結(jié)合分布度量統(tǒng)計建模的主動輪廓圖像分割

魯圓圓，馮 浩，李 靖

1.武漢學院 信息工程學院，武漢430212

2.華中師范大學 國家數(shù)字化學習工程技術(shù)研究中心，武漢430079

1 引言

圖像分割是數(shù)字圖像處理技術(shù)的重要組成部分，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于圖像分析、計算機視覺及醫(yī)學圖像處理等相關(guān)領(lǐng)域[1-3]。圖像分割技術(shù)為后續(xù)的相關(guān)圖像處理算法奠定了基礎(chǔ)，但是由于不同圖像中復雜的背景及不同程度的噪聲影響，使得圖像分割技術(shù)面臨著極大的挑戰(zhàn)。近年來，基于形態(tài)學、閾值分割[4]等相關(guān)圖像分割算法在學術(shù)和工程應(yīng)用領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，但是當圖像中背景較為復雜時，該類算法往往不能夠較準確地進行圖像分割，易造成誤分割。基于偏微分方程的圖像分割方法[5]利用曲線演化理論，通過迭代使得輪廓曲線向目標邊緣演化，算法魯棒性更強，在圖像分割研究領(lǐng)域占據(jù)重要的地位。

主動輪廓模型[6-7]是一種經(jīng)典的基于偏微分方程的圖像分割方法。按照模型能量泛函的構(gòu)造方式的不同，主動輪廓模型可以分為：基于邊緣的主動輪廓模型（snake 模型[8]、測地線模型[9]等）、基于區(qū)域的主動輪廓（CV（Chan Vese）模型[10]、RSF（Region Scalable Fitting）模型[11]等）及混合主動輪廓模型（LGIF（Local and Global Intensity Fitting）模型[12]等其他混合模型）。目前，應(yīng)用最為廣泛的是基于區(qū)域的主動輪廓模型。CV 模型[7]是一種典型的基于區(qū)域主動輪廓模型，該模型利用輪廓內(nèi)外圖像的區(qū)域信息引導曲線的演化，能夠很好地處理弱邊緣圖像。但是模型抗噪性差，且對非勻質(zhì)圖像處理效果差。

為了克服以上缺陷，研究人員提出了一系列改進模型。LBF（Local Binary Fitting）模型[13]將高斯核函數(shù)融入模型的擬合能量中去，增強了輪廓內(nèi)外能量刻畫的準確性。該模型在非勻質(zhì)圖像分割上得到了較為理想的分割結(jié)果。但是核函數(shù)與卷積運算的加入使得計算復雜度大大增加，模型分割效率較低。文獻[14]提出一種加權(quán)全局圖像擬合能量，繼而最小化原始圖像與全局擬合圖像的差異性獲得最終能量泛函，并以此提高了模型的分割效果。文獻[15]提出一種在線更新區(qū)域主動輪廓模型，利用用戶自定義的水平集替代原有的水平集函數(shù)，該水平集函數(shù)在曲線演化過程中不斷更新，以適應(yīng)不同圖像對曲線擬合能量的需求。文獻[16]提出一種新穎的局部圖像擬合能量，它由空間變化的均值和局部的方差定義前景和背景區(qū)域，可以準確地描述局部強度特性。該模型在非勻質(zhì)圖像分割上獲得了理想分割結(jié)果，具有一定的抗噪性。雖然以上模型在模型圖像分割準確性或者分割效率上均有提升，但是這些模型僅僅考慮單一的圖像灰度分布信息，并以此定義新的能量泛函，忽略了圖像全局統(tǒng)計建模信息對曲線演化的影響。另外，上述模型利用均值描述模型擬合中心，不能夠精確地描述曲線內(nèi)外像素點的統(tǒng)計特征，易造成誤分割。

為克服上述文獻所提改進模型存在的缺陷，進一步提高圖像分割效果，本文提出一種結(jié)合分布度量統(tǒng)計建模的主動輪廓圖像分割算法。所提算法能量驅(qū)動力兼顧了圖像的全局統(tǒng)計建模信息和其他混合灰度分布信息，使得分割曲線能夠更加精確地演化至目標邊緣。首先，分布度量能量驅(qū)動力定義為輪廓內(nèi)外概率密度函數(shù)定義的比率距離的方差，該能量驅(qū)動力基于圖像全局信息統(tǒng)計建模，能夠更加精確地描述輪廓曲線內(nèi)外的能量變化。其次，混合灰度分布能量驅(qū)動力由圖像灰度值與融合均值與中值的區(qū)域擬合中心的L2范數(shù)表示。最后，將分布度量能量驅(qū)動力與混合灰度分布能量驅(qū)動力組合形成新的能量泛函，利用水平集方法和梯度下降法迭代求得該能量泛函的最小值，以獲得最終的圖像分割結(jié)果。與傳統(tǒng)CV模型等四種算法的圖像分割實驗結(jié)果相比，本文模型在圖像分割效果和運行時間等方面均具有較大優(yōu)勢。

2 CV模型

式中，c1和c2為擬合中心，分別由曲線內(nèi)外像素點的灰度均值計算得到，I 代表原始圖像，(x,y)表示圖像像素的空間坐標，μ,v ≥0 為可調(diào)參數(shù)，分別表示曲線長度權(quán)值和曲線包含區(qū)域的面積權(quán)值。L(C)為曲線的長度，A(i(C))表示演化曲線內(nèi)圖像區(qū)域的面積；λ1，λ2≥0 為可調(diào)參數(shù)；Ωi和Ωo分別表示曲線內(nèi)部與外部的圖像區(qū)域。在這里，引入符號距離函數(shù)（Signed Distance Func-

根據(jù)變分原理和梯度下降流[20]即可獲得該能量泛函的最優(yōu)解。在水平集函數(shù)φ(x,y)固定的情況下，最小化c1和c2，即得：

另外，在c1和c2固定的情況下，最小化公式（2）可得：

最后，通過迭代運算求解公式（2）和（3），并以此獲得該能量泛函的最優(yōu)解，繼而可以得到最優(yōu)輪廓，即可得到最終的圖像分割結(jié)果。

本文所提模型的分布度量能量驅(qū)動力利用輪廓曲線內(nèi)外概率密度分布比率距離的方差描述輪廓內(nèi)外能量，其能量泛函的大框架是建立在方差的基礎(chǔ)之上的；另外，利用概率分布函數(shù)替代經(jīng)典CV模型中利用圖像像素點灰度值定義曲線內(nèi)外能量變化，顯然，本文所提模型的曲線內(nèi)外能量描述的準確性更高。更為重要的一點，是本文能量函數(shù)中利用比率距離替代經(jīng)典CV模型中的L2范數(shù)，該描述方式比經(jīng)典CV模型對噪聲點更具魯棒性。同時，混合灰度分布能量驅(qū)動力融合均值和中值作為新的擬合中心，減輕了極端值（圖像中的噪聲點）對均值擬合中心的影響，均值和中值優(yōu)勢互補，使得擬合中心的準確性得到提高。綜合以上分析，本文所提模型能夠更加精確地描述曲線內(nèi)外能量的變化，能夠得到較理想的圖像分割結(jié)果，且模型的迭代次數(shù)少、模型收斂所需的時間短。但是比率距離、概率分布、方差和新擬合中心的計算在一定程度上增大了模型的運算復雜度。

3 本文所提模型

傳統(tǒng)CV 模型僅僅考慮單一的圖像灰度分布信息，忽略了圖像全局統(tǒng)計建模信息[21-22]對曲線演化的影響。在這里，本文利用分布度量定義曲線演化的能量泛函，其主要思想就是利用輪廓曲線內(nèi)外的概率密度分布比率距離的方差刻畫輪廓內(nèi)外的能量，分布度量能量驅(qū)動力可表示為：

在這里，Lin和Lout表示輪廓內(nèi)外分布度量能量驅(qū)動力[23]。α1和α2是可調(diào)節(jié)權(quán)重參數(shù)，式中：

其中，pin、pout和pimg分別表示輪廓內(nèi)外及待分割圖像的概率密度函數(shù)。當待分割圖像被選定時，pimg為常數(shù)，E 為數(shù)學期望運算符。分布度量能量驅(qū)動力利用輪廓曲線內(nèi)外的概率密度分布比率距離的方差刻畫輪廓內(nèi)外的能量，方差越小，輪廓內(nèi)外區(qū)域的灰度分布趨于同質(zhì)[24]，繼而引導輪廓曲線向著目標邊界運動。本文所提能量泛函與經(jīng)典CV模型能量函數(shù)相比，兩者主要區(qū)別有：本文所提能量泛函的大框架是建立在方差的基礎(chǔ)之上的；另外，利用概率分布函數(shù)替代經(jīng)典CV模型中利用圖像像素點灰度值定義曲線內(nèi)外能量變化，顯然，本文所提能量泛函準確性更高。更為重要的一點是，本文所提能量泛函中利用比率距離替代經(jīng)典CV模型中的L2范數(shù)，該描述方式比經(jīng)典CV模型對噪聲點更具魯棒性[23]。

其次，為了減輕極端值（圖像中的噪聲點）對均值擬合中心的影響，混合灰度分布能量驅(qū)動力由圖像灰度值與融合均值與中值的區(qū)域擬合中心的L2范數(shù)表示，如下：

其中，m1、m2表示輪廓內(nèi)外像素值分布的中值。中位數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的中等水平，并不會因為部分噪聲點的影響，對整個數(shù)據(jù)的中值產(chǎn)生較大的影響。同時，融合均值和中值作為新的擬合中心，消除了均值易受極端值（圖像中的噪聲點）的影響，均值和中值優(yōu)勢互補，使得擬合中心的準確性得到提高。最后，將分布度量能量驅(qū)動力與混合灰度分布能量驅(qū)動力組合形成新的能量泛函。

同樣的，將水平集函數(shù)引入新的能量泛函，利用水平集函數(shù)φ(x,y)替代輪廓。此時，分布度量能量驅(qū)動力的水平集函數(shù)表示形式為：

其中：

z 表示像素的灰度級。同理可得混合灰度分布能量驅(qū)動力水平集函數(shù)，如下：

根據(jù)變分原理，最小化上式能量函數(shù)即可求得輪廓演化所需的梯度下降流方程：

最后，本文所提模型的算法流程步驟如下：

步驟1 初始化水平集函數(shù)為符號距離函數(shù)，并給出相應(yīng)的模型初始參數(shù)值。

步驟2 根據(jù)公式（5）計算分布度量能量驅(qū)動力，根據(jù)公式（6）計算混合灰度分布能量驅(qū)動力。

步驟3 根據(jù)公式（7）得到最終的能量泛函。

步驟4 根據(jù)公式（10）迭代更新水平集函數(shù)。

步驟5 判斷是否達到迭代終止條件，如果是，輸出圖像分割結(jié)果；反之則進入步驟2。

另外，圖1給出了本文所提模型的曲線演化示意圖。

圖1 曲線演化示意圖

黑色曲線表示輪廓曲線，梯形表示目標區(qū)域。分布度量能量驅(qū)動力如紅色箭頭所示，混合灰度分布能量驅(qū)動力如黃色箭頭所示。公式（5）中的Lin和Lout可以理解為輪廓曲線內(nèi)部和外部區(qū)域的密度函數(shù)與整幅圖像密度函數(shù)之間比率距離的方差，具體反應(yīng)的是輪廓曲線內(nèi)部和外部區(qū)域相對于整幅圖像密度之間的偏離程度。最小化能量泛函就是最小化Lin和Lout，方差越小說明輪廓內(nèi)外分布越均勻。當目標位于輪廓曲線之內(nèi)時，與輪廓外部灰度分布相比，輪廓內(nèi)部灰度分布更不均勻，Lin＞Lout，此時，輪廓沿著梯度流下降的方向演化，驅(qū)動力表現(xiàn)為收縮力，驅(qū)使曲線向目標邊緣移動。當目標位于輪廓曲線之外時，輪廓外部灰度分布更不均勻，Lin＜Lout，此時，驅(qū)動力表現(xiàn)為擴張力。

對于混合灰度分布能量驅(qū)動力，其表現(xiàn)形式與經(jīng)典CV模型一致，都是使用圖像像素點與擬合中心的L2范數(shù)刻畫曲線內(nèi)外能量的變化，因此，其曲線演化與經(jīng)典CV模型的曲線演化規(guī)律一致[10]。當目標位于輪廓曲線之內(nèi)時，與輪廓外部灰度分布相比，輪廓內(nèi)部灰度分布更不均勻?；旌匣叶确植寄芰框?qū)動力表現(xiàn)為收縮力；當目標位于輪廓曲線之外時，輪廓外部灰度分布更不均勻?；旌匣叶确植寄芰框?qū)動力表現(xiàn)為擴張力。從上述分析可以看出，在不同的情況下，分布度量能量驅(qū)動力和混合灰度分布能量驅(qū)動力都有著相同的表現(xiàn)形式，因此對于曲線輪廓的運動有疊加效果。更為重要的是，這兩種驅(qū)動力都能夠驅(qū)使輪廓曲線向目標邊緣移動，這樣能夠增大曲線作用力，加速曲線的演化。

4 實驗結(jié)果

本章將從圖像分割的直觀視覺效果、模型對初始輪廓敏感性和分割效率三方面，利用大量合成和真實圖像進行驗證實驗，并通過與CV 模型[10]、LBF 模型[13]、LPF（Local Pre-Fitting）模型[7]以及LGIF 模型[12]的圖像分割結(jié)果進行比較，測試本文所提算法的有效性。實驗過程中的參數(shù)設(shè)置：迭代次數(shù)設(shè)置為300 次，α1=α2=10，μ=0.01×255×255，ν=0，κ=0.5。實驗硬件環(huán)境為：Windows 10，Intel Core i3-4210U@2.50 GHz，2 GB RAM，Matlab R2014。圖2～4展示了3幅圖像的實驗結(jié)果，其中包括1幅合成圖像和2幅真實圖像，每幅圖像都受不同的噪聲干擾。

圖2 含噪合成圖像1的分割結(jié)果

圖3 真實圖像1的分割結(jié)果

圖4 真實圖像2的分割結(jié)果

從圖2～4 可以看出，傳統(tǒng)CV 模型僅僅考慮單一的圖像均值灰度分布信息，當圖像包括大量噪聲點干擾時，極易造成誤分割，如圖2（b）的分割結(jié)果所示。LBF模型利用圖像的局部信息能夠?qū)Ψ莿蛸|(zhì)圖像進行分割，但是該模型僅僅考慮均值信息，因此對圖像的弱邊緣處理效果不好，如圖3（c）和圖4（c）所示。LPF模型引入局部空間距離來加權(quán)輪廓的內(nèi)部和外部區(qū)域的局部強度差，從而提高了模型對低水平噪聲的適應(yīng)性，如圖3（d）和圖4（d）所示。但是當對含噪合成圖像1 進行分割實驗可以發(fā)現(xiàn)，該模型無法分割具有高水平噪聲的圖像。LGIF 模型利用圖像的全局信息和局部信息，以此構(gòu)建新的能量泛函，并以此引導曲線演化，降低了模型陷入局部最小值的可能性，達到提到分割精度的要求。LGIF 可以得到除了本文模型之外較好的圖像分割結(jié)果。本文模型兼顧了圖像的全局統(tǒng)計建模信息和其他混合灰度分布信息，使得分割曲線能夠更加精確地演化至目標邊緣。因此，綜合以上描述與實驗結(jié)果對比，本文模型可以得到更好的圖像分割結(jié)果，LGIF 模型次之。CV 模型、LBF 模型與LPF 模型僅僅依靠圖像全局信息建模，故而，與本文模型和LGIF 模型相比，這三種模型分割效果較差。LBF模型極易陷入局部最優(yōu)，若調(diào)參不當，往往不會取得較好的圖像分割效果。LSF模型比CV模型的對噪聲的魯棒性稍微好一些。

為了驗證本文所提模型對輪廓初始化的敏感性，本文利用不同形狀的初始輪廓進行圖像分割，圖像分割結(jié)果圖如圖5所示。

從圖5 可以看出，不同形狀的初始輪廓，本文改進模型都能夠較精確地圖像分割，且圖像分割結(jié)果幾乎一致。另外，為了對模型分割效率進行定量分析，需要設(shè)置迭代終止條件，以此確定各個模型曲線演化完成所需的迭代次數(shù)大小。設(shè)t 時刻圖像分割結(jié)果的灰度值總和，即輪廓曲線內(nèi)部區(qū)域（目標區(qū)域）的灰度值總和，計為t+1，是t+1 時刻圖像分割結(jié)果的灰度值總和。若St+1-St≤10，則迭代終止。表1 給出了各模型的圖像分割運行時間和迭次次數(shù)。

表1 各模型的圖像分割運行時間和迭次次數(shù)

表中，“/”左側(cè)為模型運行時間（以s 為單位），“/”右側(cè)為模型運行迭代次數(shù)。本文模型利用分布度量能量驅(qū)動力與混合灰度分布能量驅(qū)動力組合定義新的能量泛函，能夠更加準確地描述曲線內(nèi)外能量變化，引導輪廓向目標邊緣演化。因此本文模型所需迭代次數(shù)最少，同時，所需模型運行時間最短。LBF 模型與LPF 模型都是基于改進局部擬合能量的主動輪廓模型，相比傳統(tǒng)CV 模型，這兩種模型迭次次數(shù)較少，圖像分割效率略高。LGIF 模型利用圖像的全局和局部信息構(gòu)造所需能量泛函，雖然增加了模型的計算復雜度，但是模型收斂所需迭代次數(shù)減少，故模型的分割效率也高于其他3 種模型。綜上所述，本文模型在兼顧圖像分割效果的同時，模型所需的迭代次數(shù)和運行時間也大大降低。

圖5 模型對輪廓初始化的敏感性實驗結(jié)果圖

5 結(jié)論

本文提出一種結(jié)合分布度量統(tǒng)計建模的主動輪廓圖像分割算法。在該算法中，分布度量能量驅(qū)動力定義為輪廓內(nèi)外概率密度函數(shù)定義的比率距離的方差，該能量驅(qū)動力基于圖像全局信息統(tǒng)計建模。另外本文所提算法能量驅(qū)動力還兼顧了圖像的混合灰度分布信息，混合灰度分布能量驅(qū)動力由圖像灰度值與融合均值與中值的區(qū)域擬合中心的L2范數(shù)表示。將分布度量能量驅(qū)動力與混合灰度分布能量驅(qū)動力組合形成新的能量泛函以完成圖像分割。實驗結(jié)果表明了本文所提模型在主觀視覺效果、迭代次數(shù)等方面的明顯優(yōu)勢。在未來的工作中，尋找能夠更準確刻畫圖像統(tǒng)計分布特性的能量泛函，會對基于主動輪廓模型圖像分割算法圖像分割效果的提升有著至關(guān)重要的作用。