微專題“余弦定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

王志國

[摘 ?要] 以余弦定理這個(gè)主干知識(shí)為節(jié)點(diǎn)，引導(dǎo)高一學(xué)生多角度探究定理，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);通過對(duì)余弦定理的鑒賞、對(duì)知識(shí)進(jìn)行拓展，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，建立多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系. 本節(jié)微專題得到三點(diǎn)反思：（1）回歸公式本源，提升思辨能力;（2）創(chuàng)設(shè)問題情境，提高鑒賞能力;（3）提煉解題方法，形成反思能力.

[關(guān)鍵詞] 余弦定理;探究;鑒賞;核心素養(yǎng);反思

本節(jié)微專題以余弦定理這個(gè)主干知識(shí)為節(jié)點(diǎn)，引導(dǎo)高一學(xué)生多角度探究定理，理解公式的來龍去脈，逐步培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).通過對(duì)余弦定理的鑒賞、對(duì)知識(shí)進(jìn)行拓展，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，建立多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，幫助學(xué)生建構(gòu)完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并在問題解決的過程中，逐步完善學(xué)生的認(rèn)知體驗(yàn)，提高分析問題與解決問題的能力[1] .

思維導(dǎo)圖

如圖1所示.

設(shè)計(jì)意圖：通過思維導(dǎo)圖宏觀把握余弦定理的知識(shí)結(jié)構(gòu)，在教學(xué)時(shí)采取多角度推導(dǎo)公式、鑒賞公式代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過對(duì)典型問題的有效變式和問題題組的設(shè)置來編制微專題. 在典例剖析中挖掘余弦定理的“生長點(diǎn)”，將教師的預(yù)設(shè)與學(xué)生的生成緊密聯(lián)系起來，讓教學(xué)相長和諧發(fā)展. 既能向下扎根，夯實(shí)學(xué)生必備能力，又能向上開花，促進(jìn)教師專業(yè)成長.

來龍去脈

1.在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，利用向量法證明：b2=a2+c2-2accosB.

方法一：因?yàn)?= - ，則（ ）2=（ - ）2，即（ ）2=（ ）2+（ ）2-2 · ，即b2=a2+c2-2accosB.

方法二：因?yàn)?= + ，則（ ）2=（ + ）2，即（ ）2=（ ）2+（ ）2+2 · ，即b2=a2+c2+2accos（π-B），即b2=a2+c2-2accosB.

設(shè)計(jì)意圖：回歸課本，溫故知新.對(duì)比學(xué)習(xí)向量的加法與減法運(yùn)算，關(guān)注向量夾角這個(gè)易混易錯(cuò)點(diǎn)，突出線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算的意義，通過取數(shù)量積將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，為后面進(jìn)一步的探究埋下伏筆.

2. 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，利用正弦定理證明：a2+c2-2accosB=b2.

方法一：左邊=（2RsinA）2+（2RsinC）2-2（2RsinA）（2RsinC）cosB

=（2R）2（sin2A+sin2C-2sinAsinCcosB）

=（2R）2[sin2A+sin2C+2sinAsinC·cos（A+C）]

=（2R）2[sin2A+sin2C+2sinAsinC·（cosAcosC-sinAsinC）]

=（2R）2（sin2A+sin2C+2sinAsinC·cosAcosC-2sin2Asin2C）

=（2R）2[（sin2A-sin2Asin2C）+（sin2C-sin2Asin2C）+2sinAsinCcosAcosC]

=（2R）2[sin2A（1-sin2C）+sin2C（1-sin2A）+2sinAsinCcosAcosC]

=（2R）2（sin2Acos2C+sin2Ccos2A+2sinA·sinCcosAcosC）

=（2R）2（sinAcosC+sinCcosA）2

=（2R）2[sin（A+C）]2

=（2RsinB）2

=b2=右邊.

所以a2+c2-2accosB=b2.

方法二：右邊=（2RsinB）2，接下來是方法一的逆運(yùn)算，過程略.

設(shè)計(jì)意圖：方法一化繁為簡，方法二由簡到繁，提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)的能力，在問題解決的過程中，培養(yǎng)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

典例剖析

例1：△ABC內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知三角形的兩邊a，b為一元二次方程x2-3x+1=0的兩個(gè)根且夾角C為60°，求三角形的周長.

解：因?yàn)閮蛇卆，b為一元二次方程x2-3x+1=0的兩個(gè)根，則a+b=3，ab=1.由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-2ab-2abcosC=6，即a+b+c=3+ ，即三角形的周長為3+ .

設(shè)計(jì)意圖：鑒賞余弦定理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過配方，達(dá)到“設(shè)而不求，整體代換”的效果，在潛移默化中啟發(fā)學(xué)生觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，等價(jià)變形，將未知轉(zhuǎn)化為已知，幫助學(xué)生弄懂算理，提高運(yùn)算能力.

例2：△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足 = .

（1）求角A;

（2）若a=2 ，求三角形周長的最大值.

解：（1）因?yàn)?= ，則（2c-b）cosA=acosB.

由余弦定理可得（2c-b） =a ，

（2c-b）（b2+c2-a2）=b（a2+c2-b2），

2cb2+2c3-2ca2-b3-bc2+ba2=ba2+bc2-b3，

cb2+c3-ca2-bc2=0，

c（b2+c2-a2-bc）=0 ，

即b2+c2-a2=bc.

于是cosA= = = ，且A∈（0，π），所以A= .

（2）由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，

則a2=b2+c2-bc，

即a2=（b+c）2-3bc≥（b+c）2-3 2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立.

即解得b=c=2 ，所以三角形周長的最大值為6 .

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步鑒賞余弦定理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過引導(dǎo)學(xué)生觀察代數(shù)式，培養(yǎng)直觀想象數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，聯(lián)想到基本不等式，幫助高一學(xué)生建立起這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系.

例3：在△ABC中，∠ACB=60°，BC>2，AC=AB+1，當(dāng)△ABC的周長最短時(shí)，BC的長是________.

解：依題意可得∠ACB=60°，a>2，b=c+1.

由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=a2+（c+1）2-2a（c+1）cosC，

即a2+2c+1-a（c+1）=0，

即（a-2）c=a2-a+1，

即c= .

于是周長L=a+b+c=a+2c+1=a+2× +1.

設(shè)t=a-2，t>0，

則L=（t+2）+2× +1

=（t+2）+2× +1=3t+ +9

=3t+ +9≥2 +9=6 +9.

當(dāng)且僅當(dāng)3t= ，即t= 時(shí)，等號(hào)成立.

此時(shí)a=2+ ，即BC的長是2+ .

設(shè)計(jì)意圖：提高問題的難度，培養(yǎng)學(xué)生的分析問題與解決問題的能力，在對(duì)代數(shù)式的鑒賞中，熟練運(yùn)用必備的知識(shí)和方法解決問題，逐步提升解題的經(jīng)驗(yàn)與感悟，特別是通過余弦定理建立等量關(guān)系再代入消元的解題策略，無疑是對(duì)高一學(xué)生提出挑戰(zhàn).

教學(xué)反思

反思一：回歸公式本源，提升思辨能力

筆者布置了一道練習(xí)題：“在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，則 · 的值為________.” 學(xué)生都用余弦定理求角B的余弦值，再利用向量數(shù)量積公式求解. 錯(cuò)誤率較高，分析原因，發(fā)現(xiàn)學(xué)生誤將角B當(dāng)作 與 的夾角. 若學(xué)生能回歸余弦定理推導(dǎo)的本源，則只需利用三角形法則，寫出 + = ，再將等式兩邊同時(shí)平方，即可以解決問題. 學(xué)生暴露出的問題就是本節(jié)微專題設(shè)置“來龍去脈”的觸發(fā)點(diǎn)，希望提醒高一的學(xué)生不要死記硬背公式，要多理解并自發(fā)推導(dǎo)公式，從而達(dá)到理解公式的精髓，在解決問題時(shí)，多思少算，做到舉一反三，并能“得意忘形”.

新課標(biāo)指出：“高中階段至少應(yīng)安排一次較為完善的數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng).”筆者以這次微專題為契機(jī)，引導(dǎo)并鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探究余弦定理的證明方法，并將正弦定理、射影定理和余弦定理聯(lián)系起來[2]. ?證法如下：

因?yàn)?= - ，則 · =（ - ）· .

由 · = · - · 可得c2=accosB-bccos（π-A），

即c=acosB+bcosA（射影定理）.

由c-acosB=bcosA可得（c-acosB）2=（bcosA）2，

c2-2accosB+a2cos2B=b2cos2A，

c2-2accosB+a2（1-sin2B）=b2（1-sin2A），

c2-2accosB+a2-（asinB）2=b2-（bsinA）2，

a2+c2-2accosB+（bsinA）2-（asinB）2=b2.

由正弦定理可得bsinA=asinB，于是a2+c2-2accosB=b2.

反思二：創(chuàng)設(shè)問題情境，提高鑒賞能力

百度百科對(duì)鑒賞的解釋是，鑒賞是對(duì)文物、藝術(shù)品等的鑒定和欣賞. 人們對(duì)藝術(shù)形象進(jìn)行感受，理解和評(píng)判的思維活動(dòng)和過程. 人們?cè)阼b賞中的思維活動(dòng)和感情活動(dòng)一般都從藝術(shù)形象的具體感受出發(fā)，實(shí)現(xiàn)由感性階段到理性階段的認(rèn)識(shí)飛躍，既受到藝術(shù)作品的形象、內(nèi)容的制約，又根據(jù)自己的思想感情、生活經(jīng)驗(yàn)、藝術(shù)觀點(diǎn)和藝術(shù)興趣對(duì)形象加以補(bǔ)充和豐富. 運(yùn)用自己的視覺感知、過去已經(jīng)有的生活經(jīng)驗(yàn)和文化知識(shí)對(duì)美術(shù)作品進(jìn)行感受、體驗(yàn)、聯(lián)想、分析和判斷，獲得審美享受，并理解美術(shù)作品與美術(shù)現(xiàn)象的活動(dòng).

筆者談?wù)剬?duì)通過cosC= 求余弦值的鑒賞：（1）知道三邊a，b，c的數(shù)值;（2）不知道三邊a，b，c的數(shù)值，但是知道它們之間的比值;（3）將a2+b2-c2和2ab看作兩個(gè)整體，知道它們的比值;（4）觀察發(fā)現(xiàn)a2+b2和2ab，聯(lián)想到重要不等式a2+b2≥2ab. 引導(dǎo)高一學(xué)生從這四個(gè)角度鑒賞余弦定理，幫助學(xué)生獲得解題的方向與思路，同時(shí)啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)多角度的本源是分式運(yùn)算的不變性.

筆者有目的地引導(dǎo)高一學(xué)生多角度探究余弦定理，并通過對(duì)余弦定理的鑒賞，不但能使學(xué)生深刻理解余弦定理，更有效地提高學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)和直觀感知的能力，而且也是有效地形成學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑.

反思三：提煉解題方法，形成反思能力

筆者根據(jù)本節(jié)微專題的主干知識(shí)，在例2的解題過程中都是利用余弦定理，主要目的還是突出對(duì)余弦定理的鑒賞與運(yùn)用，但是對(duì)例2的探究并沒有結(jié)束，特別是對(duì)第（2）問的探究.思路1：由正弦定理可得 = = =4，則b=4sinB，c=4sinC，即周長L=a+b+c=2 +4sinB+4sinC.思路2：由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，則a2=b2+c2-bc，即a2=（b+c）2-3bc≥（b+c）2-3 2. 思路3：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得，點(diǎn)A在弦長為a=2 所對(duì)的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到優(yōu)弧中點(diǎn)時(shí)，三角形的面積最大，即周長也取得最大值.

反思：“通性通法”與“最優(yōu)解法”，筆者將這些解題思路用表1呈現(xiàn)，通過對(duì)比學(xué)習(xí)才能幫助學(xué)生具體問題具體分析，真正做到一題多解、多題一解，有的放矢[3].

本節(jié)微專題結(jié)合高一學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和情感體驗(yàn)，在他們的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問題，激勵(lì)他們跳一跳，鼓勵(lì)他們嘗試與探索. 在解題鑒賞中，潛移默化地啟發(fā)他們的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1] ?吳志鵬. 余弦定理 不得不知的奧秘[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2019（01）：41-43.

[2] ?尤新建. 合理創(chuàng)設(shè)問題情境 發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——余弦定理的教學(xué)案例設(shè)計(jì)[J]. 中學(xué)研究（數(shù)學(xué)），2018（12）：22-25.

[3] ?丁益民. 數(shù)學(xué)公式教學(xué)：促進(jìn)深度理解的幾個(gè)路徑[J]. 教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2018（12）：69-71.