例談高中代數(shù)解題教學中思維定勢的突破

廣東省惠州市惠東縣教育局教育教學研究室（516300） 汪 輝

從近幾年全國高考數(shù)學試卷來看,許多試題立意新穎、設(shè)計巧妙,在思維能力的考察上也有新的拓展.就當前中學數(shù)學教學現(xiàn)狀而言,突破思維定勢,培養(yǎng)學生的思維靈活性和發(fā)散性就顯得非常重要.本文重點針對克服定勢思維的幾種常見策略例題做了詳細剖析,并及時提煉方法,探討了如何在平時的代數(shù)教學中培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性和靈活性,以期使學生在解題過程中善于打破常規(guī),另辟蹊徑,提高答題的速度和準確率.

1 正難則反

我們拿到一道題目,總是習慣從正面入手,但有些數(shù)學問題如果從正面入手難度較大或者求解繁瑣,這時不妨打破思維常規(guī),轉(zhuǎn)化為考慮問題的相反方面,實行“正難則反”策略,往往能開拓解題思路、簡化運算過程.

例1已知三個方程:x2+4ax -4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax -2a=0.至少有一個方程有實數(shù)解,求a的范圍.

分析若直接從正面出發(fā),需要進行分類討論,且分類較多,若換一個角度,逆求三個方程均沒有實數(shù)解時a的范圍,則問題極易解決.由

點評對于一些比較復(fù)雜,比較抽象,條件和結(jié)論之間關(guān)系不明確,難于從正面入手的數(shù)學問題,就從問題的反面入手.一般地說,當“結(jié)論”的反面比“結(jié)論”本身更簡單、更具體、更明確,特別是題目中出現(xiàn)“不可能”、“唯一”、“至少”、“至多”等術(shù)語時,宜考慮用“正難則反”的思想方法.

2 主次互換

例2對任意的a ∈[1,3]不等式ax2+(a-2)x-2≤0恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.

分析好多同學拿到這道題目,會習慣性的把x當成主元,a當成參數(shù),導(dǎo)致問題無法解決.殊不知由題目中的“對任意的a ∈[1,3]”可將a看成主元,求的是x的取值范圍,則恰恰可把x看成參數(shù),理解了這一點,此題就迎刃而解了.

解析構(gòu)造關(guān)于a的函數(shù)f(a)=(x2+x)a-2(x+1),只需使關(guān)于a的一次函數(shù)f(a)的最大值小于等于0 即可,即只需即可,解得即x的取值范圍是

點評某些題目含有兩個或多個參數(shù)時,可適時變換主元,從而使問題簡單化.主次互換是化歸思想的體現(xiàn),以誰為主,完全是按有利于化難為易,化繁為簡,化未知為已知的原則進行.

3 執(zhí)果索因

有些數(shù)學問題條件和結(jié)論之間的關(guān)系比較復(fù)雜、模糊,如果從已知條件出發(fā),解題途徑不太容易發(fā)現(xiàn),或者會在中途迷失方向,使解題無法進行下去.在這種情況下,我們不妨利用“分析法”證明不等式的思想,即執(zhí)果索因,從結(jié)論逆行考慮問題,去尋覓結(jié)論成立的一些條件,由欲知確定需知,求需知利用已知,往往會收到較好的效果.

例3:設(shè)α,β,γ是銳角,且cos2α+cos2β+cos2γ+2 cosαcosβcosγ=1,求證:α+β+γ=π.

分析要證α+β+γ=π,只須證cosα=-cos(β+γ)即可.由此,可把已知條件看成以cosα為變量的一元二次方程.

解析把條件改寫為cos2α+2(cosβcosγ)cosα+(cos2β+cos2γ-1)=0,解上述方程可得cosα=-cos(β ±γ).由于cosα ＞0,-cos(β -γ)＜0,故cosα=-cos(β -γ)應(yīng)舍去,所以cosα=-cos(β+γ),當注意到α,β,γ都是銳角時,可得α+β+γ=π.

點評像這樣逆流而上,從求證結(jié)論結(jié)合已知條件挖掘出cosα是一元二次方程的根,這為探明解題思路指出了方向,較好培養(yǎng)了學生思維的深刻性.

4 動靜變換

涉及多個變量的問題,利用函數(shù)知識討論不容易解決,而轉(zhuǎn)換角度把其中的某些動態(tài)量當成靜態(tài)量則有好的效果.

例4:若x,y,z,t滿足1≤x ≤y ≤z ≤t ≤36,且求M的最小值.

分析本題變量多,采用求最值的常用方法均無濟于事,若置某些變量于靜止狀態(tài),進行思考,易找到解題途徑.

先固定y,z,t,讓x在[1,y]上變動,則x=1 時,M取最小值

再固定z,t,讓y在[x,z] 上變動,則y=z時,M1取最小值最后固定z,讓t在[z,36]上變動,則t=36 時,M2取最小值由均值不等式得當z=6 時,M3最小值為.所以,當x=1,y=z=6,t=36時,M最小值為

再 如 例:已 知g(x)=xlnx,設(shè)0＜ a＜ b,求證

分析a,b都是變量,不好處理,把a當常量,b當變量,構(gòu)造h′(b)=lnb-ln(a+b)＜0.

所以在(0,+∞),h(b)為減函數(shù).

因為b ＞a,所以h(b)＜h(a).而h(a)=0.所以h(b)＜0.所以得證.

點評運動和靜止的相對性,這種辨證思維在函數(shù)解題教學中的應(yīng)用,讓學生丟棄固有的框架,不受到思維定勢的束縛,解題思路必然會豁然開朗.

5 轉(zhuǎn)化化歸

另有一些題目,可通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程,運用恰當?shù)臄?shù)學方法進行變換,將原問題轉(zhuǎn)化為一個新問題（相對來說對自己較熟悉的問題）,通過新問題的求解,達到解決原問題的目的,這一思想方法稱之為“轉(zhuǎn)化與化歸思想”.轉(zhuǎn)化是將數(shù)學命題由一種形式向另一種形式的轉(zhuǎn)換過程;化歸是把待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題.

例5:設(shè)a,b,c均為正數(shù),且則（ ）.

A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.c＜a＜bD.b＜a＜c

分析這里要比較a,b,c三個正數(shù)的大小,而由已知條件很難求出a,b,c三個數(shù)的準確值．事實上,仔細觀察會發(fā)現(xiàn)a,b,c分別是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象交點的橫坐標,因此可利用化歸轉(zhuǎn)化數(shù)學思想的“數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化”來進行解題.

圖1

解析在同一直角坐標系下畫出函數(shù)y1=2x與與及y4=log2x的圖象（如 圖 1）．則a表示的是函數(shù)y1=2x與的是函數(shù)與交點的橫坐標的值,同理有:b表示的是函數(shù)交點的橫坐標的值,c表示的是函數(shù)與y4=log2x交點的橫坐標的值,則有a＜b＜c．故選A．

點評通過發(fā)掘函數(shù)式的幾何意義,將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題或幾何問題或解析幾何,然后利用函數(shù)圖象或幾何圖形來解決,這也是近年來高考中常用的解題方法.

通過以上的例證不難看出,在解題教學中,題目千變?nèi)f化,我們不妨及時轉(zhuǎn)變思維,克服定勢思維,對題目靈活處理,充分發(fā)揮發(fā)散思維,就有可能會發(fā)現(xiàn)簡單解法,巧妙解法,面對難題才會得心應(yīng)手..當然,發(fā)展學生的發(fā)散思維要以扎實而豐富的基礎(chǔ)知識為依托,只有這樣才能從事物的各個方面去考慮問題.教師在教學中要鼓勵學生大膽提出問題、解決問題,對學生要打破常規(guī)的提問,提倡一題多解,特別是選擇、填空題更是要注重非常規(guī)方法的應(yīng)用.常此下去學生的思維會更加靈敏、開闊,面對題目才能更加靈活自如的選擇簡便解法,才會呈現(xiàn)“柳暗花明又一村”的情景.只要我們在平時解題教學中采取積極的態(tài)度和有效的措施,就能使學生的思維定勢得到最大限度的克服,并在這種消除和克服中拓寬解題思路,提高思維的發(fā)散性和靈活性,從而促進課堂教學的最優(yōu)化.