福建省廈門市同安區(qū)廈門實驗中學(361116) 劉云啟
《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011 版)》對旋轉(zhuǎn)的要求為:會說出旋轉(zhuǎn)的定義和它的基本性質(zhì),理解旋轉(zhuǎn)前后對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì);能按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形,理解中心對稱圖形和旋轉(zhuǎn)對稱圖形的轉(zhuǎn)化關(guān)系.結(jié)合近幾年全國各地市的中考題,不難發(fā)現(xiàn),在選擇題、填空題和解答題中都會考查到旋轉(zhuǎn).而在復習過程中,學生遇到考查旋轉(zhuǎn)綜合題時,借助常規(guī)方法往往難以解決問題.淺層原因在于通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造輔助線是學生學習的一大難點,深層原因在于學生尚未有效掌握旋轉(zhuǎn)的本質(zhì).
數(shù)學教育家傅種孫先生曾言:“幾何之務(wù)不在知其然,而在知其所以然;不在知其所以然,而在知何由以知其所以然”.這為數(shù)學的學習標明了三個遞進的境界:一是知其然,二是知其所以然,三是知何由以知其所以然.筆者認為,緊扣中考考試大綱,以基礎(chǔ)知識、基本技能、基本能力和基本思想構(gòu)成的“四基”為復習路徑,不僅能較好地夯實知識點,掌握相應的數(shù)學思想和方法,而且可以作為中考數(shù)學專題復習中比較有效的方式,這與傅種孫先生的觀點不謀而合.本文以旋轉(zhuǎn)這一知識點為例,談?wù)勅绾卧趫D形變換專題復習中實踐以上復習方式.
華羅庚先生指出:“復雜的問題要善于‘退’,‘退’到最原始而不失去重要性的地方,是學好數(shù)學的一個訣竅”.夸美紐斯在《大教學論》中提到:“在盡可能的范圍內(nèi),一切事物都應盡力地放在感官的跟前.更好地理解旋轉(zhuǎn),莫過于從最原始的地方出發(fā)——動手操作.
例1給定一張鈍角ΔABC的紙片,以A為圓心,把ΔABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)180°.
(1)想一想紙片繞點A旋轉(zhuǎn)的過程;
(2)請用給定的紙片在圖1中轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn);
(3)請畫出點C的對應點在BC延長線上時的對應圖形,點B的對應點在BC延長線上時的對應圖形,點B的對應點在BA延長線上時的對應圖形以及畫出一個把ΔABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)任意角度所得到的圖形;
(4)將這四個新得到圖形分別和原圖形進行觀察比較,你發(fā)現(xiàn)了什么?
圖1
圖2
評注分設(shè)4 個問題的目的在于借助圓,學生能夠直接感知圖形旋轉(zhuǎn)路徑,有利于培養(yǎng)學生空間想象能力;將旋轉(zhuǎn)附著在圓上,學生更易理解旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)特征,有利于深化學生化歸與轉(zhuǎn)化思想;通過不同旋轉(zhuǎn)位置新舊圖形(如圖2)的比較、探究,總結(jié)出旋轉(zhuǎn)的共性,有利于學生掌握從特殊到一般的數(shù)學思想方法.
雖然旋轉(zhuǎn)的概念比較容易理解,但在復習基礎(chǔ)知識時,不應一味追求以做題鞏固知識點,而應追根溯源,弄清楚旋轉(zhuǎn)概念的內(nèi)涵與外延.知其然,也要知其所以然,為提升基本技能做鋪墊.
例1可以作為學案的內(nèi)容,學生課前完成.專題復習課時間有限,把一部分內(nèi)容移植到課前完成,為課堂教學贏得時間和空間.通過課堂進一步講解,學生經(jīng)歷兩次思考對比后,對旋轉(zhuǎn)的理解會更為透徹.在教學時還應注意,旋轉(zhuǎn)點除了在幾何圖形的頂點(邊上的特殊點)上,還可以在圖形外,邊上(排除頂點),圖形內(nèi)部.教師應要求學生自主解決其它三種情況,這有助于鞏固學生分類討論意識,加強學生識圖作圖能力,滲透轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.
例2(2017年南通中考數(shù)學卷,15)如圖3,將ΔAOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到ΔCOD.若∠AOB=15°,則∠AOD=_____度.
變式1(2018年衡陽中考數(shù)學卷,13) 如圖4,點A,B,C,D,O都在方格紙的格點上,若△COD是由△AOB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到的,則旋轉(zhuǎn)的角度為______.
圖3
圖4
評注雖然例2 和變式1 可以直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)很快得出答案,但應引導學生從源頭上去認識題目,將圓作為旋轉(zhuǎn)的知識生長點,以基礎(chǔ)題的形式呈現(xiàn),學生可以更清楚地理解旋轉(zhuǎn).只有回歸本質(zhì),建立起旋轉(zhuǎn)知識點的強大根系,學生才能夠適應在基本技能和基本能力方面的考查.
中考除了對旋轉(zhuǎn)知識點單一技能考查外,更傾向于結(jié)合其它知識點,以局部知識網(wǎng)絡(luò)的形式檢測學生的數(shù)學水平.
例3(2017年天津中考數(shù)學卷,9) 如圖5,將ΔABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得△DBE,點C的對應點E恰好落在AB的延長線上,連接AD.下列結(jié)論一定正確的是( ).
圖5
A.∠ABD=∠EB.∠CBE=∠C
C.AD//BCD.AD=BC
評注例3 考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線的判定以及等邊三角形的判定.在熟練掌握基礎(chǔ)知識的前提下,建立知識點間的聯(lián)系進行技能疊加,達到解決題目的目的.學生形成解決旋轉(zhuǎn)的基本技能,有助于實現(xiàn)同類型題目的多題一解.我們給出例3 的變式2.
變式2(2018年山西中考數(shù)學卷,8) 如圖6,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到ΔA′B′C,此時點A′恰好在AB邊上,則點B′與點B之間的距離為( ).
圖6
A.12 B.6 C.6D.6
評注題目條件發(fā)生了改變,但解題的核心依然是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).從形式、內(nèi)容以及方法上可以發(fā)現(xiàn)變式2 與例3 高度相似.熟練掌握多題一解的能力,還需要抽取不同題目的共性,牢牢抓住解題的本源.我們給出例3 的變式3.
變式3(2018年江西中考數(shù)學卷,10)如圖7,在矩形ABCD中,將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),得到矩形AEFG,點E的對應點落在CD上,且DE=EF,則AB的長為_____.
圖7
評注雖然題目條件不一樣,圖形有別,涉及的考點又有所不同,但都考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
有效挖掘題目條件并加以運用,解決上述類型的題目并不難.而學生遇到比較復雜的旋轉(zhuǎn)問題時,即便結(jié)合已知條件分析圖形,也難以下手.這就需要理解旋轉(zhuǎn)本身是一個動態(tài)的過程,應當從運動的視角去思考圖形變換的內(nèi)在聯(lián)系,認識圖形大小、圖形位置變與不變的本質(zhì)特征.
例4(2019年廈門數(shù)學質(zhì)量檢測試卷,23) 在四邊形ABCD中,AB//CD,∠ABC=60°,AB=BC=4,CD=3.
(1)如圖8,求ΔBCD的面積;
(2)如圖9,M是CD邊上一點,將線段BM繞點B 逆時針旋轉(zhuǎn)60°,可得線段BN,過點N作NQ ⊥BC,垂足為Q,設(shè)NQ=n,BQ=m,求n關(guān)于m的函數(shù)解析式.(自變量m的取值范圍只需直接寫出)
圖8
圖9
評注結(jié)合旋轉(zhuǎn)角度,利用旋轉(zhuǎn)過程中線段長度的不變性,聯(lián)想到三角形全等的條件,進而構(gòu)造輔助線.突破這個障礙,求解問題就會比較容易.
通過這四道試題的展示,可以清晰地發(fā)現(xiàn)例1 的探究是十分有必要的.如果對例1 深入理解,就能夠掌握圓是圖形旋轉(zhuǎn)知識點生長延伸的最好土壤這一共性.學生通過不同題目的比較分析,建構(gòu)知識點之間的關(guān)系,形成局部的知識網(wǎng)絡(luò).由單一技能向多技能疊加的轉(zhuǎn)變,從而掌握旋轉(zhuǎn)的基本技能,也為進一步提升基本能力打好基礎(chǔ).熟練進行技能疊加的前提是對每一個知識點追根溯源的執(zhí)著,關(guān)鍵是不斷通過題目進行風雨歷練,精做精析精思,才能迎來雨后的彩虹.
由于圖形變換能較好地考查學生直觀想象、猜想推理,分析解決問題的能力,而旋轉(zhuǎn)是最復雜的一種圖形全等變換.各省市命制質(zhì)檢題、中考試題時會將旋轉(zhuǎn)以壓軸題的形式呈現(xiàn).
例5(2018年廈門中考數(shù)學卷) 已知RtΔABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一個圓心角為45°,半徑的長等于CA的扇形CEF繞點C旋轉(zhuǎn),且直線CE,CF,分別與直線AB交于點M,N.
(1)當扇形CEF繞點C在ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時,如圖10,請?zhí)骄烤€段MN,AM,BN之間的等量關(guān)系,并說明理由;
(2)當扇形CEF繞點C旋轉(zhuǎn)至圖11 的位置時,第(1)題的關(guān)系式是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
圖10
圖11
評注結(jié)合已知條件進行局部推導,較多的學生是可以做到的,但鮮有學生能夠做到完整推導,足以反映上述試題不再是單純的技能疊加,說明本題重在考查學生的數(shù)學能力,區(qū)分學生的層次.
解析幾何題最常用的方式是直觀想象與邏輯推理.直觀想象以抽離基本圖形與運動變化為主,邏輯推理最常用的就是綜合-分析法.不妨從這兩個思路引導學生分析,培養(yǎng)學生解決難題能力的同時,還應抓住學生的思維困惑點.例如,為什么AM,BN,MN之間不存在和、差及不等關(guān)系?可以通過直尺測量的方法進行初步驗證猜想錯誤.為什么將三邊放在一起思考?是三邊同在一條直線上還是構(gòu)成一個三角形?需要關(guān)注基本圖形(等腰直角三角形)和特殊條件45°角,這是朝旋轉(zhuǎn)思考的提示點,從而聯(lián)想到“作旋轉(zhuǎn)證全等”.在建立題目條件之間關(guān)系時,思維路徑的引領(lǐng)上應當更有方向性,邏輯性上有理有據(jù).
變式4(2018年龍巖中考數(shù)學卷,10)如圖12,∠ACB=90°,AC=BC,∠DCE=45°,如果AD=3,BE=4,則BC的長是( ).
圖12
A.5 B.5C.6D.7
評注共性寓于事物的個性之中,一般性寓于特殊性之中.對例5 總結(jié)反思的基礎(chǔ)上解決變式4,找到題目的共性不再那么復雜.利用邊角的特殊性借助旋轉(zhuǎn)進行邊角轉(zhuǎn)化,無形中就將數(shù)學思想方法內(nèi)化到思維路徑的推導中,有效地把知識點、數(shù)學思想方法緊密聯(lián)系起來.學生不僅能夠內(nèi)生歸納總結(jié)一類題的意識,而且還能培養(yǎng)自身宏觀把握的能力,從而學生既能“林中觀其樹的結(jié)構(gòu)”,又能“空中俯瞰林的輪廓”.
穩(wěn)固的基本技能要求學生能夠聯(lián)系多個知識點,形成局部知識網(wǎng)絡(luò),而掌握好基本能力和思想則要求學生能夠進行技能疊加的嵌合,把局部網(wǎng)絡(luò)編織成一個更大的知識網(wǎng)絡(luò).現(xiàn)在我們可以感知到學生難以解決旋轉(zhuǎn)壓軸題的原因正是缺乏技能疊加之間的嵌合.如何嵌合才能使學生在這一塊能得高分?波利亞在《怎樣解題》中寫道:“怎樣解題的最后階段是回顧”,他指出:“通過回顧完整的答案,重新斟酌、審查結(jié)果及導致結(jié)果的途徑,他們能夠鞏固知識,并培養(yǎng)他們的解題能力.沒有任何一個題目徹底完成了的,總還會有些事情可以做”.因此,解題后的反思總結(jié)是沉淀學生數(shù)學能力的重要時機.啟發(fā)學生思考為什么可以用旋轉(zhuǎn)解題,引導學生如何利用圖形旋轉(zhuǎn)不變的數(shù)量關(guān)系和圖形結(jié)構(gòu),以不變應萬變.總結(jié)用旋轉(zhuǎn)解題的優(yōu)勢在哪里.解題過程中運用了哪些知識點?知識點之間是如何串聯(lián)在一起的?如何通過知識點體現(xiàn)數(shù)學思想方法?同時,針對探究線段數(shù)量關(guān)系的題目,引導學生總結(jié)一些常見的結(jié)論類型,增加解題靈感,優(yōu)化思維路徑.
學生數(shù)學能力的提升非一朝一夕之事,需要時間的積累沉淀.無論是新授課、一輪復習還是專題復習,應該引導學生不忘初心,從最根本的地方入手,一步一個腳印,學懂弄通做實.在遇到較難問題時,才能夠如泉水般涌現(xiàn)出解題思路.
旋轉(zhuǎn)復習是“由點成面”的過程,即在基礎(chǔ)知識上理清吃透知識點;在基本技能上用題目“包抄”知識點,強化局部知識網(wǎng)絡(luò),形成解決知識點的內(nèi)驅(qū)力;在基本能力和基本思想上,數(shù)學思想方法是主線,無論是猜想驗證所凸顯的特殊到一般的思想,還是邊角轉(zhuǎn)化所滲透的化歸與轉(zhuǎn)化思想,可以發(fā)現(xiàn)思維路徑中數(shù)學思想貫穿始終.通過“四基”復習路徑,不僅復習了旋轉(zhuǎn)知識,還串聯(lián)了其它知識點,可以使不同層次的學生得到提高,能夠有效因材施教,提升中考數(shù)學復習的質(zhì)量.此外,“四基”復習路徑有助于學生更好地實現(xiàn)數(shù)學能力和數(shù)學思想的形成,發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng),從而學生能夠從數(shù)學的視角分析問題,以數(shù)學的思維思考問題,用數(shù)學的方法解決問題.