一道高考向量題多種解法的思維切入點

云南省昆明市第三中學 (650500) 張興鋒

對高考試題的研究是中學數(shù)學教師進行教研的重要內容.筆者深入研究了2017年全國卷Ⅲ理科第12題的解法,本文將從平面向量的核心知識點出發(fā)給出該題的幾種解法,并指出各種解法的思維切入點.希望能給讀者一些啟發(fā).

分析:高中階段,平面向量的運算涉及到了線性運算與數(shù)量積運算，而這兩種運算又分別可以從幾何與代數(shù)的視角進行處理.為了表述的方便,我們先作如下約定:

如圖1，設M為圓C與直線BD相切的切點,直線MC與圓C的另一交點為N,直線MC與AD的交

圖1

切入點一：平面向量的線性運算

點P在直線B′D′上?(1-λ)+(1-μ)=

-1?λ+μ=3.由點P在以C為圓心且與BD相切的圓上知點P在直線BD與直線B′D′之間,故λ+μ∈[1,3].

切入點二：平面向量的數(shù)量積運算

評注：由于兩次應用不等關系,而且兩次不等關系中取等號的條件不同,因此此法得到的數(shù)值不是其最大值.即是說,以上解法有誤.

解法7：由①得

解法8：由②得

[-1,1],因此λ+μ∈[1,3].

切入點三：平面向量的坐標化運算

由ABCD是矩形不難想到建立平面直角坐標系,進而將平面向量的運算進行坐標化,最后轉化為代數(shù)運算進行求解即可.

一題多解是訓練學生思維能力的好辦法,但問題的關鍵在于如何引導學生理解并掌握一題多解中各種方法的切入點.本文以一道高考試題為載體進行了嘗試,希望讀者能體會到各種方法都是基于平面向量最核心的知識點挖掘而來.