結(jié)合梯度投影稀疏重構(gòu)和復(fù)數(shù)小波的圖像重構(gòu)

高彥彥，李 莉，張 晶，賈英茜

（石家莊學(xué)院機電學(xué)院，石家莊050035）

0 引言

近些年被人們廣泛關(guān)注的圖像壓縮感知是由David L.Donoho 在稀疏表示和優(yōu)化理論的基礎(chǔ)上提出的一種成像理論［1］，其本質(zhì)就是在對信號進行隨機投影得到維數(shù)遠(yuǎn)小于原始信號的觀測值后，利用信號在某一變換域的稀疏性，通過求解一系列的線性或者非線性的解碼模型，得到原始信號的逼近。這種成像方法在數(shù)據(jù)采集端實現(xiàn)了采樣與壓縮的同步進行，因而極大地緩解了采集端的壓力。這樣就可以利用少量的傳感器或傳感器陣列采集信息，通過復(fù)雜的重構(gòu)算法重建高分辨率圖像，已應(yīng)用在諸多方面［2-5］，圖像重構(gòu)是典型應(yīng)用之一。

基于壓縮感知的圖像重構(gòu)有多種算法［6-7］，這些算法主要是利用信號在某一表示域的稀疏性，通過解決不同形式的優(yōu)化問題來得到信號的最優(yōu)逼近，文獻(xiàn)［8-9］對壓縮感知中涉及的相關(guān)內(nèi)容進行了綜述。

信號在某一變換域的稀疏度是指變換系數(shù)中非零元素的個數(shù)，這可以用系數(shù)的l0范數(shù)表示。一般來說由于自然信號的稀疏性或是可壓縮性，使得信號在某一變換域存在稀疏解或近似的稀疏解，因而壓縮感知重構(gòu)的目的就可以看成是尋找信號的最小稀疏解的過程，即：最小化系數(shù)的l0范數(shù)的過程。但是這是一個NP-hard 問題，不易求解，因而可以將l0范數(shù)轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)的最小化問題。文獻(xiàn)［10］中將l0范數(shù)轉(zhuǎn)化為l1范數(shù)最小化后，利用基追蹤進一步將其轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題進行求解；也可以根據(jù)文獻(xiàn)［11］提出的迭代收縮算法，利用前一估計值和變化域的閾值處理得到迭代更新值，進而逼近最優(yōu)解；匹配追蹤［12］是一種常用的貪婪算法，主要就是在每一步迭代中尋找投影字典中最匹配的原子，從而縮小剩余量，這種算法的計算量過大，對于圖像壓縮感知不是很好；文獻(xiàn)［13］中利用圖像的全變差（梯度稀疏性，變換系數(shù)的稀疏性可以看成是梯度的一種跳變）結(jié)合凸集投影和小波閾值處理完成了圖像的壓縮感知重構(gòu)。在以上介紹的這些方法中，均需要對投影矩陣A 進行準(zhǔn)確處理，而文獻(xiàn)［14］針對稀疏重構(gòu)提出的梯度投影（Gradient Projection for Sparse Reconstruction，GPSR）算法則不需要對投影矩陣A 進行準(zhǔn)確的處理，只需要計算A與AT的內(nèi)積，簡化了算法。

壓縮感知中變換域的選擇目前常用的是正交小波，但正交小波存在一些不可避免的缺點：振蕩、平移變性、方向選擇性差。Kingsbury［15］提出的雙樹復(fù)數(shù)小波變換（Dual-Tree Complex Wavelet Transform，DT CWT）克服了這些缺點，具有平移不變性和良好的方向選擇性。為了提高壓縮感知重構(gòu)算法的有效性，本文在利用置亂離散余弦變換（Permute Discrete Cosine Transform，PDCT）得到觀測值后，利用圖像在雙樹復(fù)數(shù)小波域的稀疏性，結(jié)合GPSR 算法完成了圖像壓縮感知重構(gòu)，并通過實驗驗證了該算法的有效性。

1 壓縮感知

原始信號s ∈Rn，隨機投影過程表示為y=Φs，Φ ∈Rm×n定義為隨機投影矩陣，y ∈Rm（n ?m）。壓縮感知重構(gòu)的目的是利用信號在某一變換域（用Ψ 表示）的稀疏性，從遠(yuǎn)少于n的m個觀測值中恢復(fù)原始信號。對于這一問題需要保證Φ滿足Candes等提出的限制等容性，并且Φ與Ψ不相關(guān)［16］。

對于一維信號，隨機矩陣Φ 通常情況下選擇高斯隨機陣［17］，但是對于二維圖像，這種隨機矩陣是不可取的，本文選擇PDCT（將圖像進行一維置亂，再轉(zhuǎn)為二維圖像進行離散余弦變換），從得到的變換系數(shù)中選擇一定數(shù)量的數(shù)值作為觀測值y。

壓縮感知的重構(gòu)主要就是利用圖像變換系數(shù)的稀疏性來進行的，需要找到最稀疏的變換系數(shù)。矩陣的稀疏性可以用其l0表示，但是對l0問題的求解并不易得到，因而可以將其轉(zhuǎn)為l1問題：

s.t.y=Φs

其中，α 是圖像的變換系數(shù)，用α=Ψs 表示。對于式（1）所述優(yōu)化問題，通常情況下考慮：

其中參數(shù)τ 為非負(fù)值，用于平衡式（2）中的前后兩部分的比重。由于α=Ψs，將s=ΨTα代入式（2），得到：

設(shè)A=ΦΨT，x=α，則式（3）變?yōu)椋?/p>

2 針對稀疏表示的梯度追蹤算法

GPSR算法［15］首先將式（4）代表的問題轉(zhuǎn)化為邊界約束二次問題：

s.t.u ≥0，v ≥0

其中u、v分別表示x的正負(fù)兩部分，即：

則 ui，j=(xi，j)+=max(0，xi，j)，vi，j=(-xi，j)+=max(0，-xi，j)，i，j=1，2，…，n。由 此 得 到，其 中 1n=[1，1，…，1]T。

將式（5）進一步整理寫成標(biāo)準(zhǔn)的邊界約束二次問題形式：

s.t.z ≥0

對于給定的向量z=[uT，vT]T，存在：

由式（7）可得函數(shù)F(z)的梯度：

式（9）又可以表示為?F(z)=(?u，?v)T，根據(jù)式（5）可以得到：

梯度投影算法的主要步驟：

進一步推導(dǎo)，將其轉(zhuǎn)化為以u、v作變量的形式：

GPSR-Basic算法對應(yīng)的是λ()k=1，此時式（12）變?yōu)椋?/p>

在GPSR-Basic，標(biāo)量參數(shù)α(k)的初始值［8］設(shè)為：

其中向量g(k)具體表示為：

GPSR-Basic的具體步驟為：

1）初始化：設(shè)x(0)初始值為0，根據(jù)式（6）得到u(0)與v(0)，并且由式（5）計算目標(biāo)函數(shù)f(0)。

2）根據(jù)式（10）計算得到?u(k)與?v(k)，進而得到?x(k)=?u(k)-?v(k)。

4）α(k)=α0。

5）根 據(jù) 式（13）、（14）得 到u(k+1)與v(k+1)，從 而 得 到x(k+1)=u(k+1)-v(k+1)，計算f(x(k+1))。

6）判斷下式是否成立：

如 果 成 立，進 入 下 一 步；否 則α(k)=βα(k)，返 回 步 驟5），β ∈(0，1)。

7）判斷是否停止迭代：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的變化情況進行判斷，即是否成立，成立終止迭代，否則返回步驟2）繼續(xù)進行。

GPSR-Basic 與文獻(xiàn)［14］中考慮Barzilai-Borwein 梯度策略的算法GPSR-BB 的不同之處在于標(biāo)量參數(shù)α(k)與λk的設(shè)定，后者的參數(shù)設(shè)定如下：

3 圖像重構(gòu)的實現(xiàn)

本文壓縮傳感系統(tǒng)是利用圖像在雙樹復(fù)數(shù)小波變換域的稀疏性，并結(jié)合GPSR算法實現(xiàn)圖像重構(gòu)。

DT CWT 是利用四個普通的離散正交小波實現(xiàn)的，其變換系數(shù)包括四個支路，分別對應(yīng)實部和虛部兩部分，每一部分又分為上下兩個支路。DT CWT 克服了正交小波的缺點，具有近似的平移不變性和良好的方向選擇性。如圖1（a）所示，DT CWT 具有6 個方向（°±15°，±45°，±75°），而普通的正交小波只具有3個方向（0°，45°，90°），如圖1（b）所示。由圖1可以看出，和普通正交小波相比，DT CWT不具有振蕩特性。

在基于壓縮感知的圖像重構(gòu)系統(tǒng)中，首先利用PDCT 得到觀測值y，然后利用GPSR算法得到式（4）中的最優(yōu)解?。對于圖像x，根據(jù)圖像大小N 進行一維置亂后，再將其還原為2D圖像，進行離散余弦變換（Discrete Cosine Transform，DCT），再從此系數(shù)中選擇M 個元素作為觀測值y，此時y=Φs（Φ 代表PDCT）。在實驗中設(shè)定必要的參數(shù)：A=ΦΨ，AT=ΨTΦT，其中：Ψ 表示DT CWT，ΦT表示IPDCT，表示DT CWT 的反變換；根據(jù)GPSR 算法設(shè)定式（5）中的參數(shù)τ，以及迭代終止值δ；按照GPSR 算法的具體步驟完成變換系數(shù)的重構(gòu)，得到α?；最后利用逆變換得到重構(gòu)圖像?。

圖1 2D DT CWT和2D DWT的方向小波及振幅變化Fig.1 Directional wavelet and amplitude variation of 2D DT CWT and 2D DWT

4 實驗比較與分析

本文利用三幅大小為512×512 的灰度圖像完成相關(guān)實驗，如圖2所示。

圖2 實驗灰度圖像原圖Fig.2 Original grayscale images used in experiments

首先比較不同小波基下，采用GPSR-Basic 和GPSR-BB 兩種重構(gòu)算法的差異。在實現(xiàn)過程中，τ=2.0，迭代終止條件為δ=10-3，小波基包括DT CWT 和JPEG2000 中使用的小波基CDF 9/7（雙正交小波）。表1 給出了3 幅圖像在不同采樣率（M/N）下，利用不同小波基得到的峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR）。

表1 不同采樣率下利用GPSR-Basic和GPSR-BB在DT CWT和CDF 9/7小波基下重構(gòu)圖像的PSNR對比 單位：dBTab.1 PSNR comparison of images reconstructed by GPSR-Basic and GPSR-BB based on DT CWT and CDF 9/7 with different sampling ratios unit：dB

由表1 可以看出，對于給定的采樣率（0.1～0.5），利用GPSR-Basic 算法實現(xiàn)重構(gòu)的圖像的PSNR 值在多數(shù)情況下大于GPSR-BB 實現(xiàn)的圖像的PSNR 值，但是差值小于1 dB，從視覺上不能直觀分辨。在同一種重構(gòu)算法下，采用DT CWT 小波基得到的重構(gòu)結(jié)果均優(yōu)于CDF。從PSNR 上來看，Lena 和Boat 圖像差值在1.5 dB 左右，Barbara 圖像的差值是2 dB 左右。圖3是Lena圖像在采樣率M/N＝0.2時，在不同小波基表示下，利用GPSR-Basic 重構(gòu)的結(jié)果及其局部放大圖像，并將其與原始圖像進行了比較。重構(gòu)后的圖像與原始圖像相比，PSNR 在數(shù)值上相差1.72 dB，圖3 中有肉眼可見的改善，由局部細(xì)節(jié)可以看出利用DT CWT 小波基重構(gòu)的圖像比較清晰，噪點明顯減少。從表1中的PSNR數(shù)值來看，Lena和Boat圖像差值在1.5 dB 左右，Barbara 圖像的差值是2 dB 左右。由圖2的原始圖中可以看出，Barbara 圖像中含有較多的紋理區(qū)域，對小波的方向性要求較高，最終的實驗結(jié)果也表明DT CWT小波基在方向選擇性和細(xì)節(jié)上優(yōu)于CDF 9/7小波基。

圖3 原始圖像與DT CWT、CDF 9/7重構(gòu)圖像的比較(M/N=0.2)Fig.3 Comparison of original image and images reconstructed by DTCWT and CDF 9/7（M/N=0.2）

本文在選擇DT CWT 小波基的基礎(chǔ)上，將GSPR 算法與迭代閾值收縮（Iteration Shrinkage Threshold，IST）方法進行了比較，圖4 是對Lena 圖像利用三種方法實現(xiàn)重構(gòu)時目標(biāo)函數(shù)隨時間的變化情況。隨機投影部分選擇的是PDCT，目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)τ=2.0，迭代終止條件為δ=10-3，采樣率為0.2。從運行時間和收斂情況上看，初始階段IST的下降速度比GPSRBasic 略快，但是后續(xù)收斂變慢，達(dá)到終止的用時最久；GPSRBB的收斂速度最快，達(dá)到終止條件用時最少。

圖4 不同重構(gòu)算法下目標(biāo)函數(shù)的變化Fig.4 Changes of objective function with different reconstruction algorithms

利用結(jié)構(gòu)隨機矩陣（Structurally Random Matrices，SRM）［18］對信號x 的處理過程可定義為y＝D ?F ?P（x），其中：P 表示對原始信號進行隨機投影，可以隨機置亂信號次序或者將信號符號隨機置亂；F 表示正交變換矩陣，可選擇快速傅里葉變換、離散余弦變換或沃爾什哈達(dá)瑪變換，為了與前文的PDCT 相比較，本文選擇的是DCT；D 表示根據(jù)采樣率隨機抽取數(shù)據(jù)，最終得到觀測值y。

表2 給出了SRM 和PDCT 兩種不同觀測矩陣，在CDF9/7和DT CWT 兩種小波基下，利用GPSR-BB 對Lena 圖像重構(gòu)結(jié)果的PSNR。由表2 可以看出，在CDF 9/7 和DT CWT 小波基下，利用PDCT 的結(jié)果均優(yōu)于SRM；同一種隨機觀測矩陣下，DT CWT的結(jié)果優(yōu)于CDF 9/7。

表2 不同隨機投影方式的重構(gòu)結(jié)果的PSNR 單位：dBTab.2 PSNR of reconstructed results of different random projection methods unit：dB

5 結(jié)語

本文利用圖像在DT CWT 小波域的稀疏性，通過GPSR 算法實現(xiàn)了圖像重構(gòu)。實驗在同一重構(gòu)方法前提下比較了不同的稀疏表示域的PSNR 值，結(jié)果表明2D DT CWT 相比雙正交小波（CDF 9/7）在重構(gòu)細(xì)節(jié)上具有一定的優(yōu)勢，特別是在紋理較多的圖像上優(yōu)勢明顯；PDCT 的隨機投影方式較SRM 也有提升；并且GPSR 的兩種重構(gòu)算法與IST 相比在收斂速度上提升明顯。雖然DT CWT 在重構(gòu)結(jié)果上有明顯的提升，但由于其方向小波數(shù)量較多，重構(gòu)的速度較之CDF 9/7 有所降低。對圖像的稀疏表示仍在進一步研究中，可以考慮將其應(yīng)用到模式表示的其他領(lǐng)域。