高考數(shù)學(xué)題中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化與化歸思想

陳香君　湯強(qiáng)

摘 要：基于轉(zhuǎn)化與化歸思想是數(shù)學(xué)中最基本的思想之一，對(duì)其范疇中的換元法，數(shù)形結(jié)合法，構(gòu)造法，坐標(biāo)法，反證法，特殊值法，等價(jià)轉(zhuǎn)化法等七種方法在高考中的應(yīng)用進(jìn)行了舉例和分析，以此體會(huì)高考數(shù)學(xué)題中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化與化歸思想。

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);轉(zhuǎn)化與化歸思想;數(shù)學(xué)題

一、 轉(zhuǎn)化與化歸思想簡(jiǎn)述

數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想意為：在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題目中給出的已知條件及要求解的未知問(wèn)題，按照一定的原則將未知問(wèn)題向已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化從而解決問(wèn)題。轉(zhuǎn)化與化歸思想的實(shí)質(zhì)主要是對(duì)數(shù)學(xué)命題進(jìn)行變更，將新命題轉(zhuǎn)化為與原命題價(jià)值相當(dāng)?shù)拿}，進(jìn)而使數(shù)學(xué)問(wèn)題得到解決。可以說(shuō)，數(shù)學(xué)解題就是轉(zhuǎn)化問(wèn)題。下面以近年來(lái)一些高考題為例，分析七種常見的方法，體會(huì)其中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化與化歸思想。

二、 轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考題中的具體體現(xiàn)

（一）換元法

換元法是常見的轉(zhuǎn)化方法，通過(guò)換元可將式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問(wèn)題。

【例1】 （2016年高考數(shù)學(xué)上海理科第12題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲線y=1-x2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BP·BA的取值范圍是。

解析：由題知，曲線為圓x2+y2=1（y≥0），因?yàn)镻是曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)P（cosθ，sinθ），其中θ∈[0，π]，則BP·BA=cosθ+sinθ+1=2sinθ+π4+1∈[0，2+1]，所以BP·BA∈[0，2+1]。

點(diǎn)評(píng)：本題采用三角換元法，利用已知條件與三角函數(shù)知識(shí)的聯(lián)系，將一個(gè)代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角函數(shù)求值域問(wèn)題，從而簡(jiǎn)化解題步驟。

（二）數(shù)形結(jié)合法

數(shù)學(xué)名家華羅庚曾說(shuō)過(guò)“數(shù)離形時(shí)少直觀，形離數(shù)時(shí)難入微”。數(shù)與形的結(jié)合可以使抽象的函數(shù)、方程等轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，從而巧解難題。

【例2】 （2018年全國(guó)卷Ⅰ理科第9題）已知函數(shù)f（x）=ex，x≤0lnx，x>0，g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）

A. [-1，0）B. [0，+∞]

C. [-1，+∞]D. [1，+∞]

解析：由題，g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，即g（x）=0有兩個(gè)根，也就是f（x）與y=-x-a有兩個(gè)交點(diǎn)，故容易想到本題可用數(shù)形結(jié)合的方法求解，作圖1。

圖1

由圖可知，當(dāng)y=-x-a在y1=-x+1下方時(shí)，f（x）與y=-x-a有兩個(gè)交點(diǎn)，因此-a≤1，即a≥-1，故選C。

點(diǎn)評(píng)：本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷圖像問(wèn)題，減少了計(jì)算量，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化的直觀，簡(jiǎn)潔。

（三）構(gòu)造法

數(shù)學(xué)中的函數(shù)、公式等素來(lái)享有結(jié)構(gòu)化、簡(jiǎn)潔的美譽(yù)，構(gòu)造函數(shù)是實(shí)現(xiàn)這一目的的重要途徑。

【例3】 （2019年高考數(shù)學(xué)天津理科第8題）已知a∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=x2-2ax+2a，x≤1x-alnx，x>1，若關(guān)于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，則a的取值范圍為（）

A. [0，1]B. [0，2]C. [0，e]D. [1，e]

解析：由題中所給的是分段函數(shù)可知，需對(duì)x在不同區(qū)間內(nèi)取值進(jìn)行討論。

①當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=1-2a+2a=1>0恒成立;

②當(dāng)x<1時(shí)，f（x）=x2-2ax+2a≥02a≥-x21-x恒成立，令g（x）=-x21-x=-[（1-x）-1]21-x=-[（1-x）-2+11-x]≤-2（1-x）11-x-2=0，即g（x）max=0，所以2a≥0，即a≥0;

③當(dāng)x>1時(shí)，f（x）=x-alnx≥0a≤xlnx，令h（x）=xlnx，h′（x）=lnx-1（lnx）2=0x=e，經(jīng)判斷，h（e）=e是 h（x）的極小值，也是最小值，所以a≤e。

綜上：a∈[0，e]，故選C。

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)構(gòu)造函數(shù)將一個(gè)恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了一個(gè)求最值問(wèn)題，進(jìn)而聯(lián)系基本不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)進(jìn)行求解，達(dá)到了簡(jiǎn)化目的。

（四）坐標(biāo)法

坐標(biāo)法以坐標(biāo)系為工具，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系內(nèi)的計(jì)算問(wèn)題，它是用計(jì)算方法解決幾何問(wèn)題的一個(gè)重要轉(zhuǎn)化途徑。

【例4】 （2017年全國(guó)卷Ⅱ理科第12題）已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA·（PB+PC）的最小值是（）

A. -2B. -32C. -43D. -1

解析：由于△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)和角度都較為特殊，且只知P在平面ABC內(nèi)，若要求PA·（PB+PC）的最小值，可考慮用坐標(biāo)的方法。設(shè)BC中點(diǎn)為O，連接AO，分別以O(shè)C，OA所在方向?yàn)閤，y軸正半軸，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得PA·（PB+PC）=2x2+2（y-32）2-32，因此最小值為-32，選B。

點(diǎn)評(píng)：本題充分運(yùn)用了等邊三角形的邊長(zhǎng)、角度特殊的性質(zhì)，通過(guò)建系設(shè)點(diǎn)，運(yùn)用坐標(biāo)的方法將最值問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化為了二次函數(shù)求最值的簡(jiǎn)單問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想。

（五）反證法

圖2

【例5】 （2016年全國(guó)卷Ⅰ理科第22題）如圖2，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°，以O(shè)為圓心，12OA為半徑作圓。

（1）證明：直線AB與⊙O相切;

（2）點(diǎn)C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，證明AB∥CD。

解析：（1）略。（2）假設(shè)AB與CD不平行，且二者相交于F，由切割線定理得FK2=FC·FD①，因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，所以由割線定理，所以FC·FD=FA·FB=（FK+AK）（FK-BK），由于AK=BK，所以FC·FD=（FK+AK）（FK-AK）=FK2-AK2②，由①②知矛盾，所以假設(shè)不成立，即AB∥CD。

點(diǎn)評(píng)：本題運(yùn)用反證法，假設(shè)AB與CD不平行，運(yùn)用圓的相關(guān)定理導(dǎo)出矛盾，進(jìn)而證明AB∥CD，體現(xiàn)了“正難則反”的轉(zhuǎn)化思想。

（六）特殊值法

特殊值法是選擇題的常用方法，通過(guò)取特殊值，進(jìn)行運(yùn)算、分析，將原本很難求解或證明的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了簡(jiǎn)單的“判斷題”。

【例6】 （2019年高考數(shù)學(xué)天津文科第8題）已知函數(shù)f（x）=2x，0≤x≤11x，x>1，若關(guān)于x的方程f（x）=-14x+a（a∈R），恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍為（）

A. 54，94B. 54，94

C. 54，94∪{1}D. 54，94∪{1}

解析：由于本題是選擇題，觀察四個(gè)選項(xiàng)后發(fā)現(xiàn)它們的差別在于是否能取到1和54，因此可檢驗(yàn)這兩個(gè)特殊值即可。

當(dāng)a=1時(shí)，若0≤x≤1，則x4+2x-1=0，令t=x∈[0，1]，有t2+8t-4=0，解得t=25-4∈（0，1），則x∈（0，1）;若x>1，則x4+1x-1=0（x>1），解得x=2，排除A，B。同理，當(dāng)a=54時(shí)，若0≤x≤1，解得x∈（0，1）;若x>1，解得x=4，排除C。綜上，選D。

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)分析可知兩個(gè)特殊值1和54，分別代入方程計(jì)算，再將結(jié)果與x的取值范圍比較是否符合即可，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的簡(jiǎn)潔之美。

（七）等價(jià)轉(zhuǎn)化法

需解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題若直接求解或證明有難度，可用等價(jià)轉(zhuǎn)化法，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到簡(jiǎn)化的目的。

【例7】 （2018年高考數(shù)學(xué)江蘇理科第12題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，假設(shè)直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，那么k的最大值是。

解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-4）2+y2=1，則圓C的圓心為（4，0），半徑r1=1，由題：設(shè)直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)A（x0，kx0-2），使得以A為圓心，半徑r2=1的圓與圓C有公共點(diǎn)。要求k的最大值即等價(jià)轉(zhuǎn)化求（AC）min≤r1+r2=2，（AC）min即為點(diǎn)C到直線y=kx-2的距離：4k-2k2+1，所以4k-2k2+1≤2，解得0≤k≤43。綜上，k的最大值是43。

點(diǎn)評(píng)：本題與k有關(guān)的是一個(gè)存在性條件，不好處理，通過(guò)分析題干信息得出其等價(jià)命題kmax（AC）min≤2后，問(wèn)題就立刻變得明確易解。

除此之外，近年來(lái)還有很多高考數(shù)學(xué)題的解法蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化與化歸思想，如參數(shù)法、類比法等，有的試題還同時(shí)體現(xiàn)多種轉(zhuǎn)化與化歸方法，值得我們思考、體會(huì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]張偉.對(duì)化歸思想的幾點(diǎn)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（21）：48-49.

[2]趙靜煒.關(guān)于高中數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化與化歸思想的探究[J].科教文匯（下旬刊），2010（6）：104+106.

作者簡(jiǎn)介：

陳香君，四川省南充市，西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院;

湯強(qiáng)，教授，四川省南充市，西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院。