微分近似視角下看一類“起點(diǎn)”恒成立問題的命制與對(duì)策

祁國偉

[摘 ?要] 在利用函數(shù)研究不等式、零點(diǎn)問題的教學(xué)上教師經(jīng)常覺得時(shí)間投入與產(chǎn)出不對(duì)等，如果能夠在CAP視角下進(jìn)行微分近似分析與計(jì)算，能有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)有效性、培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] CAP;微分近似;核心素養(yǎng)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用是高考中的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，特別是含指對(duì)數(shù)等的超越不等式恒成立問題因?yàn)槌Ｉ婕皡?shù)討論、指對(duì)數(shù)的繁雜運(yùn)算等使得學(xué)生不易接受，導(dǎo)致基本放棄此類問題，究其原因是參數(shù)的存在導(dǎo)致無從下手，其次超越數(shù)的參與影響了運(yùn)算. 筆者在本課題的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)如果從微分近似的視角看待這些函數(shù)的命制背景，對(duì)函數(shù)的圖像做局部微觀分析，尋找參數(shù)可能的取值范圍，進(jìn)而得出結(jié)論或部分結(jié)論，能使問題得到有效解決，特別是在常見的一類恒成立問題上行之有效，學(xué)生的思維高度也會(huì)上一個(gè)臺(tái)階. 下面從幾個(gè)高考真題來談?wù)勔活悺捌瘘c(diǎn)”恒成立問題的命制與解題對(duì)策. 為了方便討論，本文中的函數(shù)都是定義域內(nèi)的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù).

引理：若不等式f（x）>0在區(qū)間（a，+∞）上恒成立且f（a）=0，則必有f′（a）≥0.

證明：利用反證法. 假設(shè)結(jié)論不成立，則f′（a）<0，因?yàn)閒′（a）為常數(shù)，故可設(shè)f′（a）=m<0.

因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)f ′（x）在x=a處連續(xù)，所以可取ε=-m>0. 由連續(xù)定義可知，必存在δ>0，使得當(dāng)x-a<δ時(shí)，都有f′（x）-f′（a）<ε，即當(dāng)x∈（a，a+δ）時(shí)，f′（x）0恒成立矛盾，故假設(shè)不成立，即f′（a）≥0成立.

限于高中的知識(shí)儲(chǔ)備，教學(xué)上并不需要對(duì)引理進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，其實(shí)從微分近似的幾何直觀上看這個(gè)引理很容易理解，函數(shù)f（x）在區(qū)間的起點(diǎn)處函數(shù)值剛好為0，要使得函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值恒大于0，則在圖像起點(diǎn)附近函數(shù)值必然沒有負(fù)值，即一定單調(diào)不減，故f′（a）≥0. 需要注意的是f′（a）≥0只是不等式f（x）>0在區(qū)間（a，+∞）上恒成立的必要條件，充分性還需要進(jìn)一步證明. 教學(xué)中發(fā)現(xiàn)這種解題方法學(xué)生很容易接受，同時(shí)能避開煩瑣的參數(shù)討論及運(yùn)算，為方便說明，不妨稱此類不等式恒成立為“起點(diǎn)”恒成立.

例1：（2016全國Ⅱ文）已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），若當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）>0，求a的取值范圍.

分析：標(biāo)準(zhǔn)答案的解法需要討論參數(shù)a，學(xué)生不易掌握，也討論不全.利用引理巧解如下.

解：f ′（x）=lnx+ +1-a. 因?yàn)楫?dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）>0且f（1）>0，所以f ′（1）=2-a≥0，解得a≤2.

下面證明當(dāng)a≤2時(shí)，不等式f（x）>0在（1，+∞）上恒成立，此時(shí)f ′（x）=lnx+ +1-a≥lnx+ -1. 記g（x）=lnx+ -1，x∈（1，+∞），則g′（x）= >0，所以g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）>g（1）=0.

f ′（x）=lnx+ +1-a≥g（x）>0，故f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）>f（1）=0.

綜上：a的取值范圍是（-∞，2].

總結(jié)：本例的解法是基于引理的起點(diǎn)恒成立問題，分兩步完成，先得到不等式恒成立的必要條件f ′（1）≥0，從而限制參數(shù)a的取值范圍是（-∞，2];再證明充分性，只需考慮a≤2的情況即可，從而可以通過放縮a轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的不等式證明. 從解法中可以看到避開了參數(shù)討論和煩瑣的指對(duì)數(shù)運(yùn)算. 當(dāng)然這種解法并不是非常嚴(yán)謹(jǐn)，但不失為一種有效的解決方法.

命題背景分析：從解法中可以看到f′（1）≥0只是f（x）>0恒成立的必要條件，換句話說此時(shí)得到的參數(shù)a的取值范圍有可能太大，解題時(shí)怎么知道充分性一定是對(duì)的呢？事實(shí)上本題中的函數(shù)模型是下凸函數(shù)，這種模型可以使得f ′（x）單調(diào)遞增，從而得到f ′（x）恒為非負(fù)數(shù)，原函數(shù)f（x）一定在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，從而不等式恒成立.

引理的推論：如果下凸函數(shù)f（x）滿足f（a）=0且在（a，+∞）上有定義，則不等式f（x）>0在區(qū)間（a，+∞）上恒成立的充要條件是f ′（a）≥0.

證明：由引理可知必要性是正確的，下面只需證明充分性. 因?yàn)閒（x）在（a，+∞）上是下凸函數(shù)，所以f ′（x）在（a，+∞）上是增函數(shù)，則f ′（x）>f ′（a）=0，所以f（x）在（a，+∞）上是增函數(shù)，則f（x）>f（a）=0，命題得證.

這個(gè)推論也給教師在命制這類起點(diǎn)恒成立問題時(shí)提供了一類非常理想的函數(shù)模型. 命題時(shí)應(yīng)該有意識(shí)地選擇這類函數(shù)便于參數(shù)的確定，有效控制題目難度. 事實(shí)上在各地質(zhì)檢卷、高考真題，乃至競(jìng)賽中都能看到大量這類起點(diǎn)恒成立問題.

例2：（2017全國Ⅱ文）設(shè)函數(shù)f（x）=（1-x2）ex，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤ax+1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：原不等式等價(jià)于（x2-1）ex+ax+1≥0，記g（x）=（x2-1）ex+ax+1.

因?yàn)間（x）≥0在[0，+∞）上恒成立且g（0）=0，所以g′（0）>0，

g′（x）=（x2+2x-1）ex+a，故g′（0）=a-1≥0，解得a≥1.

下面證明當(dāng)a≥1時(shí)，原不等式恒成立.

此時(shí)g′（x）=（x2+2x-1）ex+a≥（x2+2x-1）ex+1.

記h（x）=（x2+2x-1）ex+1，h′（x）=（x2+4x+1）ex>0在[0，+∞）上恒成立，

故h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）≥h（0）=0，所以g′（x）≥h（x）≥0.

所以g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）≥g（0）=0.

綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）.

命題背景分析：可以看到本題的函數(shù)背景與2016全國Ⅱ文的函數(shù)背景如出一轍，設(shè)問方式也基本一致，如果學(xué)生能利用引理巧解，將大大降低本題的難度. 基于引理的推論函數(shù)模型，也能為我們教師在編制題目上提供了一定的思路. 比如可以將例2改編成例3.

例3：已知函數(shù)f（x）= ax2+ax+1e-x，如果對(duì)任意x≥0，f（x）≤x+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

本題正面討論的難度在于a為什么要與2比較，其實(shí)利用起點(diǎn)恒成立模型很容易確定出a的取值范圍，討論就是很自然的事情，此處略過，下面說明一下利用引理的解法.

解：f（x）≤x+1即為（x+1）ex- ax2-ax-1≥0，令g（x）=（x+1）ex- ax2-ax-1，

則g′（x）=（x+2）ex-ax-a.

因?yàn)間（x）≥0在區(qū)間[0，+∞）上恒成立，且g（0）=0，

所以g′（0）≥0，解得a≤2.

下面證明當(dāng)a≤2時(shí)，原不等式成立.因?yàn)閍≤2且x+1>0，所以a（x+1）≤2（x+1）.

此時(shí)g′（x）=（x+2）ex-ax-a≥（x+2）ex-2x-2.

記φ（x）=（x+2）ex-2x-2，則φ′（x）=（x+3）ex-2，φ′′（x）=（x+4）ex>0在[0，+∞）上恒成立，故φ′（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則φ′（x）≥φ′（0）=1>0，

所以φ（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則φ（x）≥φ（0）=0，所以g′（x）≥φ（x）≥0.

所以g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則g（x）≥g（0）=0.

綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，2].

從上面例子可以看到它們都運(yùn)用微分近似思想，考慮起點(diǎn)附近的圖像形態(tài)，使問題得到解決，利用這個(gè)思想，有時(shí)我們也可以將函數(shù)圖像在某點(diǎn)附近近似為其切線，使函數(shù)局部變?yōu)橛欣砗瘮?shù)，減少計(jì)算量，特別是在選填題中非常有效，即加深了直觀想象，又強(qiáng)化了邏輯推理，還滲透了高等數(shù)學(xué)的基本思想.

例4：（2016全國Ⅰ文）若函數(shù)f（x）=x- sin2x+asinx在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（ ?）

A. [-1，1] ?B. -1，

C. - ， ? D. -1，-

解：考慮函數(shù)y=sinx在x=0處的切線可知在x=0附近sinx≈x，所以在x=0附近f（x）=x- sin2x+asinx≈x- x+ax=a+ x. 要使得函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，則必要條件是近似圖像y=a+ x不能遞減，即a+ ≥0，所以a≥- .

但是需要注意的是這只是它的必要條件，只是本題已經(jīng)可以選擇答案了.因?yàn)橛杀匾耘懦薃BD三個(gè)選項(xiàng)，所以答案就是C. 它的命題背景應(yīng)該是基于泰勒展開式，因此很多同行強(qiáng)調(diào)高數(shù)中泰勒展開式的應(yīng)用.筆者以為，在高中階段不宜過分強(qiáng)化泰勒展開式，也沒有必要. 其實(shí)我們只要從微分近似觀點(diǎn)下得到函數(shù)的近似切線，即我們可以從圖形直觀得到其結(jié)論就可以. 有興趣的同行可以參考MIT的公開課《單變量微積分學(xué)》，有非常詳細(xì)的近似計(jì)算的說明和案例，也可以讓學(xué)生觀看，作為大學(xué)先修課程的一種教材.

從教學(xué)實(shí)踐來看，在大學(xué)先修課程視角下微分近似并不需要很多的微積分定理，更多的是微觀分析的思維，這也使得學(xué)生易于接受，上面幾個(gè)例子就是很好的案例. 同時(shí)這種微分近似視角也為教師在命題上提供了理論支撐和命制技巧.