高數(shù)中求解函數(shù)極限的方法探究

胡延儒

摘 要：極限是微積分中的重要概念，也是微積分學(xué)中各種計(jì)算方法的基礎(chǔ)之一，所以為了能夠進(jìn)一步提高函數(shù)極限計(jì)算能力，需要尋找一種更加科學(xué)、有效的計(jì)算方法，因此在本次研究中，將會(huì)在了解函數(shù)極限相關(guān)概念的技術(shù)上，了解各種函數(shù)極限的計(jì)算方法。

關(guān)鍵詞：高數(shù);函數(shù)極限;求解方法

極限是高數(shù)中的基本函數(shù)研究工具，能夠幫助同學(xué)加深對(duì)極限思想的理解，所以在高數(shù)中必須要掌握函數(shù)極限的求解算法。而在未來(lái)高數(shù)學(xué)習(xí)中，需要深化相關(guān)人員對(duì)極限概念的理解，這樣能夠加深同學(xué)的抽象概念以及邏輯思維能力，使學(xué)生的思維水平能夠從宏觀維度發(fā)展至微觀維度，并更好的掌握其他科學(xué)的知識(shí)。因此在高數(shù)學(xué)習(xí)中，掌握函數(shù)極限的求解方法已經(jīng)成為重點(diǎn)內(nèi)容。

一、函數(shù)極限學(xué)習(xí)

（一）函數(shù)的概念

函數(shù)的極限與數(shù)列的極限比相對(duì)類似，在學(xué)習(xí)中可以考慮自變量x→+∞時(shí)，f（x）會(huì)呈現(xiàn)出相應(yīng)的變化趨勢(shì);也可以考慮，當(dāng)自變量x→a時(shí)，f（x）所呈現(xiàn)出的變化趨勢(shì)。當(dāng)然與數(shù)列的極限相比，函數(shù)的極限顯然具有更復(fù)雜的難度，而造成這一情況的主要原則，就是因?yàn)楹瘮?shù)本身的自變量變化性質(zhì)是不同的，在多樣化的變化特征下，會(huì)導(dǎo)致函數(shù)極限的變化更加復(fù)雜。但是在學(xué)習(xí)是可以發(fā)現(xiàn)，針對(duì)函數(shù)極限的這種復(fù)雜性，很多情況下都體現(xiàn)在了對(duì)極限定義的敘述上，而在其他方面，包括極限的運(yùn)算、性質(zhì)以及相關(guān)的證明方法都與數(shù)列極限十分相似。

（二）函數(shù)的性質(zhì)

如果想要用函數(shù)的極限做進(jìn)一步計(jì)算，而其中的重點(diǎn)內(nèi)容就是要掌握函數(shù)性質(zhì)，在保證熟練運(yùn)用的情況下，提高解題效果。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，可以按照下列的函數(shù)極限性質(zhì)進(jìn)行解題，其中的關(guān)鍵點(diǎn)包括：（1）函數(shù)極限有界性，則按照f(shuō)（x）→A（x→x0）的要求，則有x0在任意去心鄰域的f（x）有界;（2）函數(shù)極限具有唯一性特征，在x→x0時(shí)，f（x）存在極限，此時(shí)的這個(gè)極限是唯一一個(gè);（3）函數(shù)極限體現(xiàn)在局部保號(hào)性上，同樣假設(shè)f（x）→A（x→x0），且A小于0或者大于0，則相對(duì)應(yīng)有r<-A或者rr>0情況，或者f（x）<-r<0。（4）函數(shù)極限具有迫斂性特征，假設(shè)有函數(shù)g（x）≤f（x）≤h（x）時(shí)，并且同時(shí)滿足limg（x）=A，limh（x）=A的條件后，則有imf（x）存在，并且與A相同。

而根據(jù)現(xiàn)有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)可知，由于函數(shù)極限的計(jì)算方法分為很多種，同學(xué)們的掌握難度較大，所以在問(wèn)題計(jì)算過(guò)程中，必須要積極轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)理念，在解決問(wèn)題過(guò)程中，把握函數(shù)極限的結(jié)構(gòu)特征，爭(zhēng)取能夠?qū)崿F(xiàn)一題多解，這樣才能全面提高問(wèn)題的解題效率，并讓同學(xué)們感受到問(wèn)題的解題趣味，最終感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣[1-2]。

二、函數(shù)極限的求解方法

（一）通過(guò)極限的描述性定義

在函數(shù)極限求解過(guò)程中，可以按照極限的描述性進(jìn)行分析，此時(shí)的函數(shù)極限運(yùn)算過(guò)程中，需要考慮：假設(shè)自變量的絕對(duì)值|x|無(wú)限增加，此時(shí)的函數(shù)f（x）也會(huì)表現(xiàn)出相應(yīng)的變化特征，并且與常數(shù)A是無(wú)限接近的，此時(shí)可以認(rèn)為x趨向無(wú)窮大的情況下，f（x）以A為極限;或者f（x）收斂至A時(shí)，可以記為f（x）→A（x→x0）或者A。結(jié)合上述的描述可以判斷，在描述性說(shuō)明期間能夠做函數(shù)極限估算，這種操作方法十分簡(jiǎn)單且便捷。在大部分情況下，初等函數(shù)極限可以按照描述性定義進(jìn)行分析，并在與圖像做綜合分析之后，也能得出類似結(jié)論。但是同學(xué)們?cè)诤瘮?shù)極限求解過(guò)程中，還是需要充分掌握初等函數(shù)極限的特征，這也是計(jì)算出復(fù)雜函數(shù)的基礎(chǔ)理論，這樣才能有效避免計(jì)算錯(cuò)誤的問(wèn)題發(fā)生。

（二）通過(guò)重要極限計(jì)算函數(shù)極限

通過(guò)重要極限計(jì)算函數(shù)極限期間，可以按照不同的算法做出調(diào)整。

（1）重要極限1。在中，x與sinx是兩個(gè)完全不同函數(shù)，在函數(shù)計(jì)算過(guò)程中，可以通過(guò)該極限來(lái)促使一次函數(shù)與三角函數(shù)之間建立關(guān)系，在經(jīng)過(guò)這種處理之后，能夠讓兩者之間的比值得以實(shí)現(xiàn)。此時(shí)要注意的是，該極限具有十分廣泛的應(yīng)用價(jià)值，并成為解決實(shí)際問(wèn)題的有效方法，假設(shè)有題①。

在該函數(shù)極限的計(jì)算過(guò)程中，其解題思路為：

在該重要極限的計(jì)算過(guò)程中需要考慮的問(wèn)題是，當(dāng)x接近于無(wú)窮的情況下，則x1趨近于0，則該條件與上個(gè)重要極限是相同的，必須要滿足上述條件才能使用，但是還需要考慮一個(gè)特殊情況，若使得x=1/y，而因?yàn)閤→∞，所以y→0，則在計(jì)算過(guò)程中，該重要極限可以采用下列方法做代換，此時(shí)在代換后則有：

在按照上述方法做處理后，能夠得出重要極限的另一種計(jì)算方法，所以在函數(shù)極限的過(guò)程中能將該極限擴(kuò)充為兩個(gè)極限，分別為與;在極限運(yùn)算過(guò)程中，還需要對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，了解x趨近的是∞還是0，若有x→∞，則括號(hào)內(nèi)必須為1/x，此時(shí)的指數(shù)為x;若有x→0，則括號(hào)內(nèi)為x，以1/x為指數(shù)。在函數(shù)極限的運(yùn)算過(guò)程中，必須要考慮上述數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，若發(fā)現(xiàn)任意一點(diǎn)無(wú)法匹配，則這種相對(duì)應(yīng)的重要極限無(wú)法使用。

（三）其他算法在函數(shù)極限計(jì)算中的運(yùn)用

通過(guò)極限的描述性定義求解。從當(dāng)前的函數(shù)極限算法經(jīng)驗(yàn)可知，通過(guò)極限的描述性定義求解是一種有效的計(jì)算方法，有很多關(guān)于極限的問(wèn)題都能通過(guò)這個(gè)方法進(jìn)行計(jì)算，此時(shí)關(guān)于極限定的定義描述為，假設(shè)自變量x的絕對(duì)值為|x|，且|x|是無(wú)限增大的，在相關(guān)條件不發(fā)生改變的情況下，函數(shù)f（x）值會(huì)與某常數(shù)的值無(wú)限接近，則這個(gè)計(jì)算過(guò)程可以認(rèn)為：當(dāng)自變量x趨向無(wú)窮函數(shù)的情況下，A就是x的函數(shù)極限，那么根據(jù)這個(gè)特征，可以將x縮小到A，可以計(jì)算為x→A（x→∞），并且結(jié)合上面的定義描述內(nèi)容，能夠求解函數(shù)的極限，這也是一種相對(duì)簡(jiǎn)單的計(jì)算方法[3]。

三、結(jié)束語(yǔ)

在高數(shù)中求解函數(shù)極限過(guò)程中，本文所介紹的各種函數(shù)極限算法具有可行性，通過(guò)上述方法能夠通過(guò)套用的方法，直接計(jì)算出最終結(jié)果，具有科學(xué)性?？傮w而言，在高等數(shù)學(xué)中，函數(shù)極限運(yùn)算已經(jīng)成為其中的重點(diǎn)內(nèi)容，對(duì)同學(xué)們的高數(shù)運(yùn)算能力具有重要影響，因此同學(xué)們需要按照問(wèn)題的不同情況做求解，這樣才能在短時(shí)間內(nèi)獲得問(wèn)題的正確答案，提高解題效率。

參考文獻(xiàn)

[1]金波，周旺，唐麗瑩，等.正常使用極限狀態(tài)下隱式功能函數(shù)結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2020（01）：116-122.

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