構(gòu)建“數(shù)學(xué)模型”,求解“最小值”問題

江蘇省海門市能仁中學(xué)(226100) 仇建新

關(guān)于用數(shù)學(xué)模型方法處理實(shí)際問題的過程,可以用圖1表示.

圖1

其一,了解經(jīng)典數(shù)學(xué)幾何模型——“胡不歸”模型的相關(guān)背景:相傳一個(gè)身處異鄉(xiāng)的小伙子,得知父親病危的消息后便日夜兼程.然而,當(dāng)他氣喘吁吁地趕到父親面前時(shí),老人剛剛咽氣！周圍人告訴他,在彌留之際,老人不斷喃喃地叨念“胡不歸、胡不歸?”

早期數(shù)學(xué)家曾為這則古老傳說中的小伙子設(shè)想了一條路線(如圖2),A是出發(fā)地,B是目的地,AC是一條驛道,而驛道靠目的地的一側(cè)是沙土地帶.為了急切回家,小伙子選擇了線段AB.但是,他忽略了在驛道行走要比在沙土地帶行走更快的因素.若他事先設(shè)計(jì)一條最合適的路線(盡管該路線長(zhǎng)一些,但速度可以加快),是可以提前抵達(dá)家門口的.那么,他該選擇哪條路線呢?

圖2

其二,由現(xiàn)實(shí)情境抽象并構(gòu)建“胡不歸”數(shù)學(xué)模型,總結(jié)與歸納一般求解步驟及其依據(jù):假設(shè)在驛道、沙地上行走速度分別為v1,(v1＞v2),在AC上任取一點(diǎn)D,設(shè)小伙子從A行走到D的路程AD,然后從D折往B路程為DB,則由A-D-B累計(jì)時(shí)間:.故此類問題關(guān)鍵在于如何找出點(diǎn)D,使得的值最小,這即是古老的“胡不歸”問題.為此,我們歸納求解其“最小值”問題的一般步驟:

圖3

第一步,在AD的一側(cè)、BD的另一側(cè)(如圖3),設(shè)法構(gòu)造一個(gè)銳角α,使得

第二步,過點(diǎn)B作新構(gòu)造銳角α一邊的垂線,垂足為點(diǎn)F,該垂線段BF的長(zhǎng)度即為所求最小值;

第三步,代入上面有關(guān)式子進(jìn)行計(jì)算.

解釋第二步最小值的理論依據(jù):易證四邊形DEFG是矩形,得DE=FG,在RtΔAED中,sinα=sin ∠DAE=因此,+BD=sinα·AD+BD=DE+BD=FG+BD≥FG+BG=BF,當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)D′重合時(shí),三點(diǎn)B,D′,F共線(恰好取“=”號(hào)),此時(shí),根據(jù)“垂線段最短”得

其三,化歸“胡不歸”問題來探究“PA+K·PB”型最小值問題的幾何模型(如圖4)和數(shù)學(xué)原理(方法):

圖4

當(dāng)K=1 時(shí),轉(zhuǎn)化為“PA+PB”的最小值問題,即為“將軍飲馬”問題;

當(dāng)1 且為正數(shù)時(shí),按動(dòng)點(diǎn)P 的運(yùn)動(dòng)軌跡分類:

(1)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問題(如圖5的①);

(2)點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問題(如圖5的②)

圖5

其四,以中考數(shù)學(xué)真題為例側(cè)重研討以“胡不歸”問題求解“PA+K·PB”型的最小值.

例題1(2019年成都中考數(shù)學(xué)B 卷第24 題)如圖6,在邊長(zhǎng)為1 的菱形ABCD中,∠ABC=60°,將ΔABD沿射線BD的方向平移得到△A′B′D′,分別連接A′C,A′D,B′C,則A′C+B′C的最小值為:_____.

圖6

評(píng)析由求“A′C+B′C的最小值”的數(shù)量關(guān)系,聯(lián)想“胡不歸”(K=1)的特例——將軍飲馬問題的幾何模型,雙動(dòng)點(diǎn)A′,B′分別與定點(diǎn)C的距離的和的最小值,關(guān)鍵如何構(gòu)造點(diǎn)C所在的定直線a,以及這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與a同側(cè))利用(與a)軸對(duì)稱使之變?yōu)?與a異側(cè))“兩點(diǎn)之間,線段最短”(如圖6左圖),過C點(diǎn)作BD的平行線l(定直線),以l為對(duì)稱軸作B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B1,連接AB1交直線l于點(diǎn)C1,根據(jù)平移性質(zhì)和軸對(duì)稱性質(zhì)可知A′C+B′C=AC1+BC1,當(dāng)三點(diǎn)A,B1,C1=共線時(shí)AC1+BC1=AC1+B1C1取最小值,即AB1,根據(jù)已知可得AB=BB1=1,再解等腰三角形ABB1,此時(shí)BC ⊥AB1,根據(jù)勾股定理得,AB1=故答案為

這里的雙動(dòng)點(diǎn)A′,B′分別轉(zhuǎn)化為雙定點(diǎn)A,B,而定點(diǎn)C對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)C1(由將軍飲馬幾何模型確定),此步最為關(guān)鍵,通過“形”來解“數(shù)”,將線段AC′與B′C的折線位置關(guān)系通過以上方法化歸為線段AC1與B1C1的共線關(guān)系,事實(shí)上AB1與A′B′′也是相等的數(shù)量關(guān)系,最后利用“胡不歸”模型求解.

例題2(2019年綿陽(yáng)中考數(shù)學(xué)第24 題)在平面直角坐標(biāo)系中,將二次函數(shù)y=ax2(a ＞0)的圖象向右平移1 個(gè)單位,再向下平移2 個(gè)單位,得到如圖所示的拋物線,該拋物線與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),OA=1,經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C,且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D,ΔABD的面積為5．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式;

(2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方,求ΔACE面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)若點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn),在(2) 的結(jié)論下,求PE+PA的最小值．

圖7

圖8

評(píng)析(1)考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,滲透數(shù)形結(jié)合思想,拋物線的解析式為即：直線AD的解析式為;(2)利用“參數(shù)法”設(shè)點(diǎn)則構(gòu)建“二次函數(shù)模型”求解(面積的) 最大值問題,S△ACE=時(shí),ΔACE的面積有最大值,最大值是此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為(); (3)轉(zhuǎn)化“胡不歸”問題求解最小值的一般步驟,第一步探求sin ∠BAE=(具備sinα是前提),第二步作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F,連接EF交x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)F作FH ⊥AE于點(diǎn)H(構(gòu)造了“PA+K· PB”型最小值問題的幾何模型,是關(guān)鍵),交x軸于點(diǎn)P(如備用圖),此時(shí)點(diǎn)F,P,H共線,=(PF+sin ∠BAE·AP)最小值=(PF+PH)最小值=FH,由“兩點(diǎn)間距離公式”計(jì)算再由面積法AE·FH=EF·AG得FH=3.

從上面的例子看出,構(gòu)建恰當(dāng)?shù)摹皵?shù)學(xué)模型”,是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的一種重要途徑,既可以啟發(fā)解題路思,處理數(shù)學(xué)個(gè)別問題,又可用來指導(dǎo)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn),和揭示解題規(guī)律、滲透數(shù)學(xué)思想及方法等.化歸“胡不歸”問題求解“PA+K·PB”型最小值問題的方法,本質(zhì)上是初中數(shù)學(xué)“構(gòu)造法”在不同層次上的應(yīng)用之一,望多加體會(huì)！