關鍵能力高立意，通性通法硬道理*
——學習進階視域下2019年江蘇高考數學卷評析

江蘇省陶都中等專業(yè)學校(丁蜀校區(qū)) (214221) 潘 靜

2019年江蘇高考在社會各界的眾說紛紜中落下帷幕，就難易而言，見仁見智.綜觀高考試題，筆者的總體感受為：試題親和顯平穩(wěn)，適度創(chuàng)新助區(qū)分，多元表征引思辨，思維拔節(jié)自然成.顯然，整卷有效落實了立德樹人，課程育人的宏觀目標，也為高校選拔人才提供了實證性依據，命題設計遵循《普通高中數學課程標準》,依據《江蘇省2019高考考試說明》(以下簡稱《考試說明》)，全方位、多角度地考查了高中數學的主干知識和基本思想方法，突出了創(chuàng)新能力和應用意識的要求，加強對不同層次學生的數學關鍵能力有效檢測和診斷，進而為后續(xù)的高中數學教學提供精準導向.下面筆者從通性通法的視角解讀2019年江蘇高考數學試題，借以闡明優(yōu)效復習的策略和數學關鍵能力進階培養(yǎng)的途徑.

一、何謂“通性通法”

所謂“通性通法”，是指具有規(guī)律性和普適性的常規(guī)解題模式以及常用的數學思想方法.由于“通性通法”是學生思維素養(yǎng)的根基，也是后續(xù)可持續(xù)發(fā)展原動力，因此，新課標提出：“注重通性通法，淡化特殊技巧”，《考試說明》也明確要求：“突出數學基本知識、基本技能、基本思想方法的考查”，這也充分體現高考對通性通法考查的重視.

二、通性通法的考情分析

1.基本知識的考查

2019年江蘇高考數學試題考查的知識點分布如下：

表1 填空題

表2 解答題

表1呈現高中階段基礎知識的全覆蓋，分層次考查學生的邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力和創(chuàng)新能力.試題以知識為載體，堅持能力立意，素養(yǎng)導向.從學習進階理論的視角分析，數學關鍵能力可分為三個層級：層級一，初步形成；層級二，經驗積累；層級三，系統(tǒng)整合.通常情況下，1-10題考查學生能在具體、單一的知識單元中理解陳述性知識(如數學概念、數學原理等)，對于程序性知識(如數學技能等)能模仿操作，能使用本單元的知識、規(guī)則和方法解決簡單的數學問題并進行簡單的數學符號化表達，屬于能力層級一；11,12題考查學生能在具體、多個知識單元中，體會不同單元內容之間的內在聯(lián)系，體會程序性知識之間的共性，體會數學思想方法的價值和意義，能用已掌握的知識、規(guī)則和方法解決比較復雜的數學問題并能進行規(guī)范的數學符號化表達，屬于能力層級二；13,14題考查學生能在抽象、復雜的新情境中，綜合運用已有的知識，有意識地、主動地、靈活選擇和熟練運用數學思想方法進行探究，并能用數學符號語言清晰、準確地表達，屬于能力層級三.今年的試題13,14一改“面目猙獰”的舊貌，取而代之的是“春風拂面，親切溫和”的三角函數和分段函數題，而試題12卻“異軍突起”，能力要求充分彰顯綜合性和靈活性，沒有深厚的運算功底和靈活的轉化意識是很難得到正確的結果的.

表2呈現江蘇高考的六大經典題型，凸顯了高中知識體系中最核心的六個板塊.其中三角函數、立體幾何的難度與往年持平，圓錐曲線一直讓學生“望而生畏”，復雜的運算量成為學生“過不去的坎”，而今年的圓錐曲線依然前置于應用題，與2018年高考解析幾何題類似，直線、圓、橢圓齊聚一堂，上演了“桃園三結義”的戲碼，演繹“思維故事”，其問題(1)涉及橢圓的定義、焦點、兩點間的距離、橢圓方程等重點知識，在靜態(tài)的條件下求橢圓的標準方程；問題(2)涉及垂直、共線、共點、對稱等重點知識，側重考查學生對知識的綜合運用能力.基于SOLO分類理論對試題的能力層級進行評價：問題(1)處于單點結構和多點結構，要求學生能聯(lián)系單一事件，鎖定一個線索直奔結論，或者能聯(lián)結多個孤立事件，但尚未構成問題的知識網絡；問題(2)處于關聯(lián)結構，要求學生能依托某個事件聯(lián)想遷移，并能將多個事件聯(lián)系起來.此題解法較常規(guī)，運算量適中，只需思路清晰，定可迎刃而解.作為壓軸題之一的第19題，一改以往的“繁、難、巧”之姿，取而代之的是“靈、易、活”之態(tài)，背景親切，入口較寬，只需掌握此類問題的通法定可“跳一跳，摘得到”.依據SOLO分類理論評價此題，問題(1)處于單點結構，問題(2)處于多點結構，問題(3)處于關聯(lián)拓展結構，顯然遵循思維層級的逐步進階，關注學生的認知差異，具有較強的區(qū)分和選拔功能，有效落實了讓不同層次的學生得到不同程度的發(fā)展這一課程目標.

2.基本方法的考查

2019年江蘇高考試題處處體現人文關懷，以人為本，尊重差異.問題背景熟悉，問題表征明確，問題梯度合理，學生只需立足基本方法和基本思想，通過自身努力，一定能獲得成功的體驗和挑戰(zhàn)的樂趣.具體而言：填空1到9題及15、16題只需運用基本概念、基本定理即可解決，其他題目依據基本方法、基本思想也不難解決，比如題10，利用函數解析式設出點的坐標，依據點到直線的距離公式、基本不等式求出最值，再如向量題12，眾多學生口中的“棘手題”，其實用最樸素的“基向量”思想，將相關向量選取合適的基底向量進行分解表示即可輕松解決，當然采用“坐標化”的思想也是常規(guī)思維.作為填空壓軸題14，也是平時模擬訓練中的“常客”，只需利用函數性質，作出兩個函數的圖象，數形結合，以形助數，準確作答并非難事.顯而易見，命題著眼于基本方法和基本思想的考查，全卷彰顯學生思維的自然流暢.以下選取典型問題加以闡釋.

圖1

分析：本題的命題風格注重綜合性和關聯(lián)性，涉及的知識都是學生非常熟悉且必須掌握的，比如向量共線定理、平面向量基本定理、數量積的表示、平面幾何背景等，考查學生的多元表征能力和轉化化歸能力.此題入口較寬，解法多樣，思維自然，運算適度，具有較高的區(qū)分度，也比較契合學習進階理論所提倡的“尊重學生的認知差異，讓不同的學生獲得不同的思維進階”.

視角1基底搭橋，通法為上

視角2立足平幾，舉重若輕

若能關注點D，點E的特殊位置，聯(lián)系初中平面幾何中作平行線構造比例線段的常用策略，那么運算可以進一步簡化.可見，激活學生原有的經驗模塊，回溯問題的幾何本質，利于思維路徑的優(yōu)化.

圖2

視角3等價轉化，積淀模型

數學解題從本質而言就是不斷地轉化與化歸，遇到新的問題情境，要善于捕捉條件與結論中的提示信息，聯(lián)系已有的經驗模型和方法模型，有效適配和轉化，形成清晰順暢的思維程式，并自覺固化，適時遷移.

圖3

視角4特殊建系，以簡馭繁

作為填空題，在不追求解題過程十分嚴謹的前提下，特殊化處理往往可以“出奇制勝”.當然，特殊化并非任性使用，而是有跡可循的.從此題的結論分析，所求結果為比值，說明與AB，AC的具體長度無關，進而合情推理可知與ΔABC的形狀無關，這樣特殊化處理就顯得有理有據.

圖4

當然，建系方式不拘一格，比如以B為原點，BC為x軸正半軸建系，也可以E為原點，EC為x軸正半軸建系，甚至可以設AB⊥EC，這樣即可以EC，EA為x軸，y軸建系.是否可以求得正確結果，留待讀者自己驗證.

點評：此題常規(guī)中蘊含創(chuàng)新，通法中不失變化.考查內容指向向量中的基礎知識和基本思想方法，命題背景也是歷年模擬和高考試題中經常出現的，給人以“似曾相識燕歸來”之感.由于此題解法多樣，內涵豐富，因此能有效區(qū)分學生的邏輯推理能力、運算能力和創(chuàng)新能力，也將轉化與化歸思想根植于學生的思維邏輯之中，完全吻合深化普通高中課程改革的方向.一言蔽之，本題能力立意精心，育人價值高遠.

圖5

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)求點E的坐標.

分析：解析幾何歷來是高考的重點，考查學生的運算能力一直是學生的“軟肋”，而今年的圓錐曲線命題立意在于控制運算，凸顯思辨.試題涉及直線方程、圓方程，直線與圓、直線與橢圓的位置關系，橢圓方程、橢圓的幾何性質等基礎知識，綜合考查分析問題和運算求解的能力.值得一提，本題蘊含橢圓的一種對稱美，也可以用橢圓的對稱性簡化運算，引導學生追溯數學本質和品味數學之美.

這樣處理的依據為DF2的幾何特征是通徑的一半，其實也可從橢圓的定義入手，思路也很自然.

(2)標準答案和學生使用的方法都是聯(lián)立直線與圓方程，聯(lián)立直線與橢圓方程解交點，這是解析幾何中最樸實也是最重要的思想和方法，指向知識體系的本源與核心.

倘若能關注圓F2半徑為2a，橢圓的定義中也有2a，這絕非偶然，由此產生結構性聯(lián)想，理性數量關系，一種輕巧的解法應運而生.

點評：對于本題，顛覆了我們對解析幾何題“繁、難、怪”的慣性認知，考查內容簡樸、明晰，充分彰顯解析幾何的本質特征，坐標與方程在直線、圓、橢圓相互聯(lián)系中應用廣泛，符合江蘇考試說明中B級、C級考點要求.橢圓的對稱性在江蘇高考中“頻頻亮相”，值得我們關注，在本題中，若能透析問題的幾何背景，那么妙法可成，簡中蘊道.

三、教學啟示

高考雖然已經謝幕，但留個我們的思考是長遠的.對高考試題理性分析，有助于矯正和優(yōu)化后續(xù)的教學決策.從考題之變、復習之失、學生之惑反思教學實踐，務必從精準、夯實、激活等方面提升教學效能，促進學生數學核心素養(yǎng)的可持續(xù)發(fā)展.

1.根植教材，夯基固本

江蘇高考秉持立足教材，立足通性通法的命題理念，高考試題的命題背景并非無本之木、無源之水，題源大多來自教材中的概念、公式、定理、例題、習題等，只不過經過一些改編或多次復合而已，正所謂“問渠那得清如許，唯有源頭活水來”.因而，教師在平時的概念教學中，可依據學習進階理論實施“慢教學”，借助數學史讓學生體會概念發(fā)現、發(fā)展和形成的過程，對概念的內涵和外延深度理解，讓學生在探源溯流中感悟數學文化之美.在復習教學中，探究高考題源的精彩，回溯數學問題的本質，積淀數學思想方法是擺脫題海，優(yōu)效學習的有力武器.教師必須關注學生的認知基礎和認知障礙，為學生的思維進階設計合適的路徑，幫助學生從低層次思維水平向高階思維躍遷搭建“腳手架”，逐步提高發(fā)現和提出問題、分析和解決問題的關鍵能力.

2.強化通法，釋疑驅難

高考命題強調通性通法，即解決某類問題的基本思想方法，這是學生學習數學的“童子功”，而一些所謂“秒殺”的技巧，不過“花拳繡腿”而已，不足道哉.高三復習中，在解題中鞏固知識，提煉思想方法，形成遷移和創(chuàng)新的自覺，這才是優(yōu)效復習的應有之義.在此過程中，特別要注重思想的引領和方法的設計：可以通過結構化設問引發(fā)學生的深度思考，如“解決這個問題需要什么？不需要什么？怎樣轉化？還有類似的解題經驗嗎？”等；題型設計要多角度、多層次，讓學生一題多變、一題多解，進而多題一解，力求“做一題，會一類，通一片”，舉一反三，觸類旁通.教師意識地喚醒和激活學生的原有認知，不斷同化和順應新的經驗和方法，逐漸內化和積淀，進而形成靈活應用，適度創(chuàng)新的自覺意識.

3.變中凝思，自我完善

近年來的高考，更多傾向于考查學生的數學關鍵能力，“多思精算”已成為當前高考的“時尚”，這也向我們教師傳遞重視能力培養(yǎng)的信號.美國著名哲學家、教育家杜威認為，在人的各種思維形式中，最好的思維是反省思維.著名數學教育波利亞曾說：“如果沒有了反思，他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面.”反思是一種學習，也是一種能力.通過對解決問題的反思，完善知識結構，總結經驗教訓，優(yōu)化思維品質，提升關鍵能力.教師要善于“課堂留白”，從而引導學生“反思留痕”，具體而言：反思解題思路的形成，促進思維的深刻性，提升元認知水平；反思解題方法的多元化，培養(yǎng)思維的靈活性，形成理性選擇的意識；反思問題的變式和引申，促進思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性，強化應用意識和創(chuàng)新能力；反思錯解的成因，提高思維的批判性，為優(yōu)化思維決策提供診斷依據.誠然，師生合力才能推動“解后反思”的思維活動，才能發(fā)揮其應有的意義和價值，教師提供一條獲取課堂教學情況反饋的途徑，學生增加一次再學習、再提升、再創(chuàng)造的機會.