北斗系統(tǒng)測(cè)站鐘差短期預(yù)報(bào)模型比較及其在單星定軌中的應(yīng)用?

陳 倩 陳俊平 于 超 張益澤

(1 中國科學(xué)院上海天文臺(tái)上海200030)

(2 中國科學(xué)院大學(xué)北京100049)

(3 中國科學(xué)院大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院北京100049)

(4 東京海洋大學(xué)海事系統(tǒng)工程系東京1358533)

1 引言

各全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System, GNSS)的地面跟蹤站都配備有高精度的氫原子鐘、銣原子鐘或者銫原子鐘[1].這些高精度的接收機(jī)鐘使得對(duì)測(cè)站鐘差預(yù)報(bào)成為可能, 對(duì)機(jī)動(dòng)衛(wèi)星軌道快速恢復(fù)具有實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值.

由于北斗系統(tǒng)采用了混合星座, 因此機(jī)動(dòng)較為頻繁, 機(jī)動(dòng)期間采用幾何定軌方法進(jìn)行衛(wèi)星軌道確定以保證北斗無線電定位服務(wù)(Radio Determination Satellite Service,RDSS)正常工作; 北斗衛(wèi)星機(jī)動(dòng)結(jié)束后開始積累觀測(cè)數(shù)據(jù), 在滿足系統(tǒng)數(shù)據(jù)時(shí)長要求前對(duì)該衛(wèi)星采用單星定軌策略進(jìn)行軌道快速確定, 以確保衛(wèi)星無線電導(dǎo)航服務(wù)(Radio Navigation Satellite Service, RNSS)衛(wèi)星可用性.幾何法定軌以及單星定軌兩種技術(shù)將測(cè)站鐘差作為已知量以減少待估參數(shù)來提高定軌的精度[2–4].但是由于運(yùn)控系統(tǒng)各業(yè)務(wù)處理調(diào)度時(shí)間有差異, 軌道機(jī)動(dòng)恢復(fù)期間獲取的測(cè)站鐘差數(shù)據(jù)相對(duì)于偽距觀測(cè)數(shù)據(jù)會(huì)有部分缺失, 這將增加定軌數(shù)據(jù)積累的時(shí)間進(jìn)而影響軌道恢復(fù)的周期, 制約衛(wèi)星可用性.解決這一問題的有效途徑是對(duì)測(cè)站鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào), 進(jìn)而補(bǔ)償鐘差數(shù)據(jù).

針對(duì)鐘差預(yù)報(bào)方面的研究, 國內(nèi)外研究學(xué)者的研究較多地是針對(duì)衛(wèi)星段高性能的原子鐘[5], 針對(duì)地面段的測(cè)站鐘差建模及應(yīng)用的研究較少, 并且鮮有鐘差預(yù)報(bào)對(duì)精密定軌影響的分析.常用的鐘差預(yù)報(bào)模型有2次多項(xiàng)式(QP)模型、譜分析模型、灰色(GM)模型等[6–9]以及以上各種模型的改進(jìn)模型及綜合多種模型的組合模型.其中QP模型物理意義明確且建模簡(jiǎn)單, 能反映鐘自身的物理特性, 譜分析模型可以估計(jì)定軌解算出的站鐘與軌道耦合的周期特性, GM模型可使用少量數(shù)據(jù)建模.本文采用2次多項(xiàng)式模型、通過頻譜分析建立的附加周期項(xiàng)模型和灰色模型, 分別對(duì)測(cè)站鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào), 評(píng)估了不同模型的擬合及預(yù)報(bào)性能, 并對(duì)比分析了不同預(yù)報(bào)模型獲取的測(cè)站鐘差在北斗單星定軌中應(yīng)用的性能.

2 北斗系統(tǒng)單星定軌及鐘差預(yù)報(bào)

2.1 單星定軌及鐘差預(yù)報(bào)模型

常規(guī)情況下北斗系統(tǒng)采用多星定軌模式進(jìn)行整網(wǎng)軌道確定[10], 在存在機(jī)動(dòng)衛(wèi)星時(shí),多星定軌剔除該衛(wèi)星, 計(jì)算其他衛(wèi)星的軌道、衛(wèi)星鐘差以及測(cè)站鐘差等參數(shù).并將計(jì)算的測(cè)站鐘差當(dāng)成已知量作為單星定軌的輸入.單星定軌采用了傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)定軌模式, 考慮了地球非球形引力、固體潮、海潮攝動(dòng)、相對(duì)論、太陽光壓、地球反照輻射壓等各類軌道攝動(dòng)力.采用單星定軌, 測(cè)站r對(duì)衛(wèi)星s的偽距觀測(cè)方程簡(jiǎn)寫如下[4–5]:

圖1為常規(guī)單星定軌觀測(cè)數(shù)據(jù)以及測(cè)站鐘差輸入時(shí)序的示意圖.從圖中看到, 起始時(shí)刻t0是定軌使用數(shù)據(jù)起始?xì)v元時(shí)刻, 終止時(shí)刻t1是多星定軌解算的測(cè)站鐘差數(shù)據(jù)最后歷元時(shí)刻, t是啟動(dòng)單星定軌的當(dāng)前時(shí)刻.常規(guī)單星定軌使用的有效數(shù)據(jù)取決于多星定軌解算的測(cè)站鐘差終止時(shí)刻t1.利用多星定軌估計(jì)得到的測(cè)站鐘差進(jìn)行單星定軌時(shí), 即使當(dāng)前時(shí)刻t存在觀測(cè)數(shù)據(jù), 單星定軌最后歷元也只能是終止時(shí)刻t1.在此情況下, t1到t時(shí)刻該衛(wèi)星的廣播星歷需要進(jìn)行預(yù)報(bào), 按照目前北斗系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理的規(guī)范, 該時(shí)段最長可達(dá)2 h, 軌道徑向預(yù)報(bào)誤差將超過數(shù)米, 系統(tǒng)服務(wù)性能將受到影響.

圖1 單星定軌中使用的多星定軌測(cè)站鐘差及預(yù)報(bào)測(cè)站鐘差示意圖Fig.1 The station clock errors from the Multi-satellite Orbit Determination (Multi-POD) and prediction,which are used in the fast orbit determination

圖1中, 從單星定軌使用數(shù)據(jù)終止時(shí)刻t1至當(dāng)前數(shù)據(jù)時(shí)刻t, 可采用鐘差預(yù)報(bào)模型對(duì)多星定軌獲取的測(cè)站鐘差進(jìn)行預(yù)報(bào), 實(shí)現(xiàn)當(dāng)前時(shí)刻單星定軌處理, 從而提高衛(wèi)星軌道的實(shí)時(shí)性和性能.

鐘差預(yù)報(bào)的常用模型包括QP和GM等.對(duì)于北斗系統(tǒng), 由于衛(wèi)星軌道和鐘差存在強(qiáng)相關(guān)性, 鐘差還存在周期特性, 可采用附加周期項(xiàng)模型(PM)[11–13].

2次QP可以明確反映其鐘速和鐘漂的基本物理特性, 公式如下:

其中Ti是第i歷元的測(cè)站鐘差, t0為參考時(shí)刻, ti為歷元時(shí)刻, a0、a1、a2分別為參考時(shí)刻的鐘差、鐘速和鐘漂.多項(xiàng)式系數(shù)a0、a1、a2依據(jù)最小二乘法求得.

PM表達(dá)式如下:

其中, ?t = ti?t0, p = 1,2···m, m的大小由功率譜決定, Ap和Bp分別是第p個(gè)主周期項(xiàng)對(duì)應(yīng)的振幅, ωp是第p個(gè)主周期對(duì)應(yīng)的頻率.求解時(shí)需先利用2次多項(xiàng)式去除趨勢(shì)項(xiàng)部分來得到殘差序列, 然后對(duì)殘差序列通過傅里葉變換進(jìn)行頻譜分析以獲得各主頻項(xiàng)ωp,最后對(duì)式中其余各項(xiàng)系數(shù)利用最小二乘法同時(shí)求解.

對(duì)于GM, 設(shè)有原始鐘差序列X(0)=[x(0)(1),x(0)(2),··· ,x(0)(n)], 通過一次累加生成新序列X(1)=[x(1)(1),x(1)(2),··· ,x(1)(n)].其中n為鐘差數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù), x(1)(k) =對(duì)X(1)其一階微分方程式如下:

上式即為GM的白微分方程, 其中a為發(fā)展灰數(shù)、b為控制灰數(shù).采用回歸分析求其解為:

不同模型特性不同, 通過分析各模型對(duì)北斗系統(tǒng)多星定軌測(cè)站鐘差的擬合預(yù)報(bào)性能, 并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行單星定軌的評(píng)估, 從而為提高北斗系統(tǒng)單星定軌的實(shí)時(shí)性提供參考.

2.2 鐘差預(yù)報(bào)及單星定軌精度評(píng)估

在測(cè)站鐘差的擬合及預(yù)報(bào)中, 采用均方根誤差(Root Mean Square, RMS)進(jìn)行精度評(píng)估.公式為:

其中, RMSq為第q組擬合或預(yù)報(bào)誤差的RMS統(tǒng)計(jì), Yj為第j歷元的鐘差擬合或預(yù)報(bào)值,yj為對(duì)應(yīng)歷元時(shí)刻的多星定軌測(cè)站鐘差原始值, l為歷元數(shù).

北斗系統(tǒng)多星定軌的精密軌道精度比單星定軌高一個(gè)數(shù)量左右, 因此將其作為參考評(píng)估單星定軌的衛(wèi)星軌道精度.軌道徑向偏差對(duì)用戶影響最大, 因此軌道評(píng)估包含了軌道徑向偏差和3維位置偏差, 計(jì)算公式如下:

其中RMSR,q、RMSP,q分別為第q組軌道徑向及3維精度的RMS統(tǒng)計(jì), Rj為第j歷元單星定軌的軌道徑向值, rj為對(duì)應(yīng)歷元時(shí)刻多星定軌的軌道徑向值, Pj為第j歷元單星定軌的軌道3維值, pj為對(duì)應(yīng)歷元時(shí)刻多星定軌的軌道3維值.

3 數(shù)據(jù)分析

3.1 鐘差擬合與預(yù)報(bào)結(jié)果

采用北斗系統(tǒng)2018年332 d解算的多星定軌測(cè)站鐘差數(shù)據(jù), 數(shù)據(jù)間隔為1 min, 對(duì)參與定軌的6個(gè)測(cè)站的站鐘分別采用QP、PM和GM進(jìn)行鐘差擬合及預(yù)報(bào)分析.

實(shí)驗(yàn)按照北斗地面運(yùn)控?cái)?shù)據(jù)處理的規(guī)范進(jìn)行設(shè)計(jì).其中測(cè)站鐘差擬合弧長選擇為2 h, 自02:00—21:00每整點(diǎn)擬合及預(yù)報(bào)一次, 即連續(xù)測(cè)試20組.分別計(jì)算各測(cè)站各模型擬合弧段RMS和預(yù)報(bào)1 h、2 h的RMS.結(jié)果如圖2–4所示.

圖2是各測(cè)站每次擬合的精度時(shí)序圖, 從圖中可以看出, 采用附加周期項(xiàng)模型的擬合精度較高且較穩(wěn)定, 對(duì)6個(gè)測(cè)站的擬合精度在0.15 ns以內(nèi).灰色模型和多項(xiàng)式模型在不同的擬合時(shí)段體現(xiàn)出明顯波動(dòng)性, 2次多項(xiàng)式模型對(duì)6個(gè)測(cè)站的擬合精度都在1 ns以內(nèi), 灰色模型的擬合精度總體較差.

圖2 測(cè)站鐘差擬合RMSFig.2 The RMS of station clock error fitting

圖3 1 h測(cè)站鐘差預(yù)報(bào)RMS統(tǒng)計(jì)Fig.3 The RMS of 1 h prediction for the station clock error

同種模型針對(duì)不同測(cè)站的擬合精度也不同.所有模型針對(duì)測(cè)站1和3所有組的擬合誤差都在0.05 ns以內(nèi), 所有模型針對(duì)測(cè)站2和6所有組的擬合誤差都在0.3 ns以內(nèi).所有模型針對(duì)測(cè)站4和5的擬合精度明顯比其他測(cè)站要差.這說明測(cè)站4和5配置的原子鐘的穩(wěn)定度相對(duì)較差.

圖3給出了各測(cè)站每次預(yù)報(bào)1 h鐘差的RMS.3種模型對(duì)測(cè)站1、2、3、6的預(yù)報(bào)精度都較好, 大多數(shù)的預(yù)報(bào)誤差都在0.5 ns以內(nèi), 各模型間同時(shí)刻預(yù)報(bào)的差異絕大多數(shù)都在0.1 ns以內(nèi), 可以認(rèn)為3種模型針對(duì)這幾個(gè)站預(yù)報(bào)1 h的精度水平相當(dāng).而對(duì)于測(cè)站4和測(cè)站5, 其鐘差預(yù)報(bào)在不同的時(shí)段差異較大, 個(gè)別時(shí)段采用2次多項(xiàng)式模型或者灰色模型的最大誤差達(dá)到8–12 ns, 采用附加周期項(xiàng)模型相對(duì)穩(wěn)定一些.

圖4是各測(cè)站每次預(yù)報(bào)2 h鐘差的RMS.測(cè)站1、2、3絕大多數(shù)時(shí)候預(yù)報(bào)2 h的精度在0.8 ns以內(nèi), 同一時(shí)刻采用3種模型的預(yù)報(bào)精度在大多數(shù)時(shí)段較為吻合.在個(gè)別時(shí)段使用2次多項(xiàng)式模型預(yù)報(bào)精度發(fā)生跳變.對(duì)于測(cè)站4、5和6使用2次多項(xiàng)式模型和灰色模型在個(gè)別時(shí)段的預(yù)報(bào)精度較差, 測(cè)站4和5采用2次多項(xiàng)式模型和灰色模型時(shí), 甚至個(gè)別時(shí)段的預(yù)報(bào)誤差超過15 ns.

圖4 2 h測(cè)站鐘差預(yù)報(bào)RMS統(tǒng)計(jì)Fig.4 The RMS of 2 h prediction for the station clock error

對(duì)各測(cè)站3種模型20組的擬合RMS、預(yù)報(bào)1 h的RMS和2 h的RMS精度求取平均值,如表1所示.

根據(jù)表1統(tǒng)計(jì), 就擬合精度而言, 3種模型中附加周期項(xiàng)模型的擬合效果最好, 針對(duì)所有測(cè)站的擬合精度優(yōu)于0.15 ns, 2次多項(xiàng)式對(duì)所有站的擬合精度優(yōu)于0.4 ns, 灰色模型對(duì)所有站的擬合精度優(yōu)于0.8 ns.采用2次多項(xiàng)式模型、附加周期項(xiàng)模型、灰色模型對(duì)6個(gè)測(cè)站的平均擬合精度分別為0.14 ns、0.05 ns、0.27 ns, 可見采用附加周期項(xiàng)模型的擬合精度最高.

就預(yù)報(bào)精度而言, 預(yù)報(bào)精度隨預(yù)報(bào)時(shí)長增加而變差, 同一模型對(duì)不同測(cè)站的預(yù)報(bào)精度也有差異, 如測(cè)站4和測(cè)站5的鐘差擬合及預(yù)報(bào)明顯較差.適用于測(cè)站1、2、3的最優(yōu)模型為灰色模型, 其次為附加周期項(xiàng)模型, 兩種模型差異較小; 測(cè)站4、5、6的最優(yōu)模型為附加周期項(xiàng)模型, 其明顯優(yōu)于其他兩種模型.采用2次多項(xiàng)式模型、附加周期項(xiàng)模型和灰色模型對(duì)6個(gè)測(cè)站預(yù)報(bào)1 h的平均精度分別為1.17 ns、0.88 ns、1.28 ns; 預(yù)報(bào)2 h的平均精度分別為2.72 ns、2.09 ns、2.53 ns.從所有站的平均精度來看, 采用附加周期項(xiàng)模型效果較好, 這是因?yàn)槎嘈墙馑愕碾x散鐘差點(diǎn)也存在類似軌道的周期波動(dòng)[14], 采用附加周期項(xiàng)模型可以較好地消除這一波動(dòng).

表1 各測(cè)站鐘差擬合及預(yù)報(bào)精度(單位: ns)Table 1 The accuracy of station clock error fitting and prediction (unit: ns)

3.2 單星定軌結(jié)果分析

將以上各模型預(yù)報(bào)的測(cè)站鐘差引入單星定軌, 對(duì)C01–C04 4顆GEO (Geosynchronous Orbit)衛(wèi)星和C06–C10 5顆IGSO (Inclined Geosynchronous Satellite Orbit)衛(wèi)星進(jìn)行單星定軌測(cè)試, 統(tǒng)計(jì)每顆衛(wèi)星各模型下的20次測(cè)試的軌道精度均值, 進(jìn)一步評(píng)估各模型在定軌中的性能.為更好評(píng)估各模型單星定軌的性能, 還將常規(guī)策略單星定軌獲得的軌道進(jìn)行相應(yīng)時(shí)長的預(yù)報(bào), 并與精密星歷進(jìn)行比較, 評(píng)估其精度.圖5為各模型預(yù)報(bào)1 h的測(cè)站鐘差用于9顆衛(wèi)星單星定軌時(shí), 該時(shí)段內(nèi)的徑向偏差和3維位置偏差結(jié)果圖.

圖5 各模型1 h測(cè)站鐘差預(yù)報(bào)應(yīng)用于單星定軌的精度及其與常規(guī)單星定軌相應(yīng)弧段外推1 h的精度對(duì)比(OP為常規(guī)單星定軌).Fig.5 The comparison of the precision of fast orbit determination with the application of 1 h station clock error prediction by different models and the precision of original fast orbit determination with 1 h extrapolation in the same arc (OP is the original fast orbit determination).

可以看出將預(yù)報(bào)1 h鐘差引入單星定軌時(shí), 單星定軌該時(shí)段內(nèi)的徑向精度在0.54–0.81 m之間, 3維位置精度為2.0–7.5 m之間; 常規(guī)單星定軌在相應(yīng)弧段為外推1 h的預(yù)報(bào)軌道, 其徑向精度在0.66–0.85 m之間, 3維精度在2.2–8.1 m之間.3種鐘差預(yù)報(bào)模型下各衛(wèi)星定軌徑向精度差異大多在毫米級(jí), 對(duì)3維位置誤差互差在20 cm以內(nèi), 精度基本相當(dāng),且都好于常規(guī)單星定軌軌道預(yù)報(bào)的精度.

圖6為各模型預(yù)報(bào)2 h的測(cè)站鐘差用于9顆衛(wèi)星單星定軌時(shí), 該時(shí)段內(nèi)的徑向偏差和3維位置偏差結(jié)果圖.圖中看到, 原始單星定軌在該弧段為外推2 h的預(yù)報(bào)軌道, 其徑向精度在0.71–1.02 m以內(nèi), 3維精度在2.5–8.5 m之間.采用不同模型衛(wèi)星的徑向偏差差異比較明顯, 尤其是GEO衛(wèi)星利用附加周期項(xiàng)模型后軌道精度提升效果明顯; 不同預(yù)報(bào)模型下各衛(wèi)星軌道3維互差不超過30 cm.3種模型鐘差預(yù)報(bào)用于定軌的精度都好于系統(tǒng)同時(shí)刻定軌的原始軌道, 且大多數(shù)衛(wèi)星采用附加周期項(xiàng)模型的徑向精度最好.

圖6 各模型2 h測(cè)站鐘差預(yù)報(bào)應(yīng)用于單星定軌的精度及其與常規(guī)單星定軌相應(yīng)弧段外推2 h的精度對(duì)比Fig.6 The comparison of the precision of fast orbit determination with the application of 2 h station clock error prediction by different models and the precision of original fast orbit determination with 2 h extrapolation in the same arc

表2給出了每顆衛(wèi)星不同模型單星定軌精度的統(tǒng)計(jì)值.從表2看出, 預(yù)報(bào)1 h測(cè)站鐘差用于單星定軌, 3種鐘差預(yù)報(bào)模型衛(wèi)星軌道徑向偏差均值分別為0.676 m、0.656 m、0.673 m, 互差在2 cm以內(nèi), 位置偏差均值分別為5.570 m、5.501 m、5.529 m, 互差在0.069 m以內(nèi).各模型相對(duì)于常規(guī)單星定軌軌道預(yù)報(bào)徑向精度0.755 m和3維精度5.902 m分別提高了10.40%、13.08%、10.75%和5.62%、6.80%、6.31%.

當(dāng)預(yù)報(bào)2 h測(cè)站鐘差用于定軌時(shí), 3種鐘差預(yù)報(bào)模型衛(wèi)星軌道徑向偏差均值分別為0.725 m、0.693 m、0.723 m, 互差在3 cm以內(nèi), 位置偏差均值分別為5.767 m、5.672 m、5.679 m, 互差在0.07 m以內(nèi).采用附加周期項(xiàng)模型效果最好, 各模型相對(duì)于常規(guī)單星定軌軌道預(yù)報(bào)徑向精度0.840 m和3維精度6.187 m分別提高了13.71%、17.53%、13.89%和6.78%、8.33%、8.21%.

表2 各預(yù)報(bào)模型用于POD的精度(單位: 米)Table 2 The accuracy for each prediction model used in POD (unit: m)

4 結(jié)論

該文對(duì)北斗系統(tǒng)的測(cè)站鐘差分別采用2次多項(xiàng)式模型、附加周期項(xiàng)模型和灰色模型進(jìn)行了鐘差預(yù)報(bào)評(píng)估測(cè)試, 并按照北斗系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理的規(guī)范, 將其預(yù)報(bào)1 h和預(yù)報(bào)2 h的測(cè)站鐘差應(yīng)用于單星定軌, 結(jié)論如下:

(1)多星解算的測(cè)站鐘差中含有未完全分離的軌道誤差, 采用附加周期項(xiàng)模型的鐘差擬合精度最高: 所有測(cè)站鐘差的擬合精度都在0.15 ns以內(nèi), 平均擬合精度達(dá)到0.05 ns.

(2)各測(cè)站的站鐘性能不同, 測(cè)站鐘差預(yù)報(bào)隨預(yù)報(bào)時(shí)間增長而增大.采用2次多項(xiàng)式模型、附加周期項(xiàng)模型、灰色模型對(duì)6個(gè)測(cè)站預(yù)報(bào)1 h的平均精度分別為1.17 ns、0.88 ns、1.28 ns; 預(yù)報(bào)2 h的平均精度分別為2.72 ns、2.09 ns、2.53 ns.從所有站的平均精度來看, 采用附加周期項(xiàng)模型效果較好.

(3)將各模型預(yù)報(bào)1 h的鐘差結(jié)果分別用于定軌, 各模型定軌徑向精度平均互差小于2 cm; 將各模型預(yù)報(bào)2 h的鐘差結(jié)果分別用于定軌, 各模型定軌徑向精度平均互差小于3 cm.試驗(yàn)結(jié)果表明采用附加周期項(xiàng)模型應(yīng)用于單星定軌的效果最好, 其預(yù)報(bào)1 h、2 h用于定軌時(shí)相對(duì)常規(guī)單星定軌軌道預(yù)報(bào)徑向精度分別提升了13.08%、17.53%, 3維精度分別提升了6.80%、8.33%.