例析三角函數(shù)多解問(wèn)題的防錯(cuò)策略*

江西省萍鄉(xiāng)中學(xué) (337000) 黃賢鋒

三角函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中有著舉足輕重的地位．在解決有關(guān)三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，由于沒(méi)有選取合適的方法，或是對(duì)題意的理解不夠深刻，經(jīng)常容易產(chǎn)生多解．筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，歸納以下這類(lèi)問(wèn)題的防錯(cuò)策略，與大家共享．

策略一 代入檢驗(yàn) 得出矛盾

當(dāng)問(wèn)題出現(xiàn)多解時(shí)，將解逐一代入已知條件，進(jìn)行檢驗(yàn)，往往會(huì)得出矛盾，從而達(dá)到去偽存真的目的．

例1 (2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)第17題)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC．

(1)求A；

解：(1)A=60°(過(guò)程略).

策略二 回歸定義 縮小范圍

(1)求sinC的值；

(2)若a2+b2=4(a+b)-8，求邊c的值．

策略三 精選函數(shù) 規(guī)避錯(cuò)解

在解決已知三角函數(shù)值，計(jì)算相關(guān)角度的問(wèn)題時(shí)，我們通常通過(guò)計(jì)算角的三角函數(shù)值來(lái)判斷角的值．比如，要計(jì)算α的值，我們可以選擇計(jì)算sinα,cosα或tanα，它們的效果一樣嗎？那么該如何選擇呢？這一選擇跟α的范圍有很大的關(guān)系．設(shè)α∈D，若選擇的函數(shù)在D上是單調(diào)函數(shù)，得到的α值有且僅有一個(gè)；若選擇的函數(shù)在D上不單調(diào)，則有可能得到多個(gè)α值．因此應(yīng)該選擇單調(diào)函數(shù)，規(guī)避錯(cuò)解．

策略四 邊角關(guān)系 輕松取舍

在解決一些以三角形為背景的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)?？梢岳萌切沃械倪吔顷P(guān)系縮小角的范圍，達(dá)到取舍的目的．

分析：在由sinB計(jì)算cosB的值時(shí)，由于不能挖掘出B為銳角這一實(shí)質(zhì)，導(dǎo)致出現(xiàn)多解，下面利用三角形中的一個(gè)結(jié)論縮小角的范圍．

綜上，不難看出多解的取舍過(guò)程其實(shí)就是運(yùn)算策略選擇的過(guò)程，只有熟練掌握運(yùn)算方法，明確運(yùn)算方向，才能快速取舍運(yùn)算結(jié)果，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).