(diǎn)4）和第三個(gè)交點(diǎn)（交點(diǎn)5）會(huì)與增加第2條直線所產(chǎn)生的交點(diǎn)（交點(diǎn)1）產(chǎn)生一個(gè)三角形劃分部分;這樣就會(huì)在原有基礎(chǔ)上，增加了個(gè)新的劃分部分，在如圖3中，就增加了四個(gè)新的劃分部分（A，B，C，D）。則新增加的第n條直線劃分平面后得到的劃分總數(shù)目為

2 結(jié)束語

本文對(duì)兩個(gè)實(shí)際問題通過數(shù)學(xué)建模手段來解決，演示了數(shù)學(xué)建模的模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析等過程。在建模中，數(shù)學(xué)不僅僅是一種工具，我們還要從所作的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和所得到的數(shù)學(xué)結(jié)論中尋找出所包含的更一般的、更深刻的內(nèi)在規(guī)律。數(shù)學(xué)建模絕不僅僅是以應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題為目標(biāo)，我們更希望揭示基本自然規(guī)律，產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)思想和方法。

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