一類6自由度Delta型機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

張 俊 許 濤 方漢良 張良安

(1.福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福州 350116；2.安徽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，馬鞍山 243032)

0 引言

Delta機(jī)器人因具有響應(yīng)速度快、整體質(zhì)量輕等優(yōu)點(diǎn)[1-4]，被廣泛應(yīng)用于高速生產(chǎn)線上物料的分揀、搬運(yùn)和包裝等操作[5-6]。

為拓寬Delta機(jī)器人的工業(yè)應(yīng)用范圍和運(yùn)動(dòng)性能，可以從以下兩個(gè)方面入手：一方面，提高機(jī)器人末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)自由度，使其不僅能滿足相對(duì)靜平臺(tái)水平方向的移動(dòng)，還能實(shí)現(xiàn)角度的操作。CLAVEL[7]通過(guò)在機(jī)器人的動(dòng)、靜平臺(tái)中心處加裝RUPU運(yùn)動(dòng)支鏈，使3自由度移動(dòng)Delta機(jī)器人增加了z軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)(即SCARA運(yùn)動(dòng))。但RUPU支鏈的傳動(dòng)精度較低，且易產(chǎn)生磨損[8]。PIERROT等[9]相繼發(fā)明了具有SCARA運(yùn)動(dòng)的H4、I4、Heli4以及Par4等4支鏈并聯(lián)機(jī)器人。這4類機(jī)器人都在從動(dòng)桿末端連接不同模塊的運(yùn)動(dòng)換向機(jī)構(gòu)，再將運(yùn)動(dòng)換向機(jī)構(gòu)中子平臺(tái)的相對(duì)平動(dòng)轉(zhuǎn)換為末端執(zhí)行器繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。基于這一原理，LIU等[10]提出了3種具有SCARA運(yùn)動(dòng)的Delta型機(jī)器人，分別為CrossIV-1、CrossIV-2和CossIV-3。WU等[11]在3自由度Delta機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)上安裝2自由度轉(zhuǎn)頭，構(gòu)造了一種5自由度混聯(lián)機(jī)器人，以提高Delta機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)自由度。由于串接2自由度轉(zhuǎn)頭增加了動(dòng)平臺(tái)的負(fù)載，因此易對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性產(chǎn)生不利影響。另一方面，通過(guò)改變靜平臺(tái)的安裝方法、位置和末端執(zhí)行器的種類來(lái)適應(yīng)和滿足實(shí)際操作需求。文獻(xiàn)[12-14]將Delta機(jī)器人主動(dòng)臂旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)方式改變?yōu)橹本€驅(qū)動(dòng)形式。研究發(fā)現(xiàn)，直線型Delta機(jī)器人可以實(shí)現(xiàn)更大的工作空間，適合于3D打印和切削加工等應(yīng)用場(chǎng)合[15]。PATEL等[16]針對(duì)傳統(tǒng)Delta型機(jī)器人應(yīng)用范圍的局限性，提出了一種多用途Delta型機(jī)器人的設(shè)計(jì)方案。該方案通過(guò)在靜平臺(tái)上加裝導(dǎo)軌以提高機(jī)器人整機(jī)的運(yùn)動(dòng)范圍，同時(shí)，將末端執(zhí)行器改裝成工具架，并將不同工具安裝在末端執(zhí)行器工作空間的邊緣，以便實(shí)現(xiàn)操作工具的快速更換。BALMACEDA-SANTAMARIA等[17]提出了一種可重構(gòu)Delta型機(jī)器人，通過(guò)在可重構(gòu)的靜平臺(tái)上增加移動(dòng)副來(lái)調(diào)整主動(dòng)臂相對(duì)靜平臺(tái)的安裝位置，可有效增加機(jī)構(gòu)的工作空間，并避免奇異。

基于上述兩種思路開(kāi)發(fā)的各類Delta型機(jī)器人，雖然在工作空間和應(yīng)用范圍上較傳統(tǒng)的3自由度移動(dòng)機(jī)器人有了較大提升，但尚未有效解決末端執(zhí)行器多角度操作的問(wèn)題。為滿足具有復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的工業(yè)操作需求，本文提出一類6自由度Delta型機(jī)器人，并開(kāi)展其運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，計(jì)算機(jī)器人的自由度、位置逆解與工作空間。在此基礎(chǔ)上，開(kāi)展6自由度Delta型機(jī)器人的樣機(jī)搭建及運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與理論分析的正確性。

1 概念設(shè)計(jì)

3自由度Delta機(jī)器人拓?fù)錁?gòu)型為3R-(SS)2，每條支鏈中含有一個(gè)4S閉環(huán)子鏈，如圖1所示。

根據(jù)已有文獻(xiàn)得知，若使并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有6個(gè)自由度，則每條分支應(yīng)為無(wú)約束支鏈。而基于旋量理論，4S閉環(huán)子鏈會(huì)產(chǎn)生沿桿1-2方向和3-4方向的約束力，所以將4S閉環(huán)子鏈拆開(kāi)后得到2條S-S無(wú)約束支鏈，如圖2所示。

圖1 3自由度Delta機(jī)器人CAD模型

圖2 4S閉環(huán)子鏈

將拆分得到的2條S-S運(yùn)動(dòng)鏈分別與主動(dòng)臂串聯(lián)后形成2條RSS型運(yùn)動(dòng)鏈。為不改變Delta型支鏈的結(jié)構(gòu)分布，采用圖3所示的復(fù)合式主動(dòng)臂設(shè)計(jì)，即將小主動(dòng)臂轉(zhuǎn)動(dòng)副安裝在大主動(dòng)臂上，得到一類具有3組耦合運(yùn)動(dòng)分支的6自由度Delta型機(jī)器人。

圖3 6自由度Delta型機(jī)器人概念設(shè)計(jì)

因主動(dòng)臂的復(fù)合安裝形式會(huì)增加大主動(dòng)臂的運(yùn)動(dòng)慣量，進(jìn)而對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能產(chǎn)生不利影響。故可將小主動(dòng)臂所在支鏈的驅(qū)動(dòng)裝置安裝到靜平臺(tái)上，并不改變機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)。采用圖4所示的平行四邊形機(jī)構(gòu)來(lái)等效上述耦合運(yùn)動(dòng)分支[18]。其中，構(gòu)件1、4為安裝在靜平臺(tái)上的小主動(dòng)臂和大主動(dòng)臂，運(yùn)動(dòng)輸出件3與構(gòu)件1具有相同的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。

圖4 平行四邊形機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

第1分支的運(yùn)動(dòng)螺旋系可表示為

(1)

則第1分支的約束螺旋系為

(2)

第2分支的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(3)

則第2分支的約束螺旋系為

(4)

根據(jù)螺旋理論，平行四邊形機(jī)構(gòu)的二次反螺旋為

(5)

因此上述平行四邊形機(jī)構(gòu)相對(duì)于靜平臺(tái)可以等效為2自由度的廣義副，這個(gè)廣義副由一個(gè)P(移動(dòng))副和一個(gè)R(轉(zhuǎn)動(dòng))副串聯(lián)組成。利用平行四邊形機(jī)構(gòu)等效主動(dòng)臂復(fù)合安裝形式，可得圖5所示的6自由度Delta型機(jī)器人。

圖5 6自由度Delta型機(jī)器人樣機(jī)設(shè)計(jì)

由圖5可知，該6自由度Delta型機(jī)器人由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和3組對(duì)稱分布的耦合分支組成。每組耦合分支包括大主動(dòng)臂、小主動(dòng)臂、連桿、三角架及2條從動(dòng)桿。其中，大主動(dòng)臂和小主動(dòng)臂同軸心，且以轉(zhuǎn)動(dòng)副的形式連接在靜平臺(tái)上。小主動(dòng)臂、連桿和三角架以轉(zhuǎn)動(dòng)副連接并與大主動(dòng)臂構(gòu)成平行四邊形機(jī)構(gòu)。靜平臺(tái)與大主動(dòng)臂連接處記為Ci1，與小主動(dòng)臂連接處記為Ci2；大主動(dòng)臂和從動(dòng)桿鉸接處記為Bi1，三角架與從動(dòng)桿鉸接處記為Bi2；動(dòng)平臺(tái)與從動(dòng)桿鉸接處分別記為Ai1和Ai2(i=1，2，3)。在靜平臺(tái)中心處建立系統(tǒng)坐標(biāo)系oxyz，在動(dòng)平臺(tái)中心處建立動(dòng)坐標(biāo)系OXYZ，坐標(biāo)軸x和X分別垂直于邊C11C12與A11A12，z軸豎直向上，則機(jī)構(gòu)整體關(guān)于x軸對(duì)稱。

2 運(yùn)動(dòng)度分析

圖6 含耦合節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)支鏈

對(duì)于復(fù)雜多閉環(huán)耦合并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其自由度求解較為困難[19-21]。所提6自由度Delta型機(jī)器人可以分成3組獨(dú)立分支，每組分支中含有2條相互耦合的運(yùn)動(dòng)支鏈。為便于分析，定義由分支1拆分出的耦合支鏈分別為支鏈u1和支鏈u2，在支鏈u2的C12點(diǎn)建立局部坐標(biāo)系C12U2V2W2，坐標(biāo)系的建立原則與圖4中平行四邊形坐標(biāo)系相同，如圖6所示。設(shè)A11、B11和C11坐標(biāo)分別為(X11，Y11，Z11)、(X12，Y12，Z12)、(0，Y13，0)，A12、B12坐標(biāo)分別為(X21，0，Z21)、(X22，0，Z22)。

支鏈u1為RSS串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈，其運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(6)

由前文可知，小主動(dòng)臂、連桿、三角架和大主動(dòng)臂組成的平面平行四邊形機(jī)構(gòu)可等效為一個(gè)移動(dòng)副和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副串聯(lián)構(gòu)成，則支鏈u2可等效為PRSS串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈。支鏈運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(7)

2條支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋都是滿秩，支鏈不存在反螺旋。因每條分支對(duì)稱分布，結(jié)構(gòu)完全相同，所以3組獨(dú)立的分支對(duì)動(dòng)平臺(tái)不存在約束，機(jī)構(gòu)具有6個(gè)自由度，相對(duì)于傳統(tǒng)3自由度Delta機(jī)器人增加了分別繞x、y、z軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

3 位置逆解分析

圖7 分支閉環(huán)矢量回路

取分支1建立圖7所示的任一姿態(tài)下的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖。

如圖7所示，小主動(dòng)臂和大主動(dòng)臂相對(duì)于靜平臺(tái)的輸入轉(zhuǎn)角分別為φi和θi，三角架與球副相連的邊l2與靜平臺(tái)夾角為ψi(i=1，2，3)，λ為三角架固定結(jié)構(gòu)角。當(dāng)給定動(dòng)平臺(tái)的位姿時(shí)，由位置逆解模型可計(jì)算出每個(gè)主動(dòng)臂的輸入轉(zhuǎn)角。l3、l4、u11、w11分別為大主動(dòng)臂和從動(dòng)桿桿長(zhǎng)及其單位矢量；l1、l2、l5、u12、v12、w12分別為連桿、三角架、小主動(dòng)臂所在支鏈從動(dòng)桿桿長(zhǎng)及其單位矢量。d11、d12分別表示動(dòng)坐標(biāo)系下O點(diǎn)指向A11、A12的矢量，且O點(diǎn)到A11A12的垂直距離為d；e11、e12分別為系統(tǒng)坐標(biāo)系下，o點(diǎn)指向C11、C12的矢量，且o點(diǎn)到C11C12的垂直距離為e；C11、C12兩點(diǎn)間的距離為2a。

3.1 大主動(dòng)臂所在支鏈分析

由前文分析，所提機(jī)器人具有3個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度和3個(gè)移動(dòng)自由度，動(dòng)坐標(biāo)系OXYZ到系統(tǒng)坐標(biāo)系oxyz的變換矩陣可用歐拉角描述機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)，即

式中α——?jiǎng)悠脚_(tái)繞z軸方向的轉(zhuǎn)角

β——?jiǎng)悠脚_(tái)繞y軸方向的轉(zhuǎn)角

γ——?jiǎng)悠脚_(tái)繞x軸方向的轉(zhuǎn)角

C表示余弦函數(shù)；S表示正弦函數(shù)。

f+di1=ei1+l3ui1+l4wi1

(8)

其中

l3=l1+l2

di1=R[Tid11]

(9)

ei1=Tie11

(10)

(11)

(12)

εi=2(i-1)π/3

式中εi——大主動(dòng)臂相對(duì)于x軸的安裝角

Ti——系統(tǒng)坐標(biāo)系下，每組分支的旋轉(zhuǎn)矩陣

由式(8)得到大主動(dòng)臂所對(duì)應(yīng)的位置逆解為

(13)

其中

式中i——x軸的單位矢量

j——y軸的單位矢量

k——z軸的單位矢量

3.2 小主動(dòng)臂所在支鏈分析

對(duì)于小主動(dòng)臂所在的運(yùn)動(dòng)支鏈，動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)O的位置矢量f可表示為

f+di2=ei2+l1ui2+l2vi2+l5wi2

(14)

其中

ui2=ui1

(15)

di2=RTid12

(16)

ei2=Tie12

(17)

由式(14)可推導(dǎo)小主動(dòng)臂所對(duì)應(yīng)的位置逆解

(18)

其中

小主動(dòng)臂相對(duì)于靜平臺(tái)的輸入轉(zhuǎn)角為φi，由幾何關(guān)系可知

φi=λ-ψi

(19)

綜上所述，機(jī)器人位置逆解為

(20)

4 運(yùn)動(dòng)空間分析

并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)空間大小及其分布是表征其工作性能的基本指標(biāo)[22]，為此提出一種搜索算法來(lái)預(yù)估6自由度Delta型機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)空間。該算法的基本思想為：

(1)根據(jù)機(jī)器人樣機(jī)設(shè)計(jì)的尺度參數(shù)，預(yù)先估計(jì)動(dòng)平臺(tái)在x、y、z坐標(biāo)軸方向上所能到達(dá)的搜索范圍。在柱面坐標(biāo)系下，設(shè)搜索半徑r為0～0.6 m，角度ω為0°～360°，z為-1.2～0 m，其中rmax為0.6 m、ωmax為360°、zmax為0 m。則x=rcosω、y=rsinω。為提高計(jì)算效率和保證搜索精度，將步長(zhǎng)設(shè)為Δr=0.02 m，則在運(yùn)動(dòng)空間邊界處會(huì)存在0～0.02 m的搜索誤差，約為總搜索半徑的3.3%。Delta機(jī)器人在操作中，一般要求動(dòng)平臺(tái)上的末端執(zhí)行器在一規(guī)則區(qū)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)，通常取運(yùn)動(dòng)空間內(nèi)一直徑為D，高為h的圓柱體作為任務(wù)空間，所以邊界誤差會(huì)較小影響Delta機(jī)器人任務(wù)空間范圍。

(2)確定機(jī)器人轉(zhuǎn)角搜索范圍。機(jī)器人球關(guān)節(jié)經(jīng)測(cè)量存在η為-37.0°～37.0°的轉(zhuǎn)角限制，則轉(zhuǎn)動(dòng)軸線S與水平方向的夾角極限分別為ηmax=127.0°、ηmin=53.0°，如圖8所示。由于球關(guān)節(jié)處的轉(zhuǎn)角極限，所以將動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)參量α、β、γ的搜索范圍限定在[-40.0°，40.0°]，其中α0、β0和γ0均為-40.0°，αmax、βmax和γmax均為40.0°。

圖9 搜索運(yùn)動(dòng)空間流程圖

(3)為更準(zhǔn)確地描繪所提機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)空間，引入邊界條件。分別計(jì)算搜索點(diǎn)(包含位姿信息)所對(duì)應(yīng)的6個(gè)主動(dòng)臂輸入轉(zhuǎn)角及其從動(dòng)桿連接的球關(guān)節(jié)角度。由于機(jī)器人結(jié)構(gòu)存在干涉，主動(dòng)臂轉(zhuǎn)角約束條件為θmin≤θ≤θmax、φmin≤φ≤φmax；球關(guān)節(jié)約束條件為ηmin≤η≤ηmax。當(dāng)滿足所有邊界條件后，該點(diǎn)作為運(yùn)動(dòng)空間點(diǎn)被保存于圖像中。

圖9為機(jī)器人可達(dá)工作空間的搜索過(guò)程。

表1為6自由度Delta型機(jī)器人概念樣機(jī)的相關(guān)尺寸參數(shù)與邊界條件。

表1 尺寸參數(shù)與邊界條件

通過(guò)上述搜索算法，該尺度參數(shù)下機(jī)器人運(yùn)動(dòng)空間如圖10所示。從圖10a可看出，6自由度Delta型機(jī)器人運(yùn)動(dòng)空間可以近似為一個(gè)底面為拋物面的柱體。為更清楚表達(dá)運(yùn)動(dòng)空間的范圍，在圖10b～10d中分別給出了運(yùn)動(dòng)空間在x-y、x-z和y-z平面內(nèi)的截面圖。從圖10b～10d可以看出，x軸方向上運(yùn)動(dòng)范圍為-0.56～0.58 m，y軸方向運(yùn)動(dòng)范圍為-0.52～0.52 m，且在y-z平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)空間是關(guān)于y=0(即x軸)對(duì)稱。z軸方向上機(jī)器人運(yùn)動(dòng)范圍為-1.10～-0.40 m，而在-0.74～-0.54 m范圍內(nèi)的運(yùn)動(dòng)直徑更大，故選取z=-0.60 m作為典型運(yùn)動(dòng)平面，并在圖10b中描繪了在該平面內(nèi)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)空間的邊界輪廓。

圖10 6自由度Delta型機(jī)器人運(yùn)動(dòng)空間

為探究同一尺度參數(shù)的3自由度Delta機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)范圍，基于該搜索算法的基本思想，由于動(dòng)平臺(tái)無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，故將α、β、γ設(shè)為0°；由于每個(gè)分支只存在一條主動(dòng)臂，故邊界條件為主動(dòng)臂轉(zhuǎn)角為θmin≤θ≤θmax，球關(guān)節(jié)極限轉(zhuǎn)角為ηmin≤η≤ηmax。得到其運(yùn)動(dòng)空間如圖11a所示，圖11b為z=-0.60 m平面的運(yùn)動(dòng)邊界。

對(duì)比圖10b，3自由度Delta機(jī)器人在y軸方向上的運(yùn)動(dòng)范圍略小于所提機(jī)器人。由于動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)角都為0°屬于所提機(jī)器人的一種特殊位型，該位型下大主動(dòng)臂所在支鏈位置逆解與3自由度Delta機(jī)器人位置逆解相同，小主動(dòng)臂所在支鏈協(xié)同運(yùn)動(dòng)使所提機(jī)器人每條分支中2條從動(dòng)桿始終保持平行。故相同邊界條件下，同一尺度參數(shù)的3自由度Delta機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)空間是所提機(jī)器人運(yùn)動(dòng)空間的子集。

5 樣機(jī)搭建與運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)

結(jié)合表1尺寸參數(shù)，根據(jù)理論分析完成了工程樣機(jī)的搭建，包括機(jī)器人本體和控制系統(tǒng)。選取4組典型位置進(jìn)行多角度抓取實(shí)驗(yàn)，如圖12所示。

圖11 3自由度Delta機(jī)器人運(yùn)動(dòng)空間

圖12 不同位姿抓取實(shí)驗(yàn)

通過(guò)樣機(jī)運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該Delta機(jī)器人具有6個(gè)自由度，分別為平面內(nèi)3個(gè)方向的移動(dòng)和繞x、y、z軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)。并在表2給出4組抓取實(shí)驗(yàn)中各位姿點(diǎn)的理論值與測(cè)量值。

由表2可知，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)位姿點(diǎn)的理論值與測(cè)量值接近，微小誤差可能來(lái)源于機(jī)械結(jié)構(gòu)裝配誤差和機(jī)器人關(guān)節(jié)間隙。

為驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)空間搜索算法的分析結(jié)果，在z=-0.600 m運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)將機(jī)器人末端分別運(yùn)動(dòng)到x、y軸方向的極限位置，如圖13所示。實(shí)驗(yàn)測(cè)得該極限位置的空間坐標(biāo)為(0.582，0，-0.600)m、(0，0.522，-0.600)m，誤差在搜索步長(zhǎng)范圍內(nèi)，與理論分析結(jié)果一致。

6 結(jié)論

(1)提出了一類6自由度Delta型機(jī)器人，運(yùn)動(dòng)自由度的提高使機(jī)器人能夠完成生產(chǎn)線上物體的多角度抓取、零件的多姿態(tài)裝配等復(fù)雜操作任務(wù)。

表2 不同位姿理論值與測(cè)量值

圖13 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)極限位置

(2)分析了6自由度Delta型機(jī)器人結(jié)構(gòu)，對(duì)復(fù)雜多閉環(huán)耦合機(jī)構(gòu)進(jìn)行拆分，計(jì)算得到該機(jī)器人自由度，并建立位置逆解模型，為進(jìn)一步研究軌跡規(guī)劃提供了一定的理論基礎(chǔ)。

(3)采用所提運(yùn)動(dòng)空間搜索算法，繪制了Delta型機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)空間分布，并選取機(jī)器人典型運(yùn)動(dòng)平面進(jìn)行運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)，仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該搜索算法具有較高的計(jì)算精度，同時(shí)，在相同尺度參數(shù)下，3自由度Delta機(jī)器人運(yùn)動(dòng)空間是所提機(jī)器人工作空間的子集。