“數(shù)形結(jié)合”思想在高中數(shù)學(xué)不等式求解中的應(yīng)用

藺興旺

摘要：在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合思想對(duì)于數(shù)學(xué)題的解題是非常有幫助的，學(xué)生學(xué)不好數(shù)學(xué)或者覺(jué)得數(shù)學(xué)難，在一定程度上有可能是因?yàn)樵诮忸}過(guò)程中對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用不夠靈活變通。而不等式求解是重要考點(diǎn)之一，為了讓學(xué)生掌握并運(yùn)用好數(shù)形結(jié)合思想，筆者深入歸納總結(jié)了數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)不等式求解中的一些應(yīng)用方法，希望高中學(xué)子能夠運(yùn)用好數(shù)形結(jié)合思想。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；解題方法

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2020）10-0136

一、數(shù)形結(jié)合思想概論

數(shù)學(xué)的起源就是古人研究的數(shù)形關(guān)系，數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象，其在某些條件下可以互相轉(zhuǎn)換。在高中數(shù)學(xué)中，也是研究數(shù)形的關(guān)系，而數(shù)形結(jié)合就是數(shù)與形的關(guān)聯(lián)。數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想，其有兩種模式：一是使用數(shù)來(lái)闡述形的特點(diǎn)和屬性，二是使用形來(lái)直觀地表示數(shù)之間的關(guān)系。

在高中數(shù)學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的解題方法主要在三個(gè)方面。1.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問(wèn)題。2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決不等式問(wèn)題。3.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決平面幾何問(wèn)題。前兩種都是用形來(lái)直觀表示數(shù)之間關(guān)系的數(shù)形結(jié)合思想，第三種是使用數(shù)來(lái)闡述形的屬性特點(diǎn)。

二、數(shù)形結(jié)合思想解決不等式問(wèn)題

在不等式問(wèn)題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來(lái)解答，可以避免復(fù)雜的分類討論，簡(jiǎn)化題目，直接利用幾何圖形特點(diǎn)得出答案。

例題一：設(shè)有關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|

解：設(shè)函數(shù)f（x）=|x-3|+|x-4|，函數(shù)g（x）=a，在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖像如下。

由函數(shù)f（x）和g（x）的圖像特征可得要使|x-3|+|x-4|

所以可得a的取值范圍為（-∞，1]。

例題二：設(shè)函數(shù)f（x）=x2-2ax+2，并且x∈[-1，+∞）時(shí)，f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍。

解：由f（x）≥a可得x2-2ax+2≥a即x2+2>a（2x+1）。

設(shè)函數(shù)f（x）=x2+2，函數(shù)g（x）=a（2x+1），作出函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）的圖像：

由函數(shù)圖像特征可得a的取值范圍為圖中直線斜率的取值范圍。

即a∈（-3，1）。

三、數(shù)形結(jié)合思想解決平面解析幾何問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)中，平面解析幾何知識(shí)是運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合思想最廣泛的知識(shí)點(diǎn)，在直線斜率、直線與圓、直線與圓錐曲線等問(wèn)題上，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題是最為簡(jiǎn)潔的。

例題一（直線斜率問(wèn)題）：直線L過(guò)點(diǎn)P（-1，2），且與點(diǎn)A（-2，-3）、B（4，0）為端點(diǎn)的線段AB相交，求直線L的斜率的取值范圍。

在解這類題目時(shí)，先作出函數(shù)圖形：

計(jì)算直線pa的斜率k（pa）=5，直線pb的斜率k（pb）=2/5。

由函數(shù)的圖像特征可得k≥5或k≤2/5。

例題二（直線與圓問(wèn)題）：設(shè)圓O的方程為x+y-2x+4y+4=0，直線L的方程為3x-4y+9=0，求圓O上的點(diǎn)P到直線L上的最大距離為多少。

在解這類問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能使問(wèn)題得到迅速解決：

將圓的方程配方可得（x-1）2+（y+2）2=1，由此可得圓心O為（1，-2），半徑r=1。

由直線與圓的圖形特征可得：圓到直線的最大距離=圓心到直線的距離+半徑。

圓心O到直線L的距離d=4，由上式可得直線L到圓O的最大距離為d+r=4+1=5。

參考文獻(xiàn)：

[1]盧向敏.數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[D].內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2013.

[2]韓雪麗.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的研究與實(shí)踐[D].遼寧師范大學(xué)，2013.

[3]孔令偉.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用[D].遼寧師范大學(xué)，2015.

（作者單位：甘肅省張掖市山丹第一中學(xué)734000）