數(shù)學(xué)到底學(xué)什么

郭玉峰

我國數(shù)學(xué)教育有著悠久的歷史，早在奴隸制社會就開始萌芽，從西周的禮、樂、射、御、書、數(shù)（數(shù)即指數(shù)學(xué)），到20世紀明確數(shù)學(xué)工具性學(xué)科的定位，再到現(xiàn)在數(shù)學(xué)與其他各領(lǐng)域不斷滲透和融合，數(shù)學(xué)的地位和作用不斷提高，數(shù)學(xué)教育的功能和定位也隨之變化。當(dāng)今時代，如何更好地理解數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)，幫助孩子感受數(shù)學(xué)的魅力，而非局限于狹隘的功利主義？這是本文希望探討的問題。

數(shù)學(xué)教育的三大功能

理解數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)，離不開對數(shù)學(xué)教育功能的探討?；跀?shù)學(xué)學(xué)科背景、當(dāng)今數(shù)學(xué)課程改革動向、學(xué)生培養(yǎng)目標(biāo)等方面，筆者認為數(shù)學(xué)教育有以下三大功能。

幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能。在古代，人們只需要會讀、寫、算，就能滿足基本的生存和生活需要。后來，隨著信息量的增加以及社會文明程度的提升，人們需要傳遞知識、鍛煉技能，需要具備掌握知識和技能的能力，以及具有推動社會進步和文明發(fā)展的創(chuàng)新能力。進入21世紀，信息化社會對創(chuàng)新能力的要求越來越高。但無論如何，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能是上述能力發(fā)展的先決條件。

對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，我們需要與時俱進地去認識和理解。第一，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的內(nèi)涵隨著時代的發(fā)展不斷變遷。縱觀數(shù)學(xué)大綱（或課程標(biāo)準(zhǔn)）的歷史演變，關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能內(nèi)涵的認識是不斷發(fā)展的。例如：1963年的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確提出了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、三大數(shù)學(xué)基本能力的教學(xué)要求;1986年的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確區(qū)分了能力和技能;1992年的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱則明確闡明了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)基本技能的含義——數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是“概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法”，數(shù)學(xué)基本技能是“能夠按照一定的程序與步驟進行運算、作圖或畫圖、進行簡單的推理”。而現(xiàn)在的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的內(nèi)涵又有所調(diào)整，數(shù)學(xué)思想和方法不再屬于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的范疇。第二，此時的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識未必是彼時的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識。例如學(xué)會查對數(shù)表、三角函數(shù)表等內(nèi)容在現(xiàn)在的中學(xué)數(shù)學(xué)中已不做要求。第三，學(xué)生僅憑機械記憶和大量重復(fù)演練獲得的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能只是暫時的，不可能讓他們受益終身，甚至?xí)髿⑺麄償?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好奇心和積極性。學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識需要建立在對數(shù)學(xué)本質(zhì)把握的基礎(chǔ)上。

幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的基本思想。數(shù)學(xué)基本思想指數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的基本思想，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模。如果說，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能提供了學(xué)生成才的養(yǎng)分，數(shù)學(xué)基本思想的感悟則是學(xué)生成才的動力和源泉。

數(shù)學(xué)是抽象的，這是數(shù)學(xué)的第一個特點。學(xué)過數(shù)學(xué)的人和沒有學(xué)過數(shù)學(xué)的人很重要的區(qū)別是：能否從現(xiàn)實背景、錯綜復(fù)雜的現(xiàn)象中抽象出數(shù)學(xué)的研究對象;能否從研究對象的不同特性中抽象出共同的本質(zhì)屬性，進而得到數(shù)學(xué)的概念;能否從研究對象中發(fā)現(xiàn)變化中的不變，抽象出共同的規(guī)律和性質(zhì)，進而得到數(shù)學(xué)的公理、定理和性質(zhì)等;能否從抽象得到的數(shù)學(xué)概念、公理、定理、性質(zhì)、公式、法則等進一步抽象出數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，反映一類問題的特性等。學(xué)生感悟數(shù)學(xué)抽象，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看世界，無疑有了一雙發(fā)現(xiàn)的眼睛，在定量化研究現(xiàn)實世界的路上邁出了第一步。

數(shù)學(xué)是有邏輯的，這是數(shù)學(xué)的第二個特點。學(xué)生感悟數(shù)學(xué)邏輯推理，包括從特殊到一般，或借助類比猜想數(shù)學(xué)結(jié)論，也包括借助反例、反證、演繹推理驗證或證明猜想出的數(shù)學(xué)結(jié)論。數(shù)學(xué)推理也是有邏輯的，需要在一定的邏輯起點基礎(chǔ)上，遵循邏輯思維的規(guī)律進行有順序、有邏輯的推理。學(xué)生感悟數(shù)學(xué)邏輯推理，養(yǎng)成邏輯思考的習(xí)慣，無疑打開了探究和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)部世界奧妙的大門。

數(shù)學(xué)的應(yīng)用是廣泛的，這是數(shù)學(xué)的第三個特點。學(xué)生經(jīng)歷和感悟數(shù)學(xué)建模的過程，是將現(xiàn)實世界提煉、抽象為數(shù)學(xué)的模型表達，也是將數(shù)學(xué)模型進行推理后得到的數(shù)學(xué)結(jié)論運用于現(xiàn)實世界的過程。當(dāng)數(shù)學(xué)離現(xiàn)實世界越來越遠的時候，它的生命力就會減弱。學(xué)生感悟數(shù)學(xué)建模的過程，讓神秘的數(shù)學(xué)世界回歸現(xiàn)實生活，增強了對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和認識，也為未來創(chuàng)造性地運用數(shù)學(xué)、溝通數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系奠定了基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的基本思想。感悟數(shù)學(xué)基本思想，感悟數(shù)學(xué)知識的由來、發(fā)展和應(yīng)用，進而真正理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和關(guān)聯(lián)，是數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)帶給學(xué)生受益終身的經(jīng)歷和體驗。

幫助學(xué)生積淀數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗和實踐活動的經(jīng)驗。數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗和實踐活動的經(jīng)驗統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，這是當(dāng)今數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之一。如果說數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握是外顯課程目標(biāo)，數(shù)學(xué)基本思想的感悟和數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積淀則更多是隱性課程目標(biāo)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)活動過程，同時積淀形成數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗和實踐活動的經(jīng)驗。如同“冷”“熱”“疼”“痛”等感覺需要本人的親身體驗，學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積淀需要本人的親身經(jīng)歷和感悟，無法通過訓(xùn)練或他人的傳遞短期內(nèi)獲得。實踐活動的經(jīng)驗對應(yīng)于當(dāng)前數(shù)學(xué)課程中“實踐與綜合應(yīng)用”或“數(shù)學(xué)建模與綜合實踐活動”課程內(nèi)容，是從外部世界抽象出數(shù)學(xué)再將形式化數(shù)學(xué)用于外部現(xiàn)實中獲得的經(jīng)驗，包括設(shè)計、規(guī)劃、組織、協(xié)調(diào)等經(jīng)驗。日本數(shù)學(xué)家米山國藏曾說過，所有學(xué)習(xí)過的東西遺忘后留下的唯有數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地發(fā)生作用。知識和技能可能會遺忘，最終留下來的是受益終身的數(shù)學(xué)基本思想和數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。

如何激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)驅(qū)力

以上，我們討論了數(shù)學(xué)教育的功能，論述了數(shù)學(xué)教育帶給學(xué)生終身受益的東西，這也是數(shù)學(xué)教育的應(yīng)然狀態(tài)。然而，現(xiàn)實學(xué)校教育背景下，學(xué)生往往感受不到數(shù)學(xué)的無窮魅力和神奇力量，認為數(shù)學(xué)抽象難懂、脫離實際，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一件枯燥乏味、令人焦慮的事情。如何改善這種狀況？以下，筆者從激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力這一角度給出兩條建議。

第一，建立學(xué)生科學(xué)的數(shù)學(xué)思維方式，真正理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。前文三個教育功能實現(xiàn)的前提是逐步建立學(xué)生科學(xué)的數(shù)學(xué)思維方式，從本質(zhì)上理解數(shù)學(xué)，這也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的根本。如何幫助學(xué)生建立科學(xué)的數(shù)學(xué)思維方式呢？筆者認為有這樣幾個關(guān)鍵：從觀察聯(lián)想入手，浮想聯(lián)翩，學(xué)會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題;借助歸納和類比進行數(shù)學(xué)猜想，學(xué)會提出數(shù)學(xué)問題;在猜想基礎(chǔ)上進行反駁或演繹證明，學(xué)會分析和解決數(shù)學(xué)問題。這是一個系統(tǒng)工程，在不同階段有不同的側(cè)重，需要逐步養(yǎng)成，并逐步幫助學(xué)生整體看待不同數(shù)學(xué)知識內(nèi)容之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與外部世界之間的聯(lián)系。

第二，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和內(nèi)驅(qū)力，感受數(shù)學(xué)的魅力。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動因應(yīng)該是發(fā)自內(nèi)心的喜歡和研究數(shù)學(xué)的心理傾向，而不僅僅是成績、榮譽等外在推動力。數(shù)學(xué)教育需要激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力——從對某個數(shù)學(xué)知識內(nèi)容孜孜不倦的探究，到不達目的不罷休、持之以恒把問題研究清楚的決心和毅力，再到如癡如醉徜徉于數(shù)學(xué)知識樂園的愉悅的體驗。當(dāng)然，因為學(xué)生個體的愛好和興趣以及先天基因的不同，數(shù)學(xué)教育需要因材施教，尊重學(xué)生的個體差異，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力。

總之，數(shù)學(xué)教育的根本是建立學(xué)生科學(xué)的數(shù)學(xué)思維方式，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和感受數(shù)學(xué)的魅力，這是一個長期的過程，需要從小逐步建立和養(yǎng)成。學(xué)生數(shù)學(xué)焦慮產(chǎn)生的根源之一往往是在沒有學(xué)會數(shù)學(xué)思考的時候，就開始了大量的機械記憶和重復(fù)演練，學(xué)生失去了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好奇心和樂趣，同時產(chǎn)生數(shù)學(xué)焦慮。這個問題不解決，學(xué)生難以發(fā)自內(nèi)心地喜愛數(shù)學(xué)，從長遠看，更影響了數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展和社會的進步。

（作者單位：北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）

責(zé)任編輯：王夢茜